大家帮忙看一下这几个数分题该怎么做？最好给出一点步骤，谢谢！

madio

1、设f(x)在区间[0,1]上连续，证明：[tex] \int_{0}^{1}{e^{f(x)}}dx\int_{0}^{1}{e^{-f(y)}}dy\geq 1[/tex]

. b1 _" r5 L( i. T& Y: `2、设f(x)在区间[a,b]上有连续的导函数,f(a)=0,证明：[tex] \int_{a}^{b}{\mid f(x)f^{'}(x) \mid }dx\leq \frac{b-a}{2}\int_{a}^{b}{(f^{'}(x))^2}dx[/tex]
) n$ R$ y$ c1 Z; S5 ~
9 v1 a7 J6 b" y; v: r/ J  b3、证明:当正整数n>1时，有不等式[tex] \frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-(1-\frac{1}{n})^n<\frac{1}{ne}[/tex]
9 Z& r2 B  L  N" s5 ~- W; U
4、设f(x)在闭区间[0,1]上具有连续二阶导数,f(0)=f(1)=0，当[tex] x\in (0,1),f(x)\neq 0[/tex]，试证：[tex] \int_{0}^{1}{\mid \frac{f^{''}(x)}{f(x)}\mid }\geq 4[/tex]

jws123

第3题右边直接用对数函数,左边在结合泰勒展开,或者求导

张丽梅

禁用词语，这都非常的简单，你们怎么还问这些？？？

张丽梅

禁用词语，这都非常的简单，你们怎么还问这些？？？

click33

回复 5# click33


# Z+ q* t/ {8 d+ H  B/ ~    第一题的解答参考

zjxzjxzjx

6 F3 d! k1 V7 J现在有点晚了。我就帮你做第一题吧。明天有空再帮你做接下来几题好了
[tex] \int_{0}^{1}{e^{f(x)}}dx\int_{0}^{1}{e^{-f(x)}}dx=\int_{0}^{1}{\sqrt{e^{f(x)}}^{2}}dx\int_{0}^{1}{\sqrt{e^{-f(x)}}^{2}}dx\geq \int_{0}^{1}{\sqrt{e^{f(x)-f(x)}}^{2}}dx=\int_{0}^{1}dx=1[/tex]
5 ^6 O/ h8 M! t9 j; b" Y! e那个得到不等式那步是用了“柯西-施西茨不等式”
太晚了。。。睡觉了。兄弟告辞

yihua_chen

[tex] \int_{0}^{1}{e^{f(x)-f(y)}dxdy+\int_{0}^{1}{e^{f(y)-f(x)}dxdy}}\ge\int_{0}^{1}{2dxdy}[/tex]

yihua_chen

第一题主要利用这个公式，下面是两等式相加，再利用均值不等式就得出结果了。、

yihua_chen

[tex] \int_{0}^{1}{e^{f(x)-f(y)}dxdy=\int_{0}^{1}{e^{f(y)-f(x)}dxdy}}[/tex]

liushuike1

第3题好像是用中值定理，右边不等式还可以用（1+1/n）^n性质做