证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
$ h- T: m9 z3 J1） x ≡r1
+ x( m! P. T6 s: Z4 C3 ]" r5 f
9 m, C5 \  k( W6 X  T$ u  x(mod q1)
' `8 S6 M) Z8 i/ V$ d: D  sx ≡ r2
5 P/ K9 X' n7 D* V! x) S8 V(mod q2)
2） x ≡ r1
3 R" l. F& W- Z4 E7 w(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
1 P( K; Y5 A% f; v) K% s3） x ≡q1-r1
* x' f- |9 b6 L  s
(mod q1)
5 {( s. |5 l8 L8 Y& p! f: Bx ≡ r2
# ~) _0 Y! g" B; t8 Z(mod q2)
8 Z9 G" O4 c& @6 \) C9 a4） x ≡q1-r1
* s+ V  F5 `6 |3 w+ l/ A( y- K(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
9 j$ v: U" e' _5 e% X证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
6 Y! g. p  {% J6 p" x$ O, v6 J) a0 v令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
* ?: R( ~8 p+ t% o$ W7 I( b  R则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
5 Y6 @" {0 d! x+ {8 s即
' E% A$ s! b- ^# ~' t& q: @a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
6 P9 _% Y( w4 [( p∴
' y9 _7 V( J! u! {9 q) ja1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。