Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
/ K# Z/ U7 l8 `* J/ s以下是Kruskal算法的简要概述：
9 H- G" j" V: `7 O8 g1 T$ T
1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
/ r3 ~7 o* R+ r. e; _2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
' O( h, S7 l. v# i4 V3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
$ Q6 C. R/ t0 W# M3 u4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
2 r. t) g* }: W" D! [5 R) Y5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
, s: I2 r7 ^% M0 M6 T* `& ]$ ~, s
( E# \/ l1 h" ]6 {8 D+ n7 J0 X' Y以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:$ O& Q& G4 A: p; n
   
2. 
   7 l; M( f& Q* M; S- e
3.     def __init__(self, vertices):
   4 H3 L4 Y( w7 O1 e
4. 
   / X8 `. t+ a! p' Q( D\" k
5.         self.V = vertices
   % A6 d5 r7 y. ]% m2 }
6. 
   7 B' G\" }  Z: s! H$ ~: [. o0 c3 D
7.         self.graph = []
   * ^\" X: }# @5 h( q( C. a/ C* j
8. 
   1 w/ [7 @1 A$ F0 I\" _% C\" u
9. ) E  M( ^\" H! G6 r% w# ~( F5 c7 m
   
10. 
    . X4 g  @2 Z: R6 K' C\" F
11.     def add_edge(self, u, v, w):. R0 z+ M) x\" Z# l\" T3 j
    
12. 
    , B8 S& K# t7 @  c: v! e
13.         self.graph.append([u, v, w])& a8 o: r\" _! L4 p$ L
    
14. 2 _4 Z3 }+ H% i# R$ |
    
15. ( }' T0 F$ h7 F/ j7 _& S3 _6 I\" w
    
16. # H: {- F0 n\" G+ B- j3 \9 B
    
17.     def find(self, parent, i):
    7 q; g- T5 E# y* ~' \3 w
18. & l9 m2 `1 j  ^\" V
    
19.         if parent[i] == i:
    3 J  q. }: A4 I/ T) r( j
20. % f2 h\" N6 U7 h/ t& X. X
    
21.             return i
    . W. ?, S, z. r
22. 9 H( y1 I; f# ~% _9 C2 M5 F5 @
    
23.         return self.find(parent, parent[i])5 Q. x: H( a9 y' p6 }
    
24. 
    3 Z& l* L! u- G7 y+ g& |
25. : f5 G$ Y\" s/ n/ I7 n/ E: m7 ~+ j
    
26. 4 Z' N& H* E6 J' G; N
    
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    $ ?2 K8 q# E2 L$ l$ H$ x7 Y1 l
28. 
    5 N& ~9 c3 D, t$ |
29.         x_root = self.find(parent, x)/ K+ `# I) `+ V+ I# m$ l; l; Z
    
30. 
    # Q\" O2 l: k6 I/ p\" q0 C& M
31.         y_root = self.find(parent, y)
    2 o. G- X4 f! h5 Z3 M1 R; x\" s5 z8 E
32. & i, o3 ]0 h\" O. q2 F, k
    
33. 
    3 Z' O: q, `$ C1 Q
34. ! i5 B\" I) W: C+ ?9 h8 a) S
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:7 V! L4 Q+ k3 ]
    
36. 2 g7 J  y9 I, Y' T7 J& i6 ?( W0 d
    
37.             parent[x_root] = y_root
    : H6 D5 `! L5 L% g+ z# |
38. 
      I  K! Q6 U! b: g& u% ?5 @9 h0 p
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:) \  P5 S6 c7 P# g) a
    
40. 
    + E' E1 G: |& u
41.             parent[y_root] = x_root+ Z# {3 ?1 l2 \7 F3 ?: K% d( Y
    
42. \" a: i; b; D7 M# N
    
43.         else:
    ; Q. r1 c1 W  s8 w, J; Q% i
44. 
    4 X) J! }/ U; u: h' J4 w  B: C% T4 f1 y
45.             parent[y_root] = x_root' {: A4 `% g; {. k) y) Y% W/ C
    
46. 1 ]2 q. s* N7 E+ @# c. q
    
47.             rank[x_root] += 1
    2 t$ U1 s\" w3 F- u$ S
48. 
    2 \' M! K( o# i2 l: A$ c, }( b% [
49. # m8 [2 g1 V2 L% x* ?\" G0 I3 u6 I\" {
    
