巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
4 |: a, H' r1 u8 j% o) X河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。
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　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。

4 E$ }8 O6 a- I0 ^0 X: V1 D7 t　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
: p/ h, r# }2 U- ^- o  }的貢獻。
! Y1 W  K9 [6 X" M% @6 f* b; J
# o/ G6 a# D% K7 {　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
+ ?% |, {' l9 g, z3 `的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。

* A; A( X8 R% j9 ?　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
9 A2 A. g" ]) Z3 T; L工程的研究，這是當時其他國家少有的。
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( z2 _6 Q6 T; L( K# Z2 P　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

' h+ f5 G; N  A* _　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
' f. ~4 T. ]8 V2 j: w$ D8 o及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
7 e' e# t# q9 j( K: _1 f4 i了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
" ^+ F3 v/ N; _& L3 A& e微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
  Y- Z( T% P3 Y2 f/ r8 d" d6 F比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
" f5 p2 t6 ^8 a% y載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
高。
+ z1 ~" [  H2 K
) V: t) V5 ?, L( Q　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。
7 v/ e+ G2 \1 b* w/ U. |
　

巴比侖人的記數法

　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
進位。

. w, U! Q- e+ `2 U; J) A　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
- O- Y$ n: R& y「逢十進一」就是基於這種原理。
- v1 z- u) z5 d
　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
( ]; v- Q% C, V5 b  G
　　　　　　
3 q$ s. Y1 C& M& ]( w* ~
　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
' Y: M  T; |* d9 Q0 y了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
) U1 q% e3 X" C0 Y# C1 E9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
3 個小球。

　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
7 y5 W; n6 w) Q1 t
　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
法。
1 o" u) F$ n1 v1 d- c
8 M  [! @/ ?6 [8 a, K* M1 r0 W　

. y; m& }4 D) B" P0 a　

: x0 I6 [' O6 _8 G& L" c3 k( ~1 A4 x　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
7 ]8 h( ]; `$ P! v/ ]時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。

- p2 O$ _8 o& Q8 L5 }( B　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
5 L& A: g3 }9 u& ]五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
8 M# [# J; H6 L+ I1 R星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
1 C9 |5 a, g, T' T等等，我們現代還是繼續採用。
) n" J6 E2 j: e8 [$ k- z6 T, N
　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
$ ^) y) ~' j' [) ?吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
$ w% E; `; X) K& i( C
( v: {8 w) C  x$ J6 S　
' s4 s9 y& Z) ~: V0 f0 C3 `
  b2 ?2 V2 a5 E% J8 x　
1 e& @' e* n7 S7 R
　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
" S' R& B' S; O: l/ P1 X: L
　

7 [1 [- c4 J6 v) O" u! W; l　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：
) P/ @  \8 d- ^  t
  C/ T1 C8 O+ @5 @  C, u　
8 I. E& S2 v! }# y
$ i( q1 j( F, m+ m: [很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。

　　可是接下來的卻是這樣的符號：
0 [/ F3 k" d4 j3 W' n/ Q
* u7 l" U  c$ B　　　　
9 h1 l6 f4 R( ~. E6 Y　　如果我們前面知道的符號是寫成：
8 @7 H$ I9 M3 z; T" f( M8 p1 F
　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10

2 ~: X9 l4 d$ K; B9 O3 ^　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
! `* o) N- t0 Y9 X) ~- K* n就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
0 [: t# b) B8 R  g; I$ Q. x將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

) d8 c! _& J6 s6 m5 i3 }　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
. V& ^" g( A  X2 l, A% M/ j他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

% F+ O# t# n" j0 n　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
, R+ r" ^. F; j- l% J
　

5 }" \  A  O% f% I' K巴比侖人怎樣進行除法運算？
" [8 o; ]" l/ _8 c# |; c! c/ I
　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

2 30 16 3,45 45 1 ,20
( _7 n1 C! h4 l& {$ x3 20 18 3,20 48 1 ,15
4 h+ h: O9 F$ c4 _- c8 i. ]4 15 20 3 50 1 ,12
" L$ B+ `+ q* y  f+ L4 Q# I' a  Z5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
( [) d1 O6 z! w4 f8 B, {9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
! O! G5 n) z: h, x12 5 36 1,40
15 4 40 1,30
, D5 @. ^. m5 x' t9 J' h
　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
5 R$ F3 u7 l( R$ Q2 Q現在把以上的表改寫：

　　　　　　　
' i, Q2 L- K( w& q
. q6 d7 \9 R# u) q, l  |: V! J　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
) ~1 q+ g8 P5 B* Y3 A對應 2,13,20意思就是：

: K' C! a, O+ z　　　　　　 　
( v9 X6 k* n' S' s7 J
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
% ?0 d0 V! U9 a/ p% g: I2 H9 K5 ]& y這是什麼原因呢？
- ]' A8 T1 x# P* ]
　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
& G$ P0 j3 Z2 z6 B- H數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。
3 a( A$ ?" H8 E3 ^0 _. S
5 j7 @8 o6 Z4 u, f4 m1 D$ M　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？
1 G2 w3 H- K: Y% ?) b8 M/ s3 C
　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
( x7 h( h" G4 [0 N* \  ca ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

& t6 A6 h  p- t* ?0 D5 I　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
決，這時候「倒數表」就很有用了。