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MATLAB 求和与对数之间的关系

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发表于 2024-9-26 17:19 |只看该作者 |正序浏览
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这段MATLAB代码用于计算一个极限,具体是涉及到求和与对数之间的关系。以下是对这段代码的详细解释:
1 K' ]9 c& f8 \( ~  d5 X- ~: M: R
& L9 a& [4 J9 C* q### 1. 定义符号变量% S) i+ A( ?4 a* G
```matlab+ E4 K! E+ M2 G1 u4 k* U! i$ O
syms m n;* }, t+ X6 w0 D" i; r1 ?) ~2 x
```
, H) D, q* ^4 V' e4 F- 使用 `syms m n` 定义了两个符号变量 `m` 和 `n`,这两个变量将用于后续的符号运算。
4 E4 l& Q. B5 }1 O% r. @  F+ F- g8 Z* |6 x0 n0 ~) n: }% @1 g+ D5 z1 d
### 2. 计算求和和对数的差' U9 _' ~- S' f% C
```matlab
  1. limit(symsum(1/m, m, 1, n) - log(n), n, inf)
复制代码
```% S; I" X5 ~! q) f9 |1 @
- `symsum(1/m, m, 1, n)`:
/ j4 v: K$ P4 m" N  - `symsum` 函数计算从 `m=1` 到 `m=n` 的级数和,这里具体是求 `1/m` 的和。7 p* q8 V1 G) J' _" f% P
  - 结果是哈默尼克级数,表示为 \( H_n = \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m} \)。- a# O5 Y9 L" e( S( H

/ b" }2 ^% S  v* x- `log(n)`:  b. C+ |* V2 ?7 Z% [6 U
  - 这是以自然对数为底的对数函数,表达 `n` 的对数。
3 d9 L6 ~) j1 Q8 m& ?0 [/ x0 q) D; I( `- c
- `limit(..., n, inf)`:! ^( a9 A* E" N+ i: }9 i
  - `limit` 函数用于计算当 `n` 趋近于无穷大时,`(H_n - \log(n))` 的极限。7 \& B3 p; s" q% R- ]1 b
  - 根据调和级数的性质,我们知道 \( H_n \) 的增长速率与 \( \log(n) \) 相关,且 \( H_n \) 与 \( \log(n) \) 的差收敛于一个常数。& M% u+ S  E6 u( r* X. G2 }( t

+ }3 g, r* X, k4 i$ a) z) I7 E" Z### 3. 显示结果
  1. vpa(ans, 70)  % 显示 70 位有效数字
复制代码
- `vpa(ans, 70)`:4 R$ u+ ?3 ~2 m+ y: O
  - `vpa` 表示“可变精度算术”,用于以高精度显示计算结果。7 ~$ k  Z1 g* k% y# s, a
  - `ans` 是 MATLAB 中的默认变量,它保存上一个计算的结果。7 y( j2 Q( T% n5 `7 ]3 q
  - 该函数将结果显示为70位有效数字。. l6 |- O" r$ a* L0 Z+ h2 y

  ?. _) C2 M3 z. n, W1 X' X# t  j### 总结
4 H, W( w- A, B5 K: u% S$ G6 G6 G  \这段代码首先计算出哈默尼克级数的和与自然对数之间的差,当 `n` 趋于无穷时的极限。然后,结果将以70位有效数字的形式输出。这个极限的值实际上是著名的常数——欧拉–马歇罗尼常数(Euler–Mascheroni constant),通常记作 \( \gamma \),即:$ ^2 o" d8 N+ t$ i$ ^0 e0 B
\[
8 P- ^# u/ ~8 U  I  J2 W) [: }\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( H_n - \log(n) \right)9 ]* R8 J* s1 \  @/ \
\]
8 V& C! g: x+ }# D3 s# _此常数的值大约为 0.577215664901532。但是,通过 `vpa` 能够提供更多的有效位数,使结果更为精确。2 ?0 Z9 c2 D/ }" ]" f
, [1 _6 Z1 N" m! R2 ?2 \& G

, V( q' [6 X2 v& V$ t: ]. c- a! c: c8 U3 P9 Q  D2 _
zan
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