Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
7 l! l% y7 J' S7 N' @3 D$ G, G6 q以下是Kruskal算法的简要概述：

1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
# s0 T7 ?+ H9 D8 \; u2 o2 t2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
' U1 K- M1 s" {# P. F; a5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:
   2 K4 {6 z: m4 y
2. 
   ; \. W( {4 a- x4 b; }. p2 f; |
3.     def __init__(self, vertices):3 f\" X! I' ~1 ?! h+ S5 P
   
4. 
   / `; d: B5 V, z% p. n: |0 {8 ~
5.         self.V = vertices4 V' F\" _1 m; ~6 b
   
6. 8 y) t* H! c1 t. @
   
7.         self.graph = []9 Q( w( o0 S9 u/ c  ?# {' g
   
8. 
   0 m0 q) j# p5 g4 _( y+ U1 t8 y
9. 
   - Z+ K6 V6 z# H, o' G
10. 
    : W, c: c; Y( s* ?
11.     def add_edge(self, u, v, w):
    0 X- ?; f5 I; p. \2 B  S% W
12. 
    . x8 r; s0 ^  o\" P
13.         self.graph.append([u, v, w])/ Y& S9 ?! T; i7 y. R
    
14. 
    1 G! ^6 e) t+ D, t
15. / G7 `5 c% O3 u
    
16. 
    : H+ C  A( O& k
17.     def find(self, parent, i):
    4 e. W1 L6 d' c6 w  y/ D$ u
18. 3 Z' D( R3 l& z0 f
    
19.         if parent[i] == i:; S! k; F; X& w1 J
    
20. 
    ' `  a1 \: R7 {, ~/ h
21.             return i
    ; B5 J, r6 `# T% h6 h/ ~, {  p
22. 
    4 n, s( l\" _$ S8 _
23.         return self.find(parent, parent[i])* U6 {4 F( n/ q3 @; o\" G6 m* d
    
24. ' P' j0 f0 u# \2 |
    
25. 
    ) C7 |: z/ v$ D, Z: E
26. 
    % b0 ]  ^: ]\" a, G
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    ' V$ [, z  q& H, \
28. 
    ) Y, ~\" F% N) f! v9 h0 ~6 N
29.         x_root = self.find(parent, x)5 N) j$ P% H/ p; s/ m* R
    
30. , J* \6 {7 a# F9 ]3 `7 T
    
31.         y_root = self.find(parent, y)  {\" j$ G3 K5 k4 x* G, `7 T
    
32. 
    \" K\" n, }; V2 |
33. 
    8 f0 d\" F. o& s2 e  P! f
34.   A: L- w- l, l# U4 o4 A
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:7 ~: W/ m5 V  P! h9 W; f$ q
    
36. 
    $ n( ]2 |, R6 {8 t  H
37.             parent[x_root] = y_root% ~$ h' l$ j# Q* k. V* [3 R
    
38. 4 r- `/ L- l1 J# u$ D5 ]6 J, c
    
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:
    # S. M7 T. b) j
40. 
    . Q  G6 f! f9 U% Y8 v/ T, M- S
41.             parent[y_root] = x_root
    , f. X! O+ ?+ x' e' {) Z5 H
42. 
    , V) V! G8 D- r$ t& ]' h; C, L
43.         else:8 A  \0 A2 Y3 b+ j1 I% `# w
    
44. 
    ( b0 e9 D- P0 y; `1 ]8 H5 h6 c. w
45.             parent[y_root] = x_root: H7 ?5 A6 q9 B, j/ v
    
46. ( y5 q3 _9 Q9 c# \, v
    
47.             rank[x_root] += 1& E& n% X& B& A: P8 I. o\" g. o
    
48. \" ^  V, W# U& h! l8 F\" P
    
49. 2 N' D  b  L% j. R
    
50. 
    ! Z6 d$ i; j2 D: C- z; L
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    $ E\" ^' S4 b$ E! o( I, U
52. 0 M, b4 ]9 V$ I# l5 e& C- Z
    
53.         result = []
    . d! {+ s' r  k: H
54. 
    + y' C3 K5 X, N. `9 x* G6 R) C- M
55.         i, e = 0, 0; f% A3 |7 C2 l\" K4 k6 u/ k# p
    
