由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理

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数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
- m+ t  D  q, X7 B" _1 t9 n9 u' V                        苏小光
1 X3 @& \/ E- j/ R                      2011年2月20日
; q! x- Z6 }5 X9 m2 w8 ]; f( T     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
1 S2 `/ w- r, o: e. l% k                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若
            
则用直尺和圆规可得
2 B( W6 ~/ d3 ?% L4 `            .          (1)        
    证明  
5 m+ ?3 z( r. G* Z在∠AOB一边AO上,取
& N* n/ ~3 v1 T0 i* I$ D$ h( u            
4 e7 \& H# r/ I4 {以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
  L5 N! y: G& e0 D$ N5 q# B                    (2)
在AO上取点E,使
7 q# ]. X1 G* ?6 X5 _4 o. a6 f  [2 h            (3)
1 `9 c4 p5 `  Q, `$ B  z$ R. H以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
             (4)
- Q! I: K' J8 w0 t! _# V) b4 `( l所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
  t: Y/ A1 c" |5 V: ^        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
. }3 {1 X1 H' T3 s- e、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
" ?8 `' M, ~' D* x" F$ r        .
8 k& _$ V* g% A- l* l即
( V5 F6 J8 J4 I, [       .       (6)
, @6 e& L" I% B( O: {4 K; s1 C由(6)式知(1)式正确.证毕.
+ a" o1 F# X- y    本文的理论基础是
  O$ L0 Y5 r3 A; w0 l" H# u/ `# k3 C         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
% Y3 G  x  l# X! Y# K! w$ \) n

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
' w5 F" k, o0 y6 ?5 K                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
8 p* Y' O1 w: J! K* T0 ?- U5 H                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
2 x2 @8 u& I+ E     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
                  8x^3-6x-1=0
) z; q# p7 i& Q$ Y0 R没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
1 o8 J  I( S* c1 H1 h0 X" j* i, h" v$ h    二)  预备定理
! m& b5 Q9 h' N: E    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
7 ~8 r  w, o, n% _& P8 d+ ~                 
; I7 q+ Q- d5 i3 s/ w$ ?, b   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
& M3 V4 p3 |3 C( n: q4 A   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
  A3 G; B& `. F1 a; X+ ?; ]" ~            
则用直尺和圆规可得
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
1 _. `  l' E+ t! h, o    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
            
0 _6 \6 [) ^- P以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
# T! L, V) s0 ^! Y3 L0 y: c& Z% K2 o根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
9 f1 v" F- @& Z  Z4 z* S在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
4 L- G6 t2 L( p4 E1 T根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
3 ~% n0 L3 B* j( M4 t  u/ W所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
/ R8 I- \& V9 l+ C$ N9 x        CD=EG=GH=HK,
, X& f2 i/ y9 ^+ E$ J& `( H' b- \根据(4)式知K、F共点,所以
5 @  E; E; T. k+ J  h: n" J; v+ w: y        EG=GH=HF,         (5)
0 C4 c5 G+ O. M; l$ h根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
, [% ^3 _! T4 Y% c           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
/ J2 m5 y) j- v0 T4 E' m            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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$ Z3 S8 D8 q" w
没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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