尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
* {" h8 `4 Q; {. l& v5 ~6 y2 Z                             苏小光
                          2011年2月22日
4 Z2 U- g& u- S9 q' G9 N+ R     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
( [6 l) P9 p/ V( y    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
& [  u7 ]! Z3 f+ X3 L* }           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
8 ]  z7 m) y" I8 s" ?3 }8 Y           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
$ a0 R1 a- }8 I8 f6 R; C9 f    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
: Z1 i3 S: s- E; \& I           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
* Q$ `/ N! \: R/ T( t           2r\pi=(NAB\pi )/180
: N6 [1 u' Z( A  v0 X+ j2 K   所以圆半径
! ]( R. n7 j& Z. v. I4 o. ^& ]          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
' H' x4 y( q, g' V% P4 W1 F         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
3 @& F+ K* I- P. i           ∠BAG=1/3 ∠BAC
( \. _) y" k: V证毕.
4 c2 ~' M1 l( ?    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
: \# s/ s4 D/ R- f解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
) \# o4 y- E! J1 d1 w          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
+ ~( t3 s2 q3 V7 ]4 u         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
' h# ]" w5 u/ o( y5 @+ B        BD=AB/6
7 D0 b, j+ G$ Z3 F    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
- h/ v$ p1 T" u7 v; o% \" _       ∠BAG=20(度).
6 G: v. m) k( ]* U/ G; e) ]- U0 @& `- d   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
* G( _+ s: y4 ]; P' W: b: l9 l               AE/AB=CD/BC
7 {! ~2 w* J% j  {/ P% c* \             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
+ {. f9 Q; M  V" o! _我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
9 K, E, d. {2 q: I$ e  m/ \) M: u. }            关于怎样作出 BD=r   
3 k, ?; G5 y: F! ^        由一楼有
              r／AB=N／360
        显然有
              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
' Z  F' S! d5 i        △ACE∽△ABD，
       所以
       EC／AC＝BD／AB，
     即
       BD＝(a／b)AB.
     令
       BD=r
     即为所取.
; C6 t6 M$ R5 T, N+ J/ R" t9 V