哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
/ |: R3 x7 c9 q+ l$ e! ^    一、质数表示式
# q8 N/ ?! l6 i# `1、质数表示式的由来
% W& o, S& t; Y# \) r6 x; I已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
3 w) \- {5 I, c5 S0 i7 \已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
8 a/ h! \- K& V即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
3 p0 R% @9 k: z, S* q$ O: _- C同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
$ X% s8 D/ F9 i( E. ^) q由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
1 q$ ]0 g) @# e0 l. y+ k% p由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
# V. N) A$ c. n! ^1 J 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
0 g; |4 c7 p# E  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
; R$ r$ v. R$ T2 L  q- A由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
' V% [5 Z; B6 H) T1 M6 |" k1 Z均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
; O6 ~" M/ V+ a& X. j( o2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
4 ]* i1 \% B/ U1 P2 @4 k6 h( m: x  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
8 I# K+ Q" |9 N5 p设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
+ F6 @% Y" I' Z  E. O3 ~. o这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
/ S5 M' i& {- h2 D即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
3 Z' Q: h0 H% P/ Q  r; J& R, N2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
+ q- E# b" v7 i5 o8 F' V: l直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
& o+ m! ]" N- D8 S: @  x在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
1 p+ w5 o- M) u8 k又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
, v8 q0 i, Y0 l: [* M即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
+ X# q6 D8 W9 r6 p$ T从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
5 [: Z# S) r9 O, ^1 b) V2 x4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
; A% u# t& c; @: R( ^( t二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
3 k) g3 d- v+ Z/ D( E8 U0 V若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

. L0 J$ ^5 x# w! s% a* D; @: P0 T得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
" X' p9 }" t. p! n8 y% f若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
  Z+ r& }1 k; E. z0 c2 p在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
5 H( c  f4 _) ]- a（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
1 Z6 b' d, I6 k: o* g1 C3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
( @) l+ I$ j4 u5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
% {) D. n6 S8 d" l2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
* I4 m1 A4 B# ^6 ~, Z3 E" fPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
, _' N5 V5 y6 ?) l. R) fPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

  O" H- [1 C7 i8 Q' t3 p9 O) F由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
6 Q/ o+ G% v9 V+ z又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
% F1 J9 M$ ^0 G! D. Q4 A然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
$ `9 Q2 r* T! M5 V, i* Y2 B已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
- I8 A6 A# O3 d9 Z: m! @Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

