第三节 一阶线性微分方程?

xiaoguansheng

§3.1
一阶线性微分方程?

形如?

' q) U( x( u& [, i9 ]. q2 m7 B
＋p(x)y＝q(x)
8 |; s8 N0 x3 k/ B(3.1)?

的方程称为一阶线性微分方程。这是因为方程(3.1)关于未知函数及导数是一次(线性)的，其中p(x)，q(x)是某一区间(a,b)上的连续函数。?

特别，当q(x)≡0时，方程(3.1)成为?

! v! X6 z6 N" V. P& U/ X( a
＋p(x)y＝0
  @. I- O6 I6 y" E" D$ y" ]7 Q(3.2)?

这个方程称为一阶线性齐次方程(这里所以称“齐次”，是因为y′与y是齐一次的与上节的“齐次”意义不一样)而(3.1)称为一阶线性非齐次方程。?

线性齐次方程(3.2)是可分离变量的方程，可写成?

5 L( a# g! r( x! V3 t

＝－p(x)y?

或      ＝－p(x)dx?

两边积分得到
# e2 R, K5 W4 M4 d+ T; x2 y?ln?｜y｜＝－?∫?p(x)dx＋?ln?｜C｜?

即其通解为
y＝Ce－∫p(x)dx??

这里任意常数C也可以等于零，因为y≡0也满足方程。?

对于非齐次方程(3.1)，其左边与对应的齐次方程(3.2)的左边完全一样，而其右边的差异仅是q(x)不是O，齐次方程(3.2)可以看成非齐次方程的特殊情况，故齐次方程的通解也应是齐次方程通解的特殊情况。?

1062015493

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南山烟雨

表示......

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南山烟雨

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look

算是学习了

xiaoguansheng

还蛮不错哦!希望大家来欣赏