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引理1.5" C4 v' t8 E% l' W" c5 f& |3 T
若q1 、q2为奇素数,则以下同余方程组! [: s& h( _4 [- n3 r. w
1) x ≡r1
* w9 ^1 L! O, E' }3 L, b9 @0 E- i
(mod q1)
$ b$ b3 C0 {: A: r' [# [x ≡ r23 u, b) o; k% M0 D
(mod q2)
0 D {& \, n/ e2) x ≡ r1
5 F! x# J! ~ o9 y. J# |" F' \(mod q1)0 y } Z! E/ I5 z2 S& V; B
x ≡q2-r2
& v* l" I4 ]8 J" X6 }9 Q% [(mod q2)3 O, G, t* ?' [
3) x ≡q1-r1 s; Q# k1 g' E3 }, P" {
! _, S$ U/ A6 s" [(mod q1)5 Z3 G$ z8 l: H8 V# X
x ≡ r2
2 L6 E* ?" H. a* V. C- M$ h(mod q2)3 P; S& ?+ l( |
4) x ≡q1-r1 3 `" Y7 y. C# u. U9 N
(mod q1)5 u ~0 @% b( T) P; \0 D! \# p
x ≡q2-r2
0 n( ?3 ]# K2 X(mod q2)) N, M' T# R3 _# j* ^$ _
小于q1q2的4个解必然2个为奇数,2个为偶数。
5 m$ W# }0 P* t K; X" r( W证明:6 I! t7 p7 _* q4 b
根据孙子定理,每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
: K+ ^9 h& w9 r( x A0 g令同余方程组1)、2)、3)、4)的小于q1q2的解分别为:
/ M3 T0 p4 T7 g( E1 Vx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2& X; ~) v i9 u- L* z: \4 F7 S
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r21 z q: S/ x* X" a" N: [
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
2 u. W5 o" u4 b$ y3 ]) `0 B2 w& lx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
- W: ]/ `- k& b+ _5 b [则
4 n. O6 _& _# g Z' s gx1+x4=(a1+ a4+1)q1=(b1+b4+1)q2 [$ S) f! F/ C& f! X7 q
即
; k4 m5 p- A$ t# i: F' ca1+ a4+1= q2,b1+b4+1= q1
: |2 L9 _. Z8 ^4 A1 Z. ?∴
& t# g* Q r8 K oa1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出,x1若为奇数,x4便为偶数;x1若为偶数,x4便为奇数。即,x1与x4总是一奇一偶。2 l t5 m. O/ j) M
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
, ^9 [1 E0 m% q: q6 m# j. q即是说,x1、x2、x3、x4这4个解中,总是2个为奇数,2个为偶数。9 O: B0 ]7 Y' y7 r% }- Y* {
定理得证。 |
zan
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