MATLAB 求和与对数之间的关系

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这段MATLAB代码用于计算一个极限，具体是涉及到求和与对数之间的关系。以下是对这段代码的详细解释：
% b8 U8 B1 I' G% A7 @
0 F) i; e$ K8 b  [2 D; o0 I### 1. 定义符号变量
```matlab
0 w: S2 T' y: b2 F+ s  H+ n9 wsyms m n;
% v* q4 n6 Y7 q2 z+ z0 @% U```
- 使用 `syms m n` 定义了两个符号变量 `m` 和 `n`，这两个变量将用于后续的符号运算。

6 E+ k7 x5 d7 y1 M### 2. 计算求和和对数的差
, j& V& s* m3 E2 v```matlab

1. limit(symsum(1/m, m, 1, n) - log(n), n, inf)

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```
+ }/ k4 |: {* k; r. o5 B! x- `symsum(1/m, m, 1, n)`:
  - `symsum` 函数计算从 `m=1` 到 `m=n` 的级数和，这里具体是求 `1/m` 的和。
+ U3 j$ V% o! M: ^  {  - 结果是哈默尼克级数，表示为 \( H_n = \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m} \)。

- `log(n)`:
  - 这是以自然对数为底的对数函数，表达 `n` 的对数。
, Y3 k1 W0 i+ d9 l
1 v( s+ a) K7 z6 P6 z- `limit(..., n, inf)`:
! U; \1 J+ l, U# Q& b8 c  - `limit` 函数用于计算当 `n` 趋近于无穷大时，`(H_n - \log(n))` 的极限。
  - 根据调和级数的性质，我们知道 \( H_n \) 的增长速率与 \( \log(n) \) 相关，且 \( H_n \) 与 \( \log(n) \) 的差收敛于一个常数。
4 F" f; O) Y4 `" m& M0 f
4 O# ~! I1 k% {### 3. 显示结果

1. vpa(ans, 70)  % 显示 70 位有效数字

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- `vpa(ans, 70)`:
) E* x# `, L% u- s" _% e  - `vpa` 表示“可变精度算术”，用于以高精度显示计算结果。
6 w$ d8 y( x" E: a, U8 H  - `ans` 是 MATLAB 中的默认变量，它保存上一个计算的结果。
& t) y0 R+ p, {: X% a" i  - 该函数将结果显示为70位有效数字。
) Q' m, i& i# P" `# e
### 总结
这段代码首先计算出哈默尼克级数的和与自然对数之间的差，当 `n` 趋于无穷时的极限。然后，结果将以70位有效数字的形式输出。这个极限的值实际上是著名的常数——欧拉–马歇罗尼常数（Euler–Mascheroni constant），通常记作 \( \gamma \)，即：
( X$ i6 F& u# C! y& V% n\[
& c! L& J8 [1 y9 e2 c: @\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( H_n - \log(n) \right)
2 }& j- Y, I7 m3 J\]
此常数的值大约为 0.577215664901532。但是，通过 `vpa` 能够提供更多的有效位数，使结果更为精确。