证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1
* w9 ^1 L! O, E
(mod q1)
$ b$ b3 C0 {: A: r' [# [x ≡ r2
(mod q2)
0 D  {& \, n/ e2） x ≡ r1
5 F! x# J! ~  o9 y. J# |" F' \(mod q1)
x ≡q2-r2
& v* l" I4 ]8 J" X6 }9 Q% [(mod q2)
3） x ≡q1-r1

! _, S$ U/ A6 s" [(mod q1)
x ≡ r2
2 L6 E* ?" H. a* V. C- M$ h(mod q2)
4） x ≡q1-r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
0 n( ?3 ]# K2 X(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
5 m$ W# }0 P* t  K; X" r( W证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
: K+ ^9 h& w9 r( x  A0 g令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
/ M3 T0 p4 T7 g( E1 Vx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
2 u. W5 o" u4 b$ y3 ]) `0 B2 w& lx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
- W: ]/ `- k& b+ _5 b  [则
4 n. O6 _& _# g  Z' s  gx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
; k4 m5 p- A$ t# i: F' ca1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
: |2 L9 _. Z8 ^4 A1 Z. ?∴
& t# g* Q  r8 K  oa1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
, ^9 [1 E0 m% q: q6 m# j. q即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。