错用罗素悖论----康托在集合论中的两个逻辑性错误

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第28卷第3期
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数学理论与应用


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Vol. 28
No.3
2008年9月
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& C1 p, }8 X0 I# d% x# W+ TMATHEMATICAL THEORY AND APPLICATIONS

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Sep. 2008
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错用罗素悖论----康托在集合论中的两个逻辑性错误

1 B" Z3 e6 q! d欧阳耿
+ Y, V9 S( ~( U. O: h& v2 K5 J  j- P

（漳州师范学院数学系，福建漳州，363000）

摘要： 分析了罗素悖论与康托的实数集合不可数证明及康托定理 证明之间的本质性联系, 发现康托的这两个非构造性证明与罗素悖论有完全相同的思路, 但是康托犯了两个逻辑性错误而使他误用了这个悖论思路。得到明确的结论:康托在集合论中如上两个证明里的核心部分实际上是罗素悖论的翻版, 这两个证明中的思路与做法是错误的，这样的证明结果没有科学性。
关键词：康托定理 实数集合不可数性  罗素悖论  无穷理论体系
部分 全体 认识论  逻辑
9 a8 x( P6 v8 j; O4 E( F- ?
5 b6 N; r  {; Y+ w" S& N

1 引
言

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! O6 S- h- f1 I蔡海涛  教授推荐
$ G4 C  c3 A" I) ~收稿日期：2008年2月20日
+ S3 h4 G' z5 H: ]& `3 I错用罗素悖论----康托在集合论中的两个逻辑性错误
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( C$ ?& V) e' s8 ~. F4 o1 ^

2
) s. A* C* t. ~. D. o, @2 k. O' j对角线方法与康托的重要证明

　　
2．1
关于实数集合不可数的证明

+ e; W6 ^! T8 y0 z
.......
& Z7 G) k& I8 Q: z2 _% `2．2
关于康托定理 的证明

3
对角线方法与罗素悖论

0 ^$ I3 a1 s+ d$ w

4
; _# H0 U7 H. A康托重要证明与罗素悖论之间的本质联系

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                           集合论悖论的解决V7.0
! N/ A+ f& N" g, g4 n* `: j' k            李均宇(李林星)   2010.12.22  email:myvbvc@tom.com  QQ:165442523
" @! c  R. _, s    虽然我知道公理集合论是为了解决罗素悖论而产生的,但我认为公理集合论是在走弯路,甚至是误入岐路了.如果不包含下列的理论,我认为<<集合论>>是不完整的.
    广义连续统假设:无限集合的基数必是X0,X1,...Xn...之一.
其中的基数X就是阿列夫,因为我找不到这个字符,所以用英文字母X表示了.
6 g- @1 ?7 b% Q) r1 g    无意义公理:一个无限集的基数是limXn(n→∞),则这个集合是没有什么意义的.
* x- v, t. c" B0 O  m% C这个公理是我引入的，我还没在别处见到过。
这个公理是易理解的，它就相当于公理集合论中的真类的概念，但公理集合论引入这个类的概念后就误入岐路了，至少作者是这样认为的。
+ S" h6 R+ I9 e; f+ N8 f    李均宇第一定理：如果一个集合包含广义连续统假设中全部的基数，则这个集合的基数是limXn(n→∞)
这个定理是显而易见的，用反证法不难证明的。
    李均宇第二定理:如果一个无限集合又包含自身的幂集,则这个集合的基数是limXn(n→∞)
证明:设无限集合A的基数是Xn,n是固定不变的.因为无限集合A又包含自身的所有子集或幂集,而幂集的基数是 X(n+1)=2^Xn,所以无限集合A的势变成X(n+1),这与原先假设无限集合A的基   
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" f: K, m" e5 |" d数是Xn,n是固定不变的相矛盾,所以无限集合A的基数是limXn(n→∞).
8 V* W; k' p4 P$ g! f    李均宇第三定理: 如果一个集合包含一个无穷集的所有幂集，则这个集合的基数是limXn(n→∞)
# E9 `- e. j% I* m& V7 o  M& W所有幂集,假设无穷集A，则其幂集P(A),幂集的幂集P(P(A)),幂集的幂集的幂集P(P(P(A))),...Pn(A).....称为其所有幂集。
因为一个无穷集的所有幂集的基数就是广义连续统假设中全部的基数，所以由李均宇第一定理知此定理成立。
" q! P$ b+ a0 b9 K    李均宇第四定理: 与幂集等势的集合，也就是基数与幂集一样的集合，也相当于幂集一样适用于李均宇第二和第三定理中。
一。基数悖论
    定理1:所有集合的集合的基数是limXn(n→∞).
1 a. ~9 v0 ~* r6 u这个显而易见，这在<<集合论>>中早已有之，这里重述而已。因为所有集合的集合包含自身幂集，由李均宇第二定理知其基数是limXn(n→∞).所以这种集合在公理集合论中称为真类。
, t! f9 A" Z6 Z' t) u& l二。罗素悖论
! {! f$ B8 Q( `* J    李均宇第五定理:任何一个不包含自身的集合的任一子集或幂集也是不包含自身的集合.
) K8 J* q1 o  d. Q7 A0 [    证明:用反证法.假设任何一个不包含自身的集合为集合A,假设集合A的任一子集B是包含自身的集合,则子集B中有元素B,元素B是包含自身的集合,而元素B又是集合A的元素,集合A的元素都

