巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
# k( [8 s  ?: U0 u- c河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。

　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
7 w' O, [. g% Y% t# C* }, T' R4 |人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。
# z' Q( M3 Y& \: ^
　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
. i  M. `( J# _: B& L% C. w, Z十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
3 c% S) ~6 E% ]" R& d+ q的貢獻。
  _; c9 h6 ~7 N. |+ B3 U/ k
5 N4 G$ u$ g! @- M% E9 J% r6 e　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
' ?% h5 V  A: `1 U3 Q# A! n/ d的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。

1 j/ y$ Y, L# d　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
% R' v  I( `* u2 i0 j3 g，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
! L% O' ~! I# ?4 {) n9 u，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
工程的研究，這是當時其他國家少有的。

　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
- E% m! i$ y3 s# X土下，上面只有野羊奔跑的荒原。
; [( {2 p! v) g# H3 _  D, `
) j0 s* z+ Z5 j) E. r  _/ |# f　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
* T8 w% ^5 W7 a% V; Y及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
高。
9 ]: x2 {1 \! a2 |+ S9 ^
- [, G/ v% ~& t/ Y  l　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
9 f5 {4 f: ]% v- v裡就談談他們這方面的貢獻。

7 n8 \. e( q& G) A$ y/ d　
  C2 i& ~, h+ K" r- [6 J
巴比侖人的記數法
' f  Q: b! H4 H! s
　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
1 m3 Q+ D- S/ p, G進位。

* k1 H( U- E% x; j6 q: L0 [" |' r　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
' T6 v. H( e* o4 W: i% [「逢十進一」就是基於這種原理。

　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
% s0 i. F% H! F6 e糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。

　　　　　　
8 p4 C4 F4 M; P' o  J& \/ J
　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
# F1 `" U& s/ ?8 E0 ^( @! _0 Y( ]2 f稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
* s. x9 p  n8 \% f  B. [1 [9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
+ S, D" e5 @- Z7 ^. ~上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
% R8 q' G* w! S# o3 個小球。

& p7 B% Q8 Z( G+ }　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
4 o* R* o* @6 B2 Y% L# A/ c" O個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。

5 D- Z" G# U2 R- X' u4 K　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
8 ^  v$ ^/ o3 L2 \法。

: @! x1 b/ i* J0 b　

) |$ f+ u# F) H: \% r+ f4 L. U　
7 X. i2 t3 e& F7 [7 x2 p% i: t
5 C" E( s) K/ |' t　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
* O6 I- J4 r2 |1 I3 H6 l時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
. Y0 b% t( m: Q0 @7 c& G" r& f
　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
2 v1 ^  h* N" N; v: ]; B' z五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
等等，我們現代還是繼續採用。
9 g, P+ Y8 \9 I7 _+ J* O: f* J
, a$ p' J3 e: v8 b9 J0 g$ U　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

　
2 U+ R8 r; C  y% ^/ M
　
! L  o8 l8 V8 u6 d# l7 K5 l% S6 B
7 \& y$ h: c3 S! d, {0 |* f- n　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
; F' t5 R2 l! |! ~9 J0 L出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
! k; l" ~: S! ?! H
3 j- Z: p, ?- ?% u* d　
1 p& t* c* H% j8 c
　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
3 S* w* D& J7 a; o* W前五行是形如：

, Y/ w+ v2 l: p2 O" u　

很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。

2 f' V& K* C4 D/ |- t: V, u0 i　　可是接下來的卻是這樣的符號：
3 {# ~" n: ~: X5 y0 M
6 O' l" w. _8 P* k7 n: a) [5 f4 a, }　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：

( c5 P5 h  m7 K9 D, o; l　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
- e+ k5 b; k5 b7 O* i% I+ g  C
4 i" ?; ]7 r4 i. l　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
9 |7 v$ u3 g$ i, N: F; E/ d
! F8 n7 b9 L9 }  e* O% o' n. q  z& Y　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
# ]) C5 @6 M. V& J/ H* E將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

! ^" r% W% o/ d8 Q/ @　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
5 q" T$ `7 \( k- q他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
5 Y6 e1 Q- f: L+ }
　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
* _8 l  Z1 m- J6 O* ?
　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

' V' u8 Y  w5 K8 @　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

6 x# D& s* h4 U' _0 ~　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

/ a) w5 }# H: O  y9 @. W7 q* N　

6 _+ m! ~' W3 z* b6 Y' \巴比侖人怎樣進行除法運算？

　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

) O: V3 H# [6 }+ @4 ?+ N! A, A3 e2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 K3 ~( u) |, ]; x( q$ F7 a3 h! i  H3 20 18 3,20 48 1 ,15
- h5 Z5 A0 {; d4 15 20 3 50 1 ,12
, L' \9 x$ h5 K3 B% F4 Q9 h5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
4 I' k) h. V2 T) y: t- V8 7,30 27 2,13,20
9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
; V1 R/ ~+ S5 Z. E: v15 4 40 1,30
0 x& U+ N  E1 e$ |3 i$ F) I
( _, v, {# G7 A9 u　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：

/ {+ ]' a4 R: ?. Q! n4 b　　　　　　　

　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
對應 2,13,20意思就是：

. ]( G, H, y$ G9 L0 M: D7 v　　　　　　 　

$ w# k4 P1 S5 _$ l. G$ \( r/ C6 {　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
; ~, \1 N, u( G, P這是什麼原因呢？
; s4 J- Z2 K& O/ E1 ?  D/ T
4 `2 C+ w) f- s6 x8 T' f　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
& R& Q- W2 G7 L$ f數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

  |' i+ e8 x! {: n& Z　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
$ v4 U$ N, L! S. t! w& c$ U式以至無窮。

" ~, {. I( x5 T2 l7 u4 H1 V　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
9 A; E: R/ |+ [9 Ca ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
6 N# x3 C+ o- Q, w6 r5 d% c% u化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
( n5 ^" O# y8 _3 S7 J. n
; }  o, o. ?) c6 N* z) y　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
# I4 X8 e7 c: R+ f決，這時候「倒數表」就很有用了。