证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
/ g+ R7 q$ d" c- E" z$ b若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1
, f' B) Y- z9 k
(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
! k8 f: L: L; a4 I2） x ≡ r1
6 k6 J, Z# U& \(mod q1)
x ≡q2-r2
/ q) Z/ K: }( r5 ?; `2 q6 g(mod q2)
3） x ≡q1-r1

, s3 f& Q7 ]+ m8 G(mod q1)
: W2 X# @4 ~& K' Tx ≡ r2
(mod q2)
4） x ≡q1-r1
(mod q1)
8 v) F) @; O7 u9 jx ≡q2-r2
; c; y) f4 M' z(mod q2)
; l- w6 p% g4 J+ `小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
" H9 z2 D& l$ O6 I9 ~根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
. A/ v2 p" m; G* a$ x3 R令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
& r; h9 ~, ^0 b9 B! @! p' l$ \x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
+ v0 S+ `* Y, u9 _x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
  A" S1 H* ?' j1 g: e" \x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
0 ^4 X5 }. r( x" U即
1 c. }$ P- S/ w' q# `a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
. w) b! E( C0 n* t∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
& E5 ]) Q1 [0 O) G即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
# a' X8 H( ^( c( l" @/ J- [! t4 O定理得证。