证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1
, b* ?* i5 H( ~2 f
(mod q1)
8 u- z3 K/ u9 D  S. K8 {! ~( {: yx ≡ r2
; S8 w6 y6 `: Q; [0 Z(mod q2)
2） x ≡ r1
! n" j3 k& z' {9 G0 Y* l(mod q1)
" e1 w1 \" m" m$ _6 vx ≡q2-r2
% n7 i$ y5 x' |8 P' ^8 ^& C(mod q2)
3） x ≡q1-r1

(mod q1)
6 P# u' m2 w) K0 r: e/ dx ≡ r2
(mod q2)
4） x ≡q1-r1
(mod q1)
' i' }9 ^' x2 S% z+ \0 c5 sx ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
& Z9 d0 i3 _% k2 |证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
* [1 M8 N( V: G5 Y- @) H令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
; S; t. d2 }* ^+ }+ O8 ux1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
! L+ j6 Q! Z. R" y/ n6 H) l" c; y( wx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
$ [$ @0 S  S% N+ d1 s1 q即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
( v) _/ x& |; G0 o4 V6 f∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
/ ~# i2 t% D! l同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
) p. W6 K) @  O/ Z$ D- ?即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
# k9 T: ]9 V4 ~. x: d6 w9 C4 x0 O定理得证。