证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
' o8 A' T0 H6 ?9 \1） x ≡r1
# s. k" p3 c: r: N: z2 z
0 Y% M, W. Y( a% ~(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ r1
6 e) f+ i3 C8 b# d  O, d: s(mod q1)
: h$ d2 Y3 w2 g/ zx ≡q2-r2
5 ^0 N4 M( G4 x% `" g$ m+ q(mod q2)
. T: y/ U% \: [9 O3） x ≡q1-r1
$ }! f& d: a  m$ M, U/ W
, U  h1 D6 @5 ~; _! N7 Q(mod q1)
x ≡ r2
" T  E' T& @3 v* Y- q% x(mod q2)
4） x ≡q1-r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
* Q1 t5 i1 x. D, v小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
+ J: _3 \" K. [根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
1 Y& _4 O8 K0 F. y6 _a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
- j3 |0 Z& E% X; L# O+ u+ U" ]同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
  P/ I$ s9 i) P. j5 v/ J即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。