是不包含自身的集合的,所以元素B是不包含自身的集合,矛盾.所子集B是不包含自身的集合.幂集一样可用反证法证明.假设集合A的幂集是集合C,假设集合C是包含自身的集合,则集合C有一个元
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7 f" t6 ]6 C( }, ]素C,元素C是包含自身的集合,但元素C又是集合A的子集,根据上面已用反证法证明的过程知集合A的子集也是不包含自身的集合,则元素C是不包含自身的集合,矛盾,所以幂集也是不包含自身的

2 G7 t" p7 P8 h; Q9 e& O: P* @集合.
    这点不难理解的，例如集合{1,2,3}不包含自身，则其所有子集和幂集也是不包含自身的，这很易理解的，只是推广到无限集合中去而已。再如实数集R不包含自身，则R的任一子集和幂集
, X3 Q- x/ w- U3 j; e7 u8 g( p' a0 [: t
也是不包含自身的。
# X- s. H% n: C$ B    定理2:所有不包含自身的集合的基数也是limXn(n→∞).
    证明:因为实数集R是不包含自身的集合，由李均宇第五定理所以R的所有幂集也是不包含自身的，也就是R的幂集R1，R的幂集的幂集R2，R的幂集的幂集的幂集R3。。。。全不包含自身

，则所有不包含自身的集合必含R的所有幂集，由李均宇第三定理所以其基数也就是limXn(n→∞).
8 ~/ q7 [$ I5 \# a   所以罗素悖论中的“所有不包含自身的集合”，这个集合的基数就是limXn(n→∞)，也就是公理集合论中的真类。
2 J, L2 D* z+ I+ C$ _% ]: {三。序数悖论   
5 w' D( i& I! n( L6 ~- I    定理3:任何序数的非空集合都有最小数,从而任何序数的集合在小于等于关系下都是良序集.
定理3是<<集合论>>已有的定理,所以这里无须证明.
2 q! i: T- A, @: G; N    李均宇第六定理:任何序数的集合的幂集也是序数.
    证明:因为任何序数的集合的子集也是序数的集合,所以由定理3知其子集也是良序数,所以子集也是一个序数,则所有子集组成的幂集也就是序数的集合,由定理3知此幂集也是良序集,所以此

