Kruskal算法生成最小生成树 实例

2744557306

Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
) S5 F6 m* x/ e以下是Kruskal算法的简要概述：

1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
% w/ t+ _# L/ Y) |0 K) r2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
4 D; u: b; k- e7 }9 Q' u3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
2 L! r& O: o5 s+ l
以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:
   $ O# ~6 U: ]: a6 j7 v\" M7 K, ^
2. 0 }& s! m( q0 C8 N
   
3.     def __init__(self, vertices):
     h0 J5 c* F8 U0 ^1 }
4. $ [3 {* V* d: x0 S
   
5.         self.V = vertices6 `- d! @, D+ A- d- [
   
6. & j  T5 w! y$ f! U$ x
   
7.         self.graph = []& ?4 r) \5 y7 p\" B0 u2 M( E. g
   
8. 
   6 L+ ?8 Z5 ~0 X7 S
9. 
   3 \3 O\" h\" {! Y# n% c( @' z4 f
10. 2 Q' z. y- s/ M- A\" y
    
11.     def add_edge(self, u, v, w):6 E/ @( \: Q0 S. e
    
12. 
    ; n; X/ B! C  F, }: a4 ]
13.         self.graph.append([u, v, w])
    # ]& C6 a, F6 ~! J6 E2 S! h. {+ X
14. 
    3 [0 g! _7 k' D- {7 ]6 {/ l
15. - y* v  j1 F/ x! L& ^3 ]+ j* {
    
16. 
    % v. f# j6 G/ E& w- D
17.     def find(self, parent, i):
    2 ?$ w) P# H% Y
18. 
    5 a4 N/ V. r2 x+ g
19.         if parent[i] == i:
    , A' d3 J% x( T  h# ~: m
20. 
    / f. n1 D- i6 T
21.             return i
    / k6 k\" D3 l; v\" `* j
22. 
    - ~, S, Z\" P) i) G
23.         return self.find(parent, parent[i])
    ! Q* m2 y% Z3 _) ]4 D% \4 |1 Z
24. 6 o9 s. _0 b0 f* [# b5 b
    
25. 5 R% z  f$ K/ [: g
    
26. 
    . x, a) T2 I7 {# ~
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    ) O, M% n( g# P0 L2 r$ R/ u: R
28. ' C: R2 v9 ?# c3 P
    
29.         x_root = self.find(parent, x)
    - u0 @) w2 d, o4 r& k2 m3 _# b4 J
30. \" A6 h0 J* e/ Z' }
    
31.         y_root = self.find(parent, y)
    4 h6 J3 m, }! t7 D\" w. `$ W
32. - Q1 _; a0 V2 q# W. `
    
33. : H/ M2 {; o2 X4 r1 _8 D1 @# Z
    
34. 
    % w, U; Y' I+ z' j3 n4 B8 w
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:
    0 G7 p% u7 w! E# D* `
36. 
    ( X; r: {. X6 ]$ I3 }! d# N
37.             parent[x_root] = y_root
    & E  {/ `, G$ O8 x; n8 y; t
38. 
    2 A! P( ?& V0 h/ a, h' H6 u3 c
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:) I9 [1 ^; C8 @+ W; y
    
40. & l/ r  F( i0 k0 w/ T! @
    
41.             parent[y_root] = x_root- U0 a) ~5 R7 e) H; X% R3 P
    
42. / ^: T& D' ~( z' S) ?4 v& D5 b, X
    
43.         else:
    \" p& g- {' K$ R4 _6 `
44. 
    # B5 D+ Q0 J/ x\" Y5 ^* G; X
45.             parent[y_root] = x_root
    % g* h2 S# _5 K9 }3 N1 [; K
46. 
    4 }+ k/ \. ?6 B/ m* x& y
47.             rank[x_root] += 1
    ! k  _- ]: d# O6 F/ q, Y: H
48. 
    ; R5 c( }9 Z0 {/ @; [( \. j6 M
49. 
    8 D) d( S3 T0 g5 T5 p6 O, ?
50. 
    7 D2 J1 s( P$ t7 `! y
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):1 T0 b+ j& K$ y; n3 L: V
    
