哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
$ P8 S. Q# u; E' k4 p! D2 V" G1、质数表示式的由来
% m/ L& w9 {8 B+ Z已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
* r4 D3 G! E' |0 ^! G( `$ Y; k已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
4 F0 k) }$ o8 L即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
' O, y! {7 _' L4 t同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
3 |, s; J' p' @! v$ R! `由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
2 v& o: y/ [' k即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
; c$ X- C5 ?- p: m& c& X" a由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
0 x1 h& U( c  D/ ?5 v9 K* _均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
1 Y. J& j5 f, ^! T* |* B% g2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
7 W* ~5 o0 y6 V2 T0 ^其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
3 X, p/ Q9 _7 s5 L这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
0 F! J4 t7 V9 H! D- Z) y/ E即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
, N  j) k/ ]3 s+ H例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
! z9 P, X+ Q8 x7 F1 n/ P: g& m, {2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
7 i' w! n9 h$ g) `. w8 _, G2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
. G4 g) o7 r( R3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
/ U1 s$ e, z3 p即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
8 Y1 i0 J3 x9 T% z( B' S! m/ _1 a在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
, h7 B# Z6 Y/ U# X. S- T0 a: `代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
0 B) |& z* O0 R& _又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
* q) a# Z. d0 P( I* \+ k& r) H% r; q4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
, h- b: T" j  u' J: b1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
9 J( F7 J" ?& V) z  e( V% F' J若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

9 V5 A4 R1 u" ]得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
( k4 K  G) j/ S* Z$ T若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
% Q" n8 ]( U. b' |0 ~同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
% ^- I0 Q) |6 G1 P在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
. P' P1 r0 o. o: p（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
: M8 }- N) o: U2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
, D9 V( v% K6 p  t3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
& E$ o) |; a- V, |8 j设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
; i3 {1 o8 @7 V7 O0 j5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
' K: x1 [3 L0 s$ a( O* c3 y1 V% t即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
. Y% g) }# u0 c% h例  
; I0 g- v% c4 r/ G; Wn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
; j$ U( Y1 O3 l% u. m# c, w! XM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
8 x9 }: u+ ~3 FPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
4 j6 G: G% i. |# I; p, q
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
4 f6 _- O+ ?, b7 ^  m1 m. J又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
- D+ {( O' J+ T: |5 b; x/ D# Y则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
: D; a( l, f8 M4 Q/ DM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
, p& r/ H" m( r$ w5 X) h% U已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
5 Y$ C& G# v3 ?' K" bPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
0 H9 R* E) e4 y三，也可以这样证明
4 d0 N1 \- o  y* w1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
0 `1 a' N. e/ Z6 ^! h1 ?( ^# f若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
* J) ]8 Y+ c, @5 a0 j: o* Y1 H（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
; O) y/ |) Z& N+ w# Y或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
" d8 R+ V- C$ F$ ~Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
& T. F+ o- l5 F: W0 ~当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
% E: K+ |6 [/ _设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
  c+ S% y! o- Y0 C& `代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
- _! N1 `/ T' g- m* g2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
. L4 V' ^$ `7 Q2 j得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
% g; `3 k: E7 W, ~- C" R: Z同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
- `1 ^# o$ R/ H& ?. a. {即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2 u7 H* E" D0 k+ Z% D& p! H4 v2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
; V9 c2 Z& k, L. ^2 c: K. Q; M2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
  t' O) g! ^6 j7 b- y/ Y$ U2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
: f/ m% g8 A$ }# z4 k/ P7 ]（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
7 y: T+ R; ~8 O或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
+ O3 u) ~' z8 H$ t# k! T0 W8 k（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
: u) y- K1 }" D                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
# k/ J( p. P) L* i, z; D5 ~     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
( K! h7 K8 w0 C) n' k) V/ j     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
/ _* j- n$ g# f( n' a6 H     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
2 Y# e$ K; O; {9 D& p    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
. j) P8 A( b- M! s6 |2 R8 w    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
# z. n; R: l; l# I+ b# v7 l  FPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
+ |& N) f$ d* C1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
% ^0 _7 T: q* ~/ d/ e) j在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
: w: b9 ^, v( f0 G                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
0 w5 Z: V, X' O, B' C7 |                                             =0+3+14+3=3+17
* m/ W8 |4 D% \# F+ D                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
$ d  s: d! d, x% BPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
