证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
! o8 @; `6 x0 Y, m# H1） x ≡ 0
' z& K! G/ l% Z; x(mod q1)
x ≡ r2
4 p* |7 X2 n" F! [* e) q) m9 U(mod q2)
9 ^! X! j9 \: [& c2） x ≡ 0
- I. D& p2 N5 J5 h2 J(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
1 i: ~0 W" z4 d) N% _# k- B小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
x1=a1q1=b1q2+ r2
" @7 _5 m# j$ n; Nx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
) C2 D# {( U, @9 W4 T则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
+ _- d% U2 z3 O( k/ y" F∵
q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
x1+x2< 2q1q2,
∴
a1+ a2 =q2
，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
# t! p1 f1 x5 @, D∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
) E; m. b1 H+ L8 H5 Yx1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
) P) L' L& _7 V+ i4 i9 N- ]也只能一个为奇数，一个为偶数。
( \& U, f3 S/ W7 C7 h% b定理得证。

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