52. \" F8 i- ?. d- A5 d- F( l3 p
    
53.         result = []
    ! B9 g2 {. ?4 M6 _8 @$ n  o
54. 
    . |) B3 D! G4 Y( U) l- ^% Z4 d1 [
55.         i, e = 0, 0
    , T/ P- h\" G7 q
56. 
    2 b\" e8 q6 d' X, ]
57. 
    , G4 T3 v4 K9 O# n) @4 Y/ ]7 a
58. 
    $ C* j0 B5 q9 ]1 b4 A& D2 ?4 `
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])3 Y8 s0 S8 D/ C0 t6 p  O, N
    
60. 
      |: a8 C+ v4 G( d' ~
61.         parent = []
    % A  d# n+ U7 Y! R4 }8 T# d
62. . O$ j) I4 @. V7 b9 q
    
63.         rank = []: x1 W/ A  I- O\" w; ~2 L7 h
    
64. 
    . X* {' R5 N% i7 ]' G0 _
65. & d' t- V' F% h) U* b7 N3 d
    
66. $ M* S! n0 K) {# ^, N/ I/ C
    
67.         for node in range(self.V):
    % Y# q. V1 O! p3 u8 C7 |
68.   U9 [9 Y* Q% i) c4 v4 S, [6 L
    
69.             parent.append(node)
    % q: ?. [3 j+ S# g/ H2 W  z$ G5 v
70. 
    / h0 o, M7 F- H* u
71.             rank.append(0)
    8 p\" y/ U. ~2 t( d\" W5 h8 ]
72. % A& j( ]7 V: ]6 \
    
73. 
    6 W2 U1 f# w9 J
74. 
    7 ?& U7 N' M2 C4 Y7 _3 E: r% n  P
75.         while e < self.V - 1:) M. O: r# i6 Q+ U
    
76. 
    \" N% h8 P% P6 h4 S- }0 ?
77.             u, v, w = self.graph[i]2 c3 c' w% N' O% h
    
78. & m$ T, p& `- n5 @
    
79.             i += 14 j3 u0 E' G: d4 ^! x  ~  h
    
80. 
    . y/ T7 |2 h5 D2 |1 C
81.             x = self.find(parent, u)
    ! [7 o3 X3 a# a4 _& ]' G
82. + G! F8 R5 i# r' \0 }( L9 @
    
83.             y = self.find(parent, v)
    9 q$ ~# f9 l7 z
84. 
    ! m: n- _\" T. w. @\" f3 Z5 W( k
85. 5 P. p$ R! W- @: a; a2 p
    
86. ) R. @, l* _# m; t
    
87.             if x != y:( V& J7 [8 M5 j
    
88. 
    7 ^1 i$ J' H1 o0 u- j2 K0 N
89.                 e += 1; f( C9 w2 ~4 H, s8 b9 _' A( n
    
90. 
    $ @: u/ \8 h) w1 w
91.                 result.append([u, v, w])
    ! I1 y2 G8 r+ `4 n8 k3 q
92.   `+ [* Q' z) H9 V- i) q
    
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    7 b/ B( x, X3 b- M  V5 r  x
94. 
    % g+ h* [( e$ h! }, h, J
95. 6 d9 @! x, W' H. \) p6 P
    
96. 3 ^) m2 G. d9 E
    
97.         return result
    ; v+ p% f( \  w, Q9 }: m1 X
98. 
    ; b& b6 E- F6 P6 a: X; Z
99. : ^+ K% n% _7 _1 N( l
    
100. * }- Q8 \/ n\" ^, O: ?
     
101. g = Graph(4)
     % y+ K/ w* u& N- L
102. 0 Z1 D; b9 e! m& `, M7 a# E
     
103. g.add_edge(0, 1, 10)
     6 H% }8 |$ a' }  g4 ?
104. # x$ a\" V+ o, Y2 E. G% D
     
105. g.add_edge(0, 2, 6)5 x, ]6 ]4 U+ p& ~
     
106. 
     : n6 \; y\" Y5 g+ D/ M
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     ! K7 i- E/ M; Q: _( V' O
108. 
     3 c' p( l! T# N) i- K) i5 f: D
109. g.add_edge(1, 3, 15)# }2 b+ I2 P+ {( O
     
110. . e% F) o0 @3 o0 r, \/ x, Q\" l
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)! S- y9 B2 h3 L- t5 g
     
112. & O2 U. T6 Q3 i
     
113. 3 o; i, m\" g: j8 Z6 Y4 o
     
114. 1 P; i7 X# {# R! W
     
115. print("最小生成树的边:")- s. _. ?/ d7 d- t4 R) a
     
116. 
     & N9 |2 j4 o- ^0 n+ {\" K
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。

- N+ u7 b; o4 [8 o