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如题,遗传模拟退火算法简介- 模拟退火算法简介
0 R- w7 ]\" |7 _ - ! h* w\" S2 F- t. [# O* {
( g) t. ~6 F: Q\" G- ?- 模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据Metropolis准则,粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT),其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量,k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解i和控制参数初值t开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
/ Z( p! h! l$ `7 J0 _: F& n - 3.5.1 模拟退火算法的模型 6 M/ ?6 z$ y. a3 ]8 e: W) S
- 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
# o) M+ \- i9 I: \1 o+ r( j - 模拟退火的基本思想:
( I9 `9 `8 T D3 U( C1 c6 ]7 G1 C: @ - (1) 初始化:初始温度T(充分大),初始解状态S(是算法迭代的起点), 每个T值的迭代次数L
- W! n, j6 w! ^+ g# N - (2) 对k=1,……,L做第(3)至第6步: - S' `, X) M5 H t2 E) C
- (3) 产生新解S′ ( _ S5 B. Q6 } A
- (4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S),其中C(S)为评价函数 p) H* j* S9 m\" }
- (5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解. ' k. j2 Q$ B/ h) o% p4 O
- (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。 , S; N7 O: H- ^: _; ^! u7 n3 i, f |
- 终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。 + [+ |8 Z# ^# w
- (7) T逐渐减少,且T->0,然后转第2步。 2 x: o6 h: n3 J* u1 S
- 算法对应动态演示图: ! N5 R4 F% I! W2 P2 d
- 模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤:
% s9 [% E% p2 r7 N5 s3 G W7 n) h - 第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。 + E( j: D+ r- B
- 第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。 5 y2 F% X X, k9 }8 u
- 第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
& F$ U7 o\" m$ R! e - 第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
- D7 n8 F. Z; p8 I\" b - 模拟退火算法与初始值无关,算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关;模拟退火算法具有渐近收敛性,已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性。 / B+ J' u4 X. n: |; M6 Z- d
G- Z. |2 C* [5 N. T- 3.5.2 模拟退火算法的简单应用 1 D! W( E* ?+ p6 m9 H9 {: N
- 作为模拟退火算法应用,讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP):设有n个城市,用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i,j) i, j=1,…,n.TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路,且其路径总长度为最短.。 9 z( L; l) F+ K6 ]- d& U
- 求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下: + y6 `: q$ T/ v ]! r
- 解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n) $ n( W7 p! r5 R$ P. e) o\" [
- 目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数:
& _ c. c4 ~+ T. M) C! \4 l. {
- w2 k5 h4 e0 M+ d- 我们要求此代价函数的最小值。
0 ]1 ?- ~0 d8 O - 新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将
+ G0 {% r! r+ V+ I6 Q1 e - (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)
4 t, t. l3 s g& j; v# B - 变为: / b* z5 k: S9 I8 V, [4 P
- (w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn).
8 K% `( B2 N* k1 c% w. _# n+ d/ T. _ - 如果是k>m,则将 8 y9 ~1 z\" ]# Z\" L3 {4 Q$ h7 N
- (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)
\" B\" X/ M/ [5 |2 j - 变为:
/ z. q- G3 y9 D - (wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk).
x4 f! e\" @- N; w6 k# w% S - 上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。 5 i8 z( v9 d; ^1 J m, l
- 也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。 - H# Q* o1 B( W8 Y/ @4 m9 ?
- 代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为: $ T/ @: z# S$ v
; D: B4 a `\" f2 v; j* v\" G3 K- 根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序: / C; b6 w* _- D- p' \5 t3 t6 T( E: B
- Procedure TSPSA: + R0 b! m c5 q7 c- Q% x
- begin
1 E4 ^& T, T8 e9 {! n - init-of-T; { T为初始温度} 0 D8 J# `7 }' j* ]: j+ r
- S={1,……,n}; {S为初始值} : F: g7 K! H/ v: a
- termination=false;
# y: v6 n8 O* x' U - while termination=false * R% y, P0 j- Y m: Q% g\" Y0 G6 Q
- begin
* c( G, V' U8 B7 v2 A% y2 t1 ` - for i=1 to L do ( j* E3 N J4 p6 I7 c! |. b
- begin
+ T. S/ d. y$ i6 H# h) ? - generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
\" J0 u6 F) }5 g( R\" H - Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
0 c& s: x- M; a# c - IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1]) % E: G) r7 q2 O. ?) p
- S=S′;
$ ?' @7 ?) j* { - IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
2 U/ p2 K4 S8 |5 ?4 i - termination=true;
# U2 U, n: O; j\" k5 l$ @+ a/ E - End; , T6 M( m& Q9 z2 l& s( a) [; m4 o% |
- T_lower; 6 Z\" A. `/ r) A$ X( R, }
- End;
/ X# [& Q/ J4 K# ]4 j3 h* Y( \* Q - End 9 s# M/ T3 E) ?8 P0 h
- 模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。 3 l- {3 f9 o6 a( \9 T\" a$ h2 q/ ?
- ) L\" q8 I0 N: v* {/ z
- 3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题
% x+ Z$ m+ y) D3 Z* { - 模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点:
* E/ l\" M4 D) Z5 C3 s5 D* @) O; {9 u - (1) 温度T的初始值设置问题。 n2 c- y& K6 {6 f9 _+ }% l\" l
- 温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
$ r/ W6 ^7 C, y\" Y, o9 h9 P5 }* s - (2) 退火速度问题。
1 l: ^4 H5 y% w( y @ - 模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
3 |! D% {, N2 ^2 v+ O8 d8 E- z - (3) 温度管理问题。
4 l7 J% V8 n0 S% v k, B0 R - 温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式: + P |; A: o* b/ `, I
* n. C: l: i2 ?; N( v- Y7 e- T(t+1)=k×T(t) : ~, ]4 G& Q `7 {
- 式中k为正的略小于1.00的常数,t为降温的次数
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zan
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