幂集也是一个序数.
    定理4:所有序数的集合的基数也是limXn(n→∞).
    证明:设所有序数的集合为集合A,由李均宇第六定理知此集合A的幂集也是序数,所以也应包含在集合A中,则集合A包含自身的幂集,由李均宇第二定理知此集合的基数是limXn(n→∞).
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) p4 ^" h( ]0 L) i: D: S" H+ @    基数悖论的问题在于"所有集合的集合",序数悖论的问题在于"所有序数的集合",罗素悖论的问题在于"所有不包含自身的集合组成的集合".因为根据上面证明,这三个集合的基数都是limXn(n

1 a7 M6 \! P6 v! w% c$ \→∞).则这三个集合是没有什么意义的,所以集合论悖论没有动摇现有科学的基础.
    作者认为公理集合论引进了类的概念是正确的，但随后是把简单的问题复杂化,作者把集合论悖论的解决用最简单的语言讲明白出来,抛弃了公理集合论这个科学上的怪胎,意义是十分重大
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1 R! _8 B( w0 i7 z' U( R/ I的。
四。下面深入讨论下的一些集合的性质
1 x( W$ ^5 Y* C9 s$ p7 Q* l    命题一：所有不包含自身幂集的集合是真类吗？是的。
因为实数集R的所有幂集都是不包含自身幂集的集合。所以所有不包含自身幂集的集合必包含实数集R的所有幂集，由李均宇第三定理知其为真类。为什么实数集R的所有幂集都是不包含自身
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2 s/ ]# S% H) l+ E* S7 b, P幂集的集合呢，因为假设其任一幂集Rn包含自身幂集，则由李均宇第二定理知其为真类，这与Rn有固定Xn矛盾的。
% C1 G  H8 n- W2 i   命题二：所有不包含1的集合是真类吗？是的。
因为不包含1的集合的幂集也是不包含1的，这用反证法不难证明，因为它根本没有元素1了，所以其幂集也不可能包含有元素1.则其所有幂集也不包含元素1，假设实数集R去掉1后为数集r,
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则r的所有幂集r1,r2,...rn,...也不包含元素1，由李均宇第三定理知其为真类。
   命题三：所有包含1的集合是真类吗？是的。
9 V4 K# q" c( `, `& D1 H5 o& Z7 @因为实数集R的幂集必包含元素{1},将括号去掉后就是元素1，去掉括号后的幂集与原幂集一一对应，仅仅{1}变成1，所以去掉括号后的幂集与原幂集等势，也就是相同基数，同理，实数集R
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的所有幂集都有等势幂集包含元素1，由李均宇第四定理和第三定理知其为真类。
   那么所有不包含1的集合就真的无意义了吗？不是的。这就是全集的问题。如果全集是某个有固定基数Xn的集合，在这个全集内的所有子集中再讨论所有不包含1的集合，这就有意义了，
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不是真类了。如果全集是真类所有集合的集合，基数是limXn(n→∞)，那么才会可能是真类的。也就是说，任何将“所有集合的集合”划分为有限个子集的集合，都必定有一个子集是真类。再
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论罗素悖论中的“所有不包含自身的集合”，也是因为它的全集是所有集合的集合，才会无意义的，如果是某个集合内的“所有不包含自身的集合”，则有意义矣。
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                           集合论悖论的解决V6.0
            李均宇(李林星)   2008.1.19  email:myvbvc@tom.com  QQ:165442523
    虽然我知道公理集合论是为了解决罗素悖论而产生的,但我认为公理集合论是在走弯路,甚至是误入岐路了.如果不包含下列的理论,我认为<<集合论>>是不完整的.
