由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理

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数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
+ i# q/ b2 z( Y* T9 h5 `                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
: @1 _) O5 e; P5 Q. ]     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
: A9 P& h+ g6 {                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
) ^" u) t6 K9 \6 M7 @' g    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
# S7 z2 @! x; v; }   三) 问题的终结
% f  J& Q0 Y2 w2 z! Y1 x6 S* a8 e   定理3 若
            
+ K/ j0 p" b7 w9 n则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
: c# J% m* u/ R3 M" v- j    证明  
2 j6 a. `5 w7 C: u在∠AOB一边AO上,取
& w: U. P, e1 E+ V7 n& }% O! i            
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
                    (2)
8 w( g) m  M' r, J, D在AO上取点E,使
/ J3 B0 C4 z% `6 x: j2 f            (3)
& S' I! V- T) N以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
% a5 |( h. s* r7 K1 f. f根据定理1,(2)式,(3)式有
6 |, g4 F' Z3 y% f             (4)
) T, ^! {3 m' o, X: U. P所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
7 m* Y) E" ]4 I4 S根据(4)式知K
- g- D0 R! h; g! R, I、F共点,所以
  u5 i( }; o- [. E0 x        EG=GH=HF,         (5)
- N* R3 I" B) h9 n根据定理2,(5)式,有
9 X: z- ^* \3 S: W9 e        .
即
       .       (6)
% N9 ~% t& l4 a9 K8 e. _# ]  o* r' E由(6)式知(1)式正确.证毕.
( ~9 D# w& C4 }2 c3 x; |. @    本文的理论基础是
4 h& N* E+ J, k6 T2 I. }3 M         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
, y5 ?' d8 b4 {' ^     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
1 z) R  l+ z  E( [& m, F5 c& k# G                  8x^3-6x-1=0
% F2 v  A$ Z: }( w没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
! M! s" S5 a0 H2 w    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
) C# o, |! c( @2 v   三) 问题的终结
$ ]* c: p" X! O   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
* w/ Y! \  K/ O/ s5 g$ B' M5 |* \. ]            
则用直尺和圆规可得
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
, N$ T3 ~' [( _% P$ d. O    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
            
7 Z/ D4 m  v$ J以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
3 @# ?. r1 \; c  u在AO上取点E,使
/ g- e" a& r, J% x- x& _ OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
! U/ E) v7 z( p2 f所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
( q9 N8 f+ b8 I8 S根据(4)式知K、F共点,所以
0 Z- H; x( c% h: Y3 M        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
$ D4 x: y! w& n1 U& \+ R7 W" S        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
5 ?1 @/ [' c  f- @' }* U由(6)式知(1)式正确.证毕.
( M" F  C% }1 S2 f: x    本文的理论基础是
' u) y' q/ R2 |9 R; h5 d/ {            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
( o: M9 P, T% T1 b/ y. ]

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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