50. # \5 e2 ?1 f( ^, U8 B: c+ K, N$ g, Q
    
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):# N2 K. V7 N! U( a
    
52. 
    2 K0 X8 d3 O5 _  F+ _8 p. ~0 a( X\" ^
53.         result = []
    & m. r0 ~8 w  G1 Q% U4 J( Y. R. h
54. 
    , {$ f; ?/ j) b4 Y
55.         i, e = 0, 00 j# X4 e1 w3 I# U  n* H
    
56. ( D. g7 e: P6 C/ q2 u\" x
    
57. 
    + E2 i8 k0 r' A\" C; Y7 w( k% `
58. + H6 }% B7 q3 @/ p\" B  B
    
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])1 I+ u. P1 m* E: o
    
60. 
    / n) u$ R5 M+ M, W
61.         parent = []
    - W) o. k) Z  {$ H, s8 h. C
62. 
    ; ~; C& _8 q8 t+ U2 S' [; f0 \, e8 A
63.         rank = []  f( O& w- Y% d+ P
    
64. 
    : s8 v0 U2 c8 ^/ ], f! G! d2 i! o* A* }
65. $ c& x0 P0 E) c- e1 G8 U
    
66. 
    + i( X7 s7 t5 A% _: t# i
67.         for node in range(self.V):
    & k( A1 L/ U9 c/ C9 M5 v
68. & j$ f' Z) X4 O\" i5 |6 ?: f2 q% @
    
69.             parent.append(node)* D5 s! x3 [( c6 T- Q5 m# E9 O
    
70. ; R) W6 F# {, g' C# a
    
71.             rank.append(0)! R+ c. s8 u( V7 ^0 `
    
72. 
    ) `( r; w: v) n- y; c
73. # T0 v  W+ \. ^5 Y/ d
    
74. 
    & `* L5 o5 s8 S7 ^5 }
75.         while e < self.V - 1:  c' {8 d- m. k9 }
    
76.   D  T: J; V: c4 \6 J
    
77.             u, v, w = self.graph[i]# a! r6 s# H! D/ H
    
78. 
    ; N$ n# _\" j. x
79.             i += 1
    4 Q8 Q) B, G6 [; J
80. ) A, t5 N0 L' y) C
    
81.             x = self.find(parent, u)# Y7 P$ ~. d\" P& {
    
82. ( h4 }0 @\" B# E0 h4 ?8 a
    
83.             y = self.find(parent, v)& H% ~6 y9 G# e1 d9 ^( z
    
84. * S- x# j7 [& @( L8 l) g\" k
    
85. 0 X! u- H$ S% U3 O
    
86. 
    5 N0 n  K2 @  k( ~  w& W
87.             if x != y:
    4 R& y) \& T$ v: D  m- H
88. # x1 b( Y  r: l% h% @) [
    
89.                 e += 1/ @$ k. b3 R) z* X
    
90. , X. W6 f4 R! V5 L% d+ U4 g  ^
    
91.                 result.append([u, v, w])) j( p\" C! e( r. A4 Q/ d/ ?
    
92. 
    * r) f2 {$ L5 N
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    ; D) P6 ?! }& z  @( @. P2 B
94. 2 S) W( [& ?  D6 j\" ]6 R. d
    
95. 1 k* ], z, l, k/ @
    
96. 9 k  M0 ?, G8 Q2 y# }* s
    
97.         return result
    : \- l  m( A% l$ ]' m/ ~1 e$ ]
98. . }0 [; |: n! N' I$ a
    
99. 
    $ J) M  P+ s8 D\" [( \+ Q
100.   j9 H8 Z* |/ J3 U' H
     
101. g = Graph(4)
     - \5 _' m/ b! ]( ~% w1 e
102. 
     1 y9 J% W; }3 U
103. g.add_edge(0, 1, 10)
     7 J$ P\" @  p2 k$ s
104. 
     + I3 M\" _3 I' ?, ]) \
105. g.add_edge(0, 2, 6)6 W( B/ \% r7 B
     
106. 
     1 [* R. j% v# }% F
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     8 C* h  v1 U1 h+ C5 G- Y( Q3 b
108. 9 I( `0 _: J0 t: q* `5 X. o
     
109. g.add_edge(1, 3, 15): m5 i\" s' I2 ?
     
110. 3 ]8 {6 P; e+ F4 o% e
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)
     ; O- a% M% g3 u\" f, g2 ]* D; t5 q
112. 
     * K! |$ Z( O8 a% R
113. : R\" W. U5 W8 b. G
     
114. 4 a- c% E\" p1 R6 p, A
     
115. print("最小生成树的边:")
     ' }5 h5 g) C' w+ f9 H, x. q
116. 
       L$ p  m3 V1 X% S- f5 ^8 x7 c
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。

7 b% X2 T  N$ L