巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

6 h; j! b1 U& s. s' l, V　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。
+ g, F/ f6 ?+ N/ d* Y1 Z
% d7 l! {  N: u0 n　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
* ]" u4 C  F" h; S( p- v- p一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。

# b6 I( Q1 c& n$ Q$ Y, G# w　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
( F5 _+ z9 ~& l7 {/ N. x* k5 y十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
的貢獻。

* a1 f' S4 d) c* @　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
3 `' ]0 m/ u$ a/ ]' X! z1 Q的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
) q+ S5 f1 Y( a5 ?9 t3 g3 e磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
" z. V! m; _# ?/ v& @板書。
  x/ Y1 N* S, w
8 J3 W# n( n2 j　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
' I1 S. R$ W' I  }4 x，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
工程的研究，這是當時其他國家少有的。
$ f/ z& q. I) i+ `
　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
' E' O0 S- Z1 L8 a4 d土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
3 @* f7 B9 Y3 H3 |& b) z及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
# C1 g8 j0 j4 J( H了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
$ ^: s# ~+ Y( s" O微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
4 X, X! N* N* K- _0 N; }板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
% p' x" n. h7 G! W+ Z比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
0 H" c: I7 j, y! I4 T% [2 r除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
5 y  y; a8 }& I* A3 C2 W) }; B高。

　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。

/ }) o7 ]! H8 d) J5 b1 y6 V- _( ~　

- ]5 P! Z- \+ {6 q巴比侖人的記數法
/ q* K) ^$ R% Y* Q+ u  Y/ A# F, a
5 E4 O7 }  R7 M, O; U5 M  b　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
進位。
+ `" F/ u9 A9 f+ K6 ~$ G* C2 n
　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
「逢十進一」就是基於這種原理。
! i2 a: ]- w3 x% k
# E# b% n# ~) i0 Y　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
( \2 G% t$ x& N7 N" @% d1 E5 r糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
9 f; }- V$ D% g4 b$ R
　　　　　　
1 q3 I; z- `1 T3 [
7 _& d$ A3 n; h1 c" A6 Q& K　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
* T8 E/ `/ y4 C5 z6 h7 E6 A了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
3 個小球。
$ o; h5 O+ `8 e' A5 @
% h7 I+ t; }% C: V　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
% R7 z# K: M5 _0 a- Q0 o2 N個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
! U6 R: z) C1 T. w6 Z' A9 P
　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
9 O6 T( F/ e$ W2 E（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
2 Y& l7 V6 J, n% x0 R' _) ^法。
8 F# r0 g0 v& X6 g+ f# |* N4 F
  b6 W6 I' D1 v　

　
# O) _* B7 Q$ |6 e. ?( N5 m
　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
) D5 `; b9 N' ^# V, @8 {6 b5 S時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。

　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
2 @- J" S9 U+ G五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
8 T$ L" ^$ C& [4 W等等，我們現代還是繼續採用。

% X9 g5 L6 C, ~; e　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
2 a' R6 B7 N  I吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

　
: n2 e" ?4 x# I$ t2 S8 a  A
　

8 O, F( K/ R( t# a6 ~　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

　
/ W# h% s" v& A& E
　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：

6 s; W/ ^  N/ z6 x% k# a　

很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
7 P1 n- Z" `5 F/ {* E
% m# ?# p: e5 N( v. [& _1 i　　可是接下來的卻是這樣的符號：
( k* C; A/ W' c
　　　　
' A) W) t2 ^( Y) p, Y2 q' B4 m& [) T　　如果我們前面知道的符號是寫成：
# }' G- W& K' ]4 A( n' X
　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
  u/ m4 w( u5 w
; s( S0 y+ l9 d# A! G/ e5 v　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
) W" k/ [0 F4 H
" @6 g/ }# M) j5 X6 Q. R　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
# A  P5 O6 X$ u' s" j7 A就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
+ Z4 l2 w  W& ]) \6 `
　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
. y& M9 D7 t7 `4 C他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
! k) u0 N& [* T! ?* b看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
! w9 ~/ }& N) d  K0 G+ R
: L; {# `6 ?/ K5 \; ~# T* n　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

) [0 d6 M0 {! i9 Z0 S0 w　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
% }6 G/ t8 L4 e  k: X/ Q1 D
　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

　

+ a  x* d. I5 v. D$ g巴比侖人怎樣進行除法運算？
" p$ z" ?0 {0 b# {! y; g+ _
　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

2 30 16 3,45 45 1 ,20
7 N! }* o7 |2 n- E+ c2 @! E8 n4 U3 20 18 3,20 48 1 ,15
8 Y" N4 d. a# c! z/ f1 T/ }5 ]4 15 20 3 50 1 ,12
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
, ^+ j  l1 W4 H6 m4 M; g6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
; P) T3 i1 t' G( b9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
15 4 40 1,30
6 U6 T- M7 I2 v: J. R
" l) F& M2 ~  D8 W1 u7 |) |　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
+ W! C6 S# U1 o) ^; X意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：
! w$ i+ P# H. w, \* p
4 g+ V9 A3 B3 o, e& }: g1 y　　　　　　　

, Z! @- N1 \" @! w% `　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
' h; A# L6 ]8 c對應 2,13,20意思就是：
( u5 m, G3 \8 P0 ?3 N5 {1 r& C; m
& v# F8 |8 K) N　　　　　　 　
- g) t$ y' i3 j( n9 ]: ^
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？

　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

  {* ]/ J$ ^9 j/ Z5 a' k- W( [2 T　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
9 j1 @. ]) s. s. \" @8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。
, s$ R' N' U" F* i
　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

1 u9 K# o8 f- S0 X  P* A+ i　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
3 }! Q6 C  P5 s8 d7 I, }3 Ga ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
決，這時候「倒數表」就很有用了。