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任意角三等分

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徐成龙 实名认证       

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发表于 2009-5-13 11:42 |只看该作者 |正序浏览
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. T4 K2 i: U3 C1 x# i
任意角三等分法(1)
如果某一任意角是由原来的三个等角合成的,那么这一任意角便能分成原来的三个等角,即任一任意角客观上都必然存在着两条角三等分线。
: B1 {! A; S! ^6 l  j
(一)三等分直角的启示
如图1所示:∠A=90°,以A点为圆心,任意长为半径画弧与角两边分别相交于BC两点,连接BC;过A点作APBC,并与BC相交于G;过G点作GH//AB,并与弧BC相交于M。连接AM,并与弦BC相交于N,连接BM
7 f  U, p+ l6 H. ^则∠BAM=MBN= A
6 h2 ^! h& |3 b5 K9 }; v; s( x

* ^( C; k7 f$ M. J(图1)
2 ]0 a6 ?& v+ |
证明:(1)延长MGAC相交于K,则AK=KC= AC  |! R$ U9 J; q7 z8 l4 j, S- L
AC=AM
  ]6 h' [( V# }% _+ n* o% GAK= AM, }* u  w( D6 Y0 L7 b7 z! F$ H
∵∠AKM=90°9 d( A8 \/ |/ g4 H1 `8 C
∴∠AMK=30°= A& o' ~* a$ ]6 j, J) ~* `
KM//AB
' c1 a$ W0 j  {9 X∴∠BAM=AMK=30°= A
6 Q$ @! s8 z, r& i, L/ f% y% p$ X2)在△BAM- C. A) [4 g/ h2 t/ ~2 Z
ABM=AMB= =75°
3 a5 j) x7 u, a# ?: ^  I在△MBN3 J5 ]; g6 }& s- F- ~7 D) ~! {3 w# h
NMB=AMB=75°3 \+ r! d% D/ T  q0 f( p. T; p9 a
ABN= =45°% G& H2 ?3 ]/ d
ANB=180°—30°—45°=105°
3 p2 I# v8 f7 V- S9 ^& lMNB=180°—∠ANB=180°—105°=75°
/ l9 y3 J( G2 h- y2 c& u∵∠NMB=MNB=75°
, d; p7 c- ~: y. G# m$ e0 CABM=AMB=75°
/ L8 |' b* o& P∴△MBN是等腰△
% e6 b3 L1 P8 N/ O" a% G0 @: J: P∵∠MBN=180°—75°×2=30°= A8 b) w2 J3 e) S" x. l
∴∠BAM=MBN= A 7 b" ?* ^' v1 W6 k% m
通过对直角的分析证明,我们发现这样一种关系,即,如果以直角的顶点为圆心,任意长为半径画弧与角两边相交得一弧和弧所对弦;那么以直角的一条角三等分线被弧和弦截取的线段为底边,以弧(或弦)与角同一边交点为顶点,构成的三角形,是一等腰三角形,这一等腰三角形的顶角,是直角的三分之一。
* D' B( u8 W  W2 }- X# x5 _) V直角存在着这种关系,任意角是否也存在这种关系呢: P# Z4 ]4 l3 ]7 v+ i

- c2 E, Q4 t) o( ?- [, v2 b
* u8 k1 j" M& g  M$ y, d9 m3 B

. r( x) r; {0 K, V: v
未完待续......# X; y4 D" g( h0 q3 @5 ~; t* U$ `0 v
$ U, \+ x- A. r

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    [LV.1]初来乍到


      U5 n* f! I7 K: T4 p一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人* V' k" M/ w. r3 [# i" I5 q, B* c
      " {0 u+ ]- v! C% `
       在处理尺规作图的内容中有:6 F# D+ d; {/ u0 I9 x. X
       三等分角的代数判别准则是————已知有理数为出发,经有限次加减乘除和开平方所给出的数。6 k0 ~+ z( t& [( F" x1 p
       二等分角的代数判别准则是————已知数为出发,经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
    , \' t# s3 s, O- k: f  
    8 s- h1 p1 k: q# l   两个代数准则相差仅“有理”两个字,它们是不可以相互调换和替代的。2 I4 Z( ~) h. y; t' e$ G
       由于同时有两个代数判别准则在处理着尺规作图中的相关内容,它吸引着一些人继续探索着几何三大难题。所以一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人。5 q) g1 ^6 X6 d$ k0 A; m
    - q8 V' u" e9 o: S) P
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    2011-12-27 21:39
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    [LV.1]初来乍到

    新人进步奖

    虽然这些图很精致,也花了心血,但是为你感到惋惜——你的精力白费了。三等分任意角、倍立方体、化圆为方是古希腊尺规作图三大难题,其本质在抽象(近世)代数学中才研究透彻。前面两个问题涉及域的扩张,后一个问题涉及π(圆周率)的超越性。在抽象代数学中证明了,它们都是尺规不可能作出的。提这个问题的老兄,大概没有接触过抽象代数。奉劝不要再在这个不可能的问题上花精力了。数学中像这类不可能的问题不少,如5次以上代数方程不存在由其系数构成的代数求根公式(也是抽象代数学研究清楚的)、初等函数的不定积分(如概率积分)未必能够用初等函数表示、一般的二阶变系数常微分方程(如Riccati方程)不可积等。其实,认识到了这些不可能的问题,也是数学上的一大突破。一来可以避免精力上的浪费,二来可以另辟蹊径,发展更有效的工具。比如,对5次以上的代数方程,就可以用数值方法求解。对常微分方程甚至可以不求解方程,而应用定性理论、稳定性理论来研究其变化趋势。
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    2013-5-15 21:06
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    [LV.3]偶尔看看II

    新人进步奖

    群组数学趣味、游戏、IQ等

    群组山东科技大学数模联盟

    群组我行我数

    群组数学兴趣小组

    只有无刻度的直尺和圆规三等份任意角是不可能的,只有那些特殊的角可以三等份
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