! \. Q5 V! t+ @第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
* A, v) y& i( c4 ]. c7 \, L5 \            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
; ]4 p0 [; I9 d0 D# q0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
1 q6 Y$ f1 _& J, {+ d$ B! \4 O2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
9 x8 I/ \" f  q  \: }                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
! E9 c# A. Z: x% y! x2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
3 w2 Z9 W4 _1 L; v# x                                   =28+3+94+3=31+97
, z6 x  M) q$ Y3 I7 }1 G' m. r                                   =58+3+64+3=61+67
( d9 N1 w% @; [$ |) [综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
8 ]+ b( i% s- i" Y: C" ~! W                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
  ^- l; ]: ?9 e  N3 d2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
6 j3 T: ^1 n# ^5 Q$ |得Pn=2n’+3  
4 x# I. X, B9 }: [) Y- y      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
4 a! t" g4 D4 C" d0 h0 @" a* {又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
. x) L: z5 I& \9 R& @2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
+ g2 e3 e* a- D) b7 _1 E2n=4n’+2n’’’ ……（3）
4 a1 }) X+ m$ {上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
* p8 |0 s/ x& v8 k7 o  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
' k. F0 T: q4 B. s$ y4 v  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
5 n7 H0 }+ d# y1 F4 ~! e3 O. B  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
2 v' G4 q* C% M# O( ?4 i8 |8 i1 j  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
7 Q1 H  c3 x, b4 a) d确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
  x4 P6 a. `6 F$ p, t③证明方程组成立
+ K; W8 j* w; P6 x: F即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
! j5 [* B2 T/ I0 q: Z4 A% |已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
* {. P' l, h. F+ B! U5 Z) X! a得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
) J2 r7 H# j9 P: e$ W! e6 s# w 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
7 Q4 B* l; P8 @) ]8 GPn’=2n’+3+2n’’’
1 Q2 s2 ?2 s4 A7 z  E  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
5 r# F9 T- q1 N. k7 ]已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
7 Z5 P3 p$ r$ J' J  c# b5 z6 M   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
& V% o" A0 @2 b* l      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
7 P3 Q" Q9 O3 ^$ N0 B+ \- N      8        8        0         4        4       7        7           14
/ z( m% a. i: q7 t# d      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
2 ~1 e4 d# h# J% }* w      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
% y2 e1 c7 F/ ~7 H* t0 ?% H, g     92        32      60        16      76        19        79         98
% p& J7 ?7 y$ [6 S3 r* Y7 a- U     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
% v9 R4 ~6 _/ S+ K! G     122       116      6        58      64        61        67         128
' R" j: I; I5 _, ?% e 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
6 P$ _6 n% _- k3 M1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
1 j% I+ ^+ V3 `  f" I! _(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
% j, W2 Q  \; |9 F" T9 K" `(3)，它们的分布是不规则的
9 e5 v' J! d3 O7 x由上述三个特征得到三个定理（见注2）
4 _9 g) s- K' ]5 ?即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
  e; S4 s9 |* e0 J# Z ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
$ B* L4 g' n  K# S( i0 O9 x& B% V' s ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
4 \$ D9 r: s( F0 `% Q3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
/ ~( p' j0 G- A. a鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
. @+ P( `7 d! D# _注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
+ X1 ?: Y9 Z9 b0 M4 u( W: x公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
! a! M" l+ }' T又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
* s) a/ y& B! s8 m. g9 g# K" g3 N   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
, G+ X1 Y. p* B. m2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
- {* ?" m8 U  Q5 E0 u$ D, w5 K7 j5 X下面来证明定理一：
& y* |2 A# l& G, H5 d- c已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
; Q. u* z3 V/ r2 A9 M则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
1 @/ |3 B2 v, q; j% N5 G" t6 S' R由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
: v  d+ D# i5 i4 V4 z8 BM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
, X2 E( ]5 L! Z8 Z4 [8 G由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
" q; D$ o8 l: h) b, d则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
- s# N: b( v# _" [( J. ]即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
/ C$ m8 k( H$ z1 q% b# L$ |: q例
4 v9 N6 I3 M+ H" s' ipn        3        3        5        5        59        61
$ v9 a( P  C& e$ @! v1 j0 y5 [
Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
$ V2 p- i5 U7 ^" D4 ~$ Un’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
4 J: X  Z* x* w! e4 f2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
# [. k+ e  H* zPn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
5 Y0 @: h9 Z" e* _0 \" U8 ?式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
! z5 v3 }0 y8 s例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
) K2 F9 v: s0 k. ~2 `5 ]( \0 N5 e                                          3+3=1+2+1+2=4+2
4 I8 y7 ]& h$ Y                                          3+5=1+2+3+2=4+4
. c- a" q  g, l$ _3 `# Y                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
  C& D' @5 b& K* ^6 W' U' I; S7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
% {2 E) w2 D, \. o, P61+67=59+2+65+2=4+124
5 ?! l* v, |. a; f" d…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
# G1 v8 g  r; r) T0 n; c" B4 J若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
8 f, y+ \/ y+ e$ F再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
# J; J# S- |6 R7 p" o        2011-8-6
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