尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
; \4 Z3 c! s3 n                          2011年2月22日
  ]% c( B6 D: r4 d# f     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
! z1 q! ~$ R2 a) q: I    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
3 `4 U+ S) }! u6 N2 T: e% C6 z    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
. ~- s( T8 v7 f" H, v& A9 e3 U           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
( o  Z. I$ V# s7 W! D$ }7 j            ∠BAG=1/3 ∠BAC
( }; l7 l4 y1 D) T' u' \0 ~: h4 z    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
$ r# i4 W/ p4 l  Z1 t" g4 v           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
8 _  {! _3 {& F0 w+ B2 T" e         r=BD,
& `7 D$ P/ o. {1 ~( |) z: Q   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
) m5 H/ Z7 U1 |3 R- }3 Y7 M, d证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
+ U4 Z" X& w; v' K& j( f根据公式1 有
. d3 q1 x% `2 N8 v           l_{1}=(60AB\pi )/180
+ m) s5 \+ c( P  x3 e" q% J. ^( R% L    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
( a% `3 I* f3 e8 m6 O2 d% T* n          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
         r=AB/6,
0 L  p" I8 q7 V% l5 r    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
) o: {1 M' _) y9 u       ∠BAG=20(度).
/ f! j1 T( E7 d, d  j( A3 S8 ^   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
: G( H; t! f" H作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
1 t: s8 B2 H0 X" f" w               AE/AB=CD/BC
/ o% z0 m: e! I' z& E             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
4 |+ _7 K8 r7 Y- t我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
+ x1 N, G' ]1 ]' @; Y3 o3 L            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
              r／AB=N／360
        显然有
              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
- ~9 h# q7 E2 C. x% [5 I3 Y% L$ P1 R4 V         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
2 x" j3 T- w0 t( ^% d        易证
8 u! i8 M" B# L% i/ R        △ACE∽△ABD，
! V) v6 z- s! P. A7 u( h  d, Q& N4 s       所以
: [4 c9 v; H, A- n* |+ @       EC／AC＝BD／AB，
, |/ t* n7 [* b% G+ T     即
$ b- b: R% m- d& z. X. m! }: B       BD＝(a／b)AB.
/ Z" a: V8 _& E! k! H1 U' ~     令
       BD=r
     即为所取.
/ ^  c7 ^" D. G# S2 F, U  M- M