如果某一任意角是由原来的三个等角合成的，那么这一任意角便能分成原来的三个等角，即任一任意角客观上都必然存在着两条角三等分线。 : B1 {! A; S! ^6 l j
（一）三等分直角的启示
如图1所示：∠A=90°，以A点为圆心，任意长为半径画弧与角两边分别相交于B、C两点，连接BC；过A点作AP⊥BC，并与BC相交于G；过G点作GH//AB，并与弧BC相交于M。连接AM，并与弦BC相交于N，连接BM。 7 f U, p+ l6 H. ^则∠BAM=∠MBN= ∠A。 6 h2 ^! h& |3 b5 K9 }; v; s( x
* ^( C; k7 f$ M. J（图1）
2 ]0 a6 ?& v+ |
证明：（1）延长MG与AC相交于K，则AK=KC= AC |! R$ U9 J; q7 z8 l4 j, S- L
∵AC=AM ]6 h' [( V# }% _+ n* o% G∴AK= AM, }* u w( D6 Y0 L7 b7 z! F$ H
∵∠AKM=90°9 d( A8 \/ |/ g4 H1 `8 C
∴∠AMK=30°= ∠A& o' ~* a$ ]6 j, J) ~* `
∵KM//AB ' c1 a$ W0 j {9 X∴∠BAM=∠AMK=30°= ∠A 6 Q$ @! s8 z, r& i, L/ f% y% p$ X（2）在△BAM中- C. A) [4 g/ h2 t/ ~2 Z
∠ABM=∠AMB= =75° 3 a5 j) x7 u, a# ?: ^ I在△MBN中3 J5 ]; g6 }& s- F- ~7 D) ~! {3 w# h
∠NMB=∠AMB=75°3 \+ r! d% D/ T q0 f( p. T; p9 a
∠ABN= =45°% G& H2 ?3 ]/ d
∠ANB=180°—30°—45°=105° 3 p2 I# v8 f7 V- S9 ^& l∠MNB=180°—∠ANB=180°—105°=75° / l9 y3 J( G2 h- y2 c& u∵∠NMB=∠MNB=75° , d; p7 c- ~: y. G# m$ e0 C∠ABM=∠AMB=75° / L8 |' b* o& P∴△MBN是等腰△ % e6 b3 L1 P8 N/ O" a% G0 @: J: P∵∠MBN=180°—75°×2=30°= ∠A8 b) w2 J3 e) S" x. l
∴∠BAM=∠MBN= ∠A 7 b" ?* ^' v1 W6 k% m
通过对直角的分析证明，我们发现这样一种关系，即，如果以直角的顶点为圆心，任意长为半径画弧与角两边相交得一弧和弧所对弦；那么以直角的一条角三等分线被弧和弦截取的线段为底边，以弧（或弦）与角同一边交点为顶点，构成的三角形，是一等腰三角形，这一等腰三角形的顶角，是直角的三分之一。 * D' B( u8 W W2 }- X# x5 _) V直角存在着这种关系，任意角是否也存在这种关系呢？: P# Z4 ]4 l3 ]7 v+ i
- c2 E, Q4 t) o( ?- [, v2 b * u8 k1 j" M& g M$ y, d9 m3 B
. r( x) r; {0 K, V: v
未完待续......# X; y4 D" g( h0 q3 @5 ~; t* U$ `0 v $ U, \+ x- A. r
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发表于 2009-5-13 11:42
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