尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
                          2011年2月22日
6 g; u" [1 x7 v+ m     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
. n5 k9 _6 c) z) @    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
5 u" U! J5 i6 E3 Y  p3 n    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
7 S6 r$ s% d0 j  W7 @根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
7 c5 x" k; {. \3 ?! r   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
3 f7 }1 l! W8 p           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
  I5 A. [& p5 h* n          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
" V1 i6 l" z5 ?, Z/ g         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
/ c: M2 e( q" j) [9 c证毕.
$ `( D8 V- ^6 T6 Y5 {( n. O    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
  l/ X7 l4 j7 G/ C7 D           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
# q0 V, v/ I5 c          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
         r=AB/6,
, n$ s0 _  z0 e" t* Y1 U    在AB的延长线上取点D,使
5 Y% P* ~5 s' Y# D9 D        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
1 [1 l, `) f3 A% ]       ∠BAG=20(度).
$ L! U6 M' A7 T# E+ S* B   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
$ \2 F1 E% Q. Y) r$ f# B作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
, D1 M: O( v# D* ?0 R8 C" j               AE/AB=CD/BC
8 @4 J/ r+ ~* m' X8 v. W             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
' z. u+ ^( Y0 A$ ]' G& p+ D尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
+ X, D5 h& {3 `! m, M+ R2 L            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
! _1 ^# q) k, V& t              r／AB=N／360
" s# K3 F8 c$ G5 j* {3 b0 X        显然有
              r／AB=a／b,
; X4 a/ O2 F7 h; G5 q# {" `         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
! ]1 f$ l! T3 ?9 A- I        易证
6 Q! V. I5 {# s7 V3 S+ Q0 c        △ACE∽△ABD，
, [. o1 J2 s0 d5 j* c( ]0 K$ ^       所以
2 |- i! x2 M: \, [  u/ m, ?       EC／AC＝BD／AB，
     即
       BD＝(a／b)AB.
0 S2 l5 ^# p; x% f7 `9 t) u     令
0 g2 K1 A( {( W; F6 i; B       BD=r
     即为所取.
/ X5 w; r  v8 [: @4 M