第三节 一阶线性微分方程?

xiaoguansheng

§3.1
一阶线性微分方程?

形如?

& G$ W' k! C, q' Q5 M, w

- A7 k% ]1 b' ?/ A. A$ G# z6 I ＋p(x)y＝q(x)
" I/ I6 ~' k# @( g1 p(3.1)?

的方程称为一阶线性微分方程。这是因为方程(3.1)关于未知函数及导数是一次(线性)的，其中p(x)，q(x)是某一区间(a,b)上的连续函数。?

特别，当q(x)≡0时，方程(3.1)成为?

0 Y) n. b) u% n* x8 Q

7 j# I1 e- b  a ＋p(x)y＝0
(3.2)?

这个方程称为一阶线性齐次方程(这里所以称“齐次”，是因为y′与y是齐一次的与上节的“齐次”意义不一样)而(3.1)称为一阶线性非齐次方程。?

线性齐次方程(3.2)是可分离变量的方程，可写成?

$ @. I, a+ u& o/ }8 d- _6 `" m
＝－p(x)y?

或      ＝－p(x)dx?

两边积分得到
) ^6 s2 u( Q9 ^0 z?ln?｜y｜＝－?∫?p(x)dx＋?ln?｜C｜?

即其通解为
y＝Ce－∫p(x)dx??

这里任意常数C也可以等于零，因为y≡0也满足方程。?

对于非齐次方程(3.1)，其左边与对应的齐次方程(3.2)的左边完全一样，而其右边的差异仅是q(x)不是O，齐次方程(3.2)可以看成非齐次方程的特殊情况，故齐次方程的通解也应是齐次方程通解的特殊情况。?

1062015493

666666666666666666

南山烟雨

表示......

南山烟雨

表示......

look

算是学习了

xiaoguansheng

还蛮不错哦!希望大家来欣赏