证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
0 ]2 M: I0 e6 I, k若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1
& S' N: v4 \/ x+ _8 Y% h
(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ r1
(mod q1)
8 o* X) e: Z4 I5 ]' |2 {* nx ≡q2-r2
, c% g. x! W# q/ `, N5 r3 A(mod q2)
3） x ≡q1-r1
- d6 S7 E# a5 t1 m. \
) b* U4 e6 M/ L3 O' G) l0 M) _(mod q1)
) f- F- E6 Z3 S5 ~7 E7 |+ G& Mx ≡ r2
(mod q2)
- L$ l6 o. l6 p+ z4 \1 l4） x ≡q1-r1
  s( o9 N+ O$ q$ O8 a: ?( w(mod q1)
- C, l5 C. ~0 ]/ rx ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
$ A" v2 ^+ z) j3 H" `. ^6 Y证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
* {7 {/ f- b7 x. j1 V$ |* cx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
; ~* @7 x5 Q1 T  V& q! c; fx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
7 D( ?; @) U( ?* a则
$ c4 A8 Z5 ~9 V% V, gx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
6 P+ z8 x. Y4 G0 ?即
% p6 i" U$ M+ |& n- k8 d3 ca1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
) A  w! F, B0 m- }" i; m$ F' w同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
1 e: Q2 s  P, V  F即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。