* A9 F0 L7 t  M! b6 T    让我们首先讨论无限集合的势开始.
    定义1:自然数集,整数集,有理数集的势叫X0.
    定义2:实数集,直线中点集,平面中点集,立体空间中点集的势叫X1.
, {3 r( z& t& F    广义连续统假设:无限集合的势必是X0,X1,...Xn...之一.
    其中的X就是阿列夫,因为我找不到这个字符,所以用英文字母X表示了.
0 p) g7 S; c$ M1 j( w    李均宇定理:如果一个无限集合又包含自身的所有子集或幂集,则这个集合的势是limXn(n→∞),或者说,一个无限集合不可以再包含自身的所有子集或幂集.
    证明:设无限集合A的势是Xn,n是固定不变的.因为无限集合A又包含自身的所有子集或幂集,而幂集的势是 X(n+1)=2^Xn,所以无限集合A的势变成X(n+1),这与原先假设无限集合A的势是Xn,n是固定不变的相矛盾,所以无限集合A的势是limXn(n→∞).
( N% _. ^8 E# \$ C! E    推论一:所有集合的集合的势是limXn(n→∞).
    证明:假设所有集合的集合为集合A,集合A的所有子集或幂集也是集合,所以也应包含在其中,所以集合A就是包含自身所有子集或幂集的集合,根据李均宇定理知其势是limXn(n→∞).
# ^" Q: M+ ]) @3 c" Q# B, b    定理1:任何序数的非空集合都有最小数,从而任何序数的集合在小于等于关系下都是良序集.
    定理1是<<集合论>>已有的定理,所以这里无须证明.
    李均宇第二定理:任何序数的集合的幂集也是序数.
    证明:因为任何序数的集合的子集也是序数的集合,所以由定理1知其子集也是良序数,所以子集也是一个序数,则所有子集组成的幂集也就是序数的集合,由定理1知此幂集也是良序集,所以此幂集也是一个序数.
    推论二:所有序数的集合的势也是limXn(n→∞).
& U6 }- \, {4 i1 a1 h" O8 P    证明:设所有序数的集合为集合A,由李均宇第二定理知此集合A的幂集也是序数,所以也应包含在集合A中,则集合A包含自身的幂集,由李均宇定理知此集合的势是limXn(n→∞).
: k0 g6 @: C2 z+ \- D0 ?9 b- f    李均宇第三定理:任何一个不包含自身的集合的集合的任一子集或幂集也是不包含自身的集合.
9 o+ x6 I: v# w' h$ [8 V    证明:用反证法.假设任何一个不包含自身的集合的集合为集合A,假设集合A的任一子集B是包含自身的集合,则子集B中有元素B,元素B是包含自身的集合,而元素B又是集合A的元素,集合A的元素都是不包含自身的集合的,所以元素B是不包含自身的集合,矛盾.所子集素B是不包含自身的集合.幂集一样可用反证法证明.假设集合A的幂集是集合C,假设集合C是包含自身的集合,则集合C有一个元素C,元素C是包含自身的集合,但元素C又是集合A的子集,根据上面已用反证法证明的过程知集合A的子集也是不包含自身的集合,则元素C是不包含自身的集合,矛盾,所以幂集也是不包含自身的集合.
. w% ~/ a5 ?$ X4 `    推论三:所有不包含自身的集合的集合的势也是limXn(n→∞).
) g; X$ V9 Z" i' v3 n    证明:假设所有不包含自身的集合的集合是A,则由李均宇第三定理知集合A的所有子集或幂集也是不包含自身的集合.所以,集合A也应包括自身的所有子集或幂集,根据李均宇定理知其势是limXn(n→∞).
    无意义公理:一个无限集的势是limXn(n→∞),则这个集合是没有什么意义的.
    基数悖论的问题在于"所有集合的集合",序数悖论的问题在于"所有序数的集合",罗素悖论的问题在于"所有不包含自身的集合组成的集合".因为根据上面证明的推论一二三,这三个集合的势都是limXn(n→∞).则这三个集合是没有什么意义的,所以集合论悖论没有动摇现有科学的基础.
    作者认为公理集合论引进了类的概念,是把简单的问题复杂化,作者把集合论悖论的解决用最简单的语言讲明白出来,抛弃了公理集合论这个科学上的怪胎,意义是十分重大的,所以作者是伟大的.

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我喜欢悖论，我喜欢无穷大。

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罗素悖论,我喜欢。