用数值积分的两种方法来计算函数的曲线下的面积

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这段MATLAB代码展示了如何使用数值积分的两种方法来计算函数的曲线下的面积，并确保它们得到一致的结果。以下是代码的逐步解析：
( u$ o0 b9 }' ^8 G) n$ C: ^
) L" J; B% N- E5 {/ c### 1. 定义区间和函数值
```matlab
x1 = [0:pi/30:pi]';
y = [sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)];
7 j% ]% H4 n+ O5 F```
- `x1` 创建了一个列向量，从 0 到 π，以 π/30 的步长划分。
9 p) a2 C! Y2 T2 V4 e% |- `y` 是由三个函数（`sin(x1)`、`cos(x1)` 和 `sin(x1/2)`）组成的矩阵，每一列对应一个函数在 `x1` 上的值。

6 [( t4 S8 C; T( J# |5 y### 2. 准备进行数值积分的变量
' E; v  `6 F3 q```matlab
" g& p; @+ C$ i* l- tx = [x1 x1 x1];
```
- `x` 将列向量 `x1` 复制三次，形成一个三列的矩阵。每列表示不同的 `x` 值，目的可能是为了与 `y` 矩阵相对应。

5 n! B" e1 c& d# A### 3. 使用梯形法计算面积
$ b  W9 D' o- T& k: t8 o) x```matlab
S = sum((2*y(1:end-1, + diff(y)) .* diff(x)) / 2;
/ c. ]& Z  W! R* a- ?, _% \8 n```
- `diff(y)` 计算 `y` 的相邻差分，得到每个函数在相邻采样点间的变化。
' i5 ~+ F  D$ I- |) f! O# G; o- `y(1:end-1,` 取 `y` 的前 n-1 行，作为计算梯形法时的基准。
0 F2 n; i% ~2 Q* T- `2*y(1:end-1, + diff(y)` 计算了每个小梯形的高度，`diff(x)` 计算了相邻 `x` 的差分，表示每个小段的宽度。
8 Z6 K& A- {3 H- 最后，通过求和并除以 2 来得出总面积 \( S \)。

9 s. t5 g! ~, j2 \6 g8 M$ g### 4. 使用 `trapz` 函数进行数值积分
, h+ V/ H! N$ h5 G" U4 p2 G```matlab
1 l: w1 Z; v/ C& V5 l! T: tS1 = trapz(x1, y);
```
- `trapz(x1, y)` 使用 MATLAB 的内置函数 `trapz` 来计算由 `x1` 和 `y` 定义的曲线下的面积。这也采用了梯形法进行积分。
. R3 o0 c' j; [5 u- E4 ^! p: V
' ]. ^' g" l6 B+ i& N: ~5 g### 5. 一致性检查
) }% }: J7 R5 V6 A# j$ a# Y- 变量 `S` 和 `S1` 都存储了通过不同积分方法得到的面积值。由于使用了相同的函数和区间，理论上这两个值应该是相等的。

0 l' h- n; t: j9 z" ]- \$ T### 总结
) E- @8 Z) @3 }) _8 J$ s/ {这段代码有效地演示了如何使用手动实施的梯形法和 MATLAB 内置的 `trapz` 函数来计算两个或多个函数下的区域面积。通过比较两个结果，用户可以验证数值积分的正确性和精度。在数值分析中，这种方法用于确保计算的可靠性非常重要。


6 L' O6 `1 e5 h2 q' j' w
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