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Dijkstra算法求c1点到其余各点的最短路径

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发表于 2024-10-23 15:59 |只看该作者 |正序浏览

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该 MATLAB 代码实现了 Dijkstra 算法，用于求解单源最短路径问题。该算法用于计算从一个节点（通常是起始节点）到其他所有节点的最短路径。下面是对代码的逐行分析和对算法思想的解释：

### Dijkstra 算法的基本思想

Dijkstra 算法是一种贪心算法，核心思想是通过不断选择当前未访问节点中距离起点最近的节点，并更新相邻节点的最短路径估计值，最终找到所有节点的最短路径。

代码解析

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]函数定义:

function [d, index1, index2] = dijkf(a)

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- `a` 为权值矩阵，表示图中节点之间的边的权重。
- `d` 为最短路径权重的数组。
- `index1` 表示节点访问顺序。
- `index2` 表示节点的索引顺序。

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]初始化[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

M = max(max(a)); % H* w/ J$ B1 n+ {/ s
pb(1:length(a)) = 0; % 标记所有节点为未访问
0 h: @% x) j/ {' k. W\" M; M- M
pb(1) = 1; % 将起点标记为已访问
; z0 ~$ t* y; E- W$ r2 }
index1 = 1; % 记录访问顺序 5 G0 R1 o) Z: ]! D
index2 = ones(1, length(a)); % 初始化索引数组 $ @9 o9 w/ u, O$ ^1 Q
d(1:length(a)) = M; % 初始化距离数组为最大值
, O9 }. y2 T$ M, K0 s5 u! ^3 |5 s
d(1) = 0; % 起点到自身的距离为0 & G: j' [6 b# ~' A Y
temp = 1; % 设定当前节点为起点

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- 通过提取权值矩阵的最大值来设置初始距离为一个很大的数（无穷大）。
- `pb` 数组用于标记哪些节点已被访问。
- `d` 数组用于存储从起点到其他节点的最短路径长度，初始时将所有值设为无穷大，起点到自身的距离设为0。

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]更新最短路径[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]::

while sum(pb) < length(a) 9 n/ }9 k) J. U) `9 l3 H+ u! `
tb = find(pb == 0); % 找到所有未访问的节点 8 F, u3 r7 l7 q5 n5 w* ~& x% N
d(tb) = min(d(tb), d(temp) + a(temp, tb)); % 更新这些节点的距离 5 d3 O# s* F, K O9 v+ ~4 _
tmpb = find(d(tb) == min(d(tb))); % 找到距离最小的未访问节点
- `' y\" h- j' {+ W( E7 y
temp = tb(tmpb(1)); % 选择距离最小的那个节点
) F4 n r& l( k
pb(temp) = 1; % 将其标记为已访问 2 `4 J5 C' C\" P' n/ D+ p. n& e
index1 = [index1, temp]; % 记录访问顺序

复制代码

- 使用 `while` 循环遍历所有节点，直至所有节点都被访问。
- 找到当前未访问节点 `tb`，并更新这些节点的最短路径长度。
- 选择距离最小的未访问节点来作为下一个要访问的节点。
- 将该节点标记为已访问，并记录访问顺序。

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]记录顺序和索引[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:

index = index1(find(d(index1) == d(temp) - a(temp, index1))); 9 D) u' B& V0 a, z
if length(index) >= 2 # E# j- t! w2 l, w5 {1 ~
index = index(1);
0 g( B/ N) E$ ?% g9 C
end
2 s' c' w9 D) }7 m, ~- L, I
index2(temp) = index; % 将更新后的索引存入 index2

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- 通过计算当前节点与已访问节点的关系来更新节点索引 `index2`，确保最短路径的方向正确。

总结最后，该算法实现了 Dijkstra 最短路径算法的基本逻辑：

1. 初始化距离和访问标记。
2. 循环获取离起点最近的未访问节点，并更新其邻接节点的最短路径。
3. 重复这一过程，直到所有节点均被访问。

最终返回的 `d` 是从起点到其他节点的最短路径长度数组，`index1` 是访问顺序，`index2` 是节点的索引顺序。这个算法的时间复杂度为 $O(V^2)$，其中 $V$ 是图中节点的数量。但在使用优先队列等数据结构优化时，可以将复杂度降低到 $O((V + E) \log V)$，$E$ 是边的数量。