56. 7 N2 R) b2 S6 }$ @% b( {
    
57. % J. ~! w5 o; R
    
58. ! `- C+ O1 p1 u, e0 N% n7 Z
    
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])
    1 {- `6 e\" V6 @5 ?$ f1 M, g
60. 
    . T8 Y) r, u1 Q8 F) S- M0 x
61.         parent = []
    9 q2 L' [$ M  V$ Y
62. - w\" O$ w8 e\" ~5 D% @8 [\" w
    
63.         rank = []/ l$ g. o, \7 X5 P  {- |# z* i# u
    
64. , g$ L1 u\" G: z  j2 s4 P4 w8 @$ |
    
65. % G$ q/ C4 B\" i! e6 ?# Y. l( W
    
66. 
    1 E! b9 J* z9 Q
67.         for node in range(self.V):8 ]* V4 w2 R' Q6 v! E3 g
    
68. ! [: P\" u# P\" y# @% q: \
    
69.             parent.append(node)
    $ O/ `( G/ Q6 ~/ M
70. # [$ X5 J3 p5 c' m6 S
    
71.             rank.append(0)7 T5 k' `' ?6 {* O
    
72. : C5 m: L& u4 [! K6 ?* n8 ?+ J
    
73. + M% O- W) c  k, k% q
    
74. 
    - u5 a- j7 e* ]1 ]9 p: q; @& p
75.         while e < self.V - 1:
    ) ~: G! Z  x. Q1 M
76.   ~% T/ b7 G* O
    
77.             u, v, w = self.graph[i]
    ; Q4 p6 Y( G2 ~# Q5 U\" i/ [: s& F# E
78. 
    6 j+ N# p5 x/ c4 [$ @/ v( L
79.             i += 1
    % q! n, m8 \( k) N
80. 
    5 ~) Z% F; x. {4 Q0 Z8 r4 s  _: \
81.             x = self.find(parent, u)
    5 T; v\" v\" _% Z, o' v. m\" g
82. * I- Y+ l9 m  U+ ^
    
83.             y = self.find(parent, v)* W5 p2 j2 _8 G3 Z
    
84. 
    : o+ C0 U, T3 y4 N: `- ]& |
85. 
    * _3 k\" w2 R/ [* l# F4 |
86. 
    ' H7 `- y. x3 _2 o
87.             if x != y:
    ' I. l3 k5 ~( w  m# X
88. 
    3 J  d# @2 O8 l3 |
89.                 e += 1
    : _) }% [9 A\" [2 G4 }. w
90. * K( k! \; d2 N1 ?8 J8 c
    
91.                 result.append([u, v, w])/ \2 E\" H. p0 q9 c8 e- U) L% b, V
    
92. 
    % B7 M  a* ^$ N+ }8 `
93.                 self.union(parent, rank, x, y)' G4 d) ^. `) v% v' |* Y8 v3 s
    
94. / h' L1 |, q\" B8 X3 C
    
95. 
    * u9 |( V3 B/ A4 t
96. + U2 f( S9 p8 n: G
    
97.         return result1 Y. e& P\" G0 a0 J* A, ~# p5 @! P
    
98. 
    ) p, T, C% b1 n7 L6 I
99. 
    $ d7 T3 }  Y4 B2 R/ [
100. ; E& O9 m# U8 Y% g) L1 f5 |. W
     
101. g = Graph(4)! D- ~' E$ S9 ^$ C  O7 g
     
102. 2 h5 b- }6 r4 I# _& }; E. T
     
103. g.add_edge(0, 1, 10)
     - M4 m7 F* v4 O% e8 n
104. 
     + q3 |+ D; ?  z4 U; ^; K& r
105. g.add_edge(0, 2, 6)1 [5 w+ ^$ t6 H+ k  ~
     
106. 
     . X/ u2 M3 n& N  t8 F
107. g.add_edge(0, 3, 5)% v3 o, O0 W/ g
     
108. 
     0 S# w3 B: l2 e$ `! t
109. g.add_edge(1, 3, 15)' r% H# O4 ^6 q7 }
     
110. 
     \" I# x\" o, U- H( P% ]7 K
111. g.add_edge(2, 3, 4)\" A, `! S3 a- E( X0 T
     
112. 
     5 w9 k1 T+ p6 x3 z
113. 
     7 m8 y# K7 N# J, i+ M9 ^  e, u
114. ) ^, P+ Z7 |+ n, B
     
115. print("最小生成树的边:")
     + t: j\" q' b$ h% b8 I+ T
116. 6 u8 E* O% G- E1 P( U
     
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。