证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
1 P) \( u1 C, {4 ]1） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡ r2
% T/ `! ]+ b/ \" x& d" w- S(mod q2)
- H2 Z7 ?4 s' n( `' ?9 o) c" c2） x ≡ 0
(mod q1)
& D0 U! H. H2 ?5 `0 y9 z# j8 Cx ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
9 ~4 y; C9 B! a- j, T$ J. r( N证明：
3 a0 d+ r0 A7 x' C/ C& T根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
x1=a1q1=b1q2+ r2
9 r) t5 e  p0 m' X* p5 C5 Ix2=a2q1=b2q2+ q2-r2
则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
7 [! l; Z8 A0 u6 @' }: X即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
  x2 O2 H- G' V! w7 s" H" Z∵
2 @* `' q: O1 I1 p2 r" \q1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
x1+x2< 2q1q2,
. \0 a% e+ R1 P- x$ @4 f% ^5 z∴
: ~+ @- ~; O9 I9 Ma1+ a2 =q2
4 w1 p1 h: S. [7 k0 h8 e0 P，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
% L0 ^) f9 l; M) s* l& s2 A( x6 l/ h∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
# e( `: i- D) G0 N. m1 rx1=a1q1=b1q2+ r2
4 e. N# D6 ^" A: g$ {2 Y& l+ h: |x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
也只能一个为奇数，一个为偶数。
定理得证。

azqw

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azqw

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