3 v1 }2 D8 j- N5 U+ E5 w7 l       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
  z1 g  h4 A% O/ l$ ^* ~5 Y1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
2 c* j* H8 n* R或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
8 G- V+ x2 q$ d5 f设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
9 C  O# d( m$ E/ }+ z6 M1 {6 r/ \9 T代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
% w: W7 q4 z0 g. u0 p或Pn*+Pn*+1=6+2n
0 h0 q- R5 S0 p9 c, a& |2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
. T8 ]; a& O! j0 `- ]- }代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
8 l* N! ?6 D5 H) L1 k3 i设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
/ e4 B- b9 ]2 a8 z若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
' q- k! @- G& d- ]4 K2 M( On为偶数2n=0,4,8,12……
0 U/ u! `* g1 s) U2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
! n1 L9 c$ R  A% R# P9 M2 r2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
. A3 k, c5 z  B  G; M2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
3 O5 \2 L+ b) y; t2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
6 @' b9 d$ h3 _% {' f0 ]1 w将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
6 U' m. [* K+ \+ G/ q四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
4 y3 v6 P: s$ q  z& B7 H# F6 I又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
  q% ^$ Y8 g4 S$ FPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
* I. u  a2 s& O, U+ O0 s4 ?: S8 h8 A' dPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
* a/ l6 M6 Q* g% ]& K# H或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
  T. z+ X1 ^7 \7 z% B. |（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
9 ]* j/ q( O' t5 z得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
7 U% ^! s2 R) `) l, x     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
1 x$ Q. e, \% J2 j2 U  ]    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
1 B3 \( @* h9 F6 Y5 W+ j8 {5 k: I    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
( C- r7 @9 |' n9 \! _+ w- _9 G    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
, n% [. u# O. _' X9 P# \4 V0 a 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
% u5 [$ W1 C" z) e由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
9 v9 o4 ~! q7 q! O3 o" Q1 z1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
; J" D; j2 v; ^3 z: d. G( G, ~/ t                                             =0+3+10+3=3+13
7 \. J' P( }, H! z7 l+ W" Q5 C! ^                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
9 m/ B4 j0 f/ H3 Z8 ^                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
' b4 \, A) p! k) R: }* ^即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
8 [/ l: _) P: f/ X$ a# T( J这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
  j2 v" v& G- ~5 ]* s0 s5 R3 LPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
/ ?/ U! l7 k, b' N6 y7 m      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
, V5 l! B3 a1 S. W2 [+ x      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
$ c1 z" E" \6 Q& \, X            =4+3+50+3=7+53
$ d1 ^" G- f8 |# Z1 _又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
# T: C* g7 e8 `0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
! W" k, u7 V7 X/ i2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
4 V  L8 @! z) a/ d/ t2 b# d2 r                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
5 E* d$ B7 ^) j; g2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
9 O1 P6 D5 f4 @                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
0 w9 V; L6 i; R- F/ Y- `9 \综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
# F8 z3 l. Z- g7 q( H                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
/ m  i' G" O% W% H' V                                                   =n+3
0 I1 a; {6 E6 f5 q2 Y0 P- X: f4 }2 n                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
0 A- {) ~& H' K- N# H(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
3 J3 @* \" x2 P/ z得Pn=2n’+3  
4 T# j1 |1 |" G4 v1 L( A  i      Pn’=2n+6-(2n’+3)
7 p9 e% O  {0 S& v$ G8 A      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
) x5 E% G, U4 u3 ~' a9 HPn=2n’+3   ……（1）
1 Y- Q+ d) M" V+ H1 Y$ VPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
5 j# X% M+ |% ~6 N5 i4 w3 A上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
: k& f6 @5 ^' u( ]  I- P  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
7 f& _( a: y% }  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
3 Z) _' @: I) Q0 T  p. C  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
6 o  \+ T7 B9 T& a5 @  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
' i* V6 Q; T: w9 \3 D9 u5 k' A（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
% b! {& t/ _  U5 O9 ]. B* c; `②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
) Q) A2 K# R( O0 l3 H' B' X1 D+ n确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
+ p# H& {& x- P# Z4 s/ K0 m③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
2 q' T' B3 o6 Q0 p已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
/ G6 i+ w3 T* VPn’=2n’+3+2n’’’
) J4 L+ L3 o1 i( ` 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
5 ~& T" Q1 [% E已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
% R) \. {; X; J% r0 o3 用数字来检验质数表示式的成立
2 S7 U: r( p- z# c. G  ?* z已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
, ~6 [7 g6 P4 [* o     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
2 V5 w. |5 l8 N  l* K/ a      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
2 E6 K! i$ d  }8 d' _% t      14       8        6         4        10      7        13          20
0 g, E% R% a6 W- m% W      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
$ V# D+ i- j8 T6 B" G( I* e0 e     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
, a4 y: u: ~- l     92        56      36        28      64        31        67         98
8 ~* _* a0 u6 |% z. Z% j4 ?- Y     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
  b9 V$ r2 R5 u& e$ }     122       56      66        28      94        31        97         128        
" L  m6 a3 Y- N- N& l' k. |     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
3 P: w/ W/ M5 L' u1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
& c( z, p* ~6 L2 y8 E) Q9 E& K(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
( s8 d% N. M6 p/ f; i- K, P; I6 [/ s2 h(3)，它们的分布是不规则的
5 d; e* G* _. ^由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
  B3 ]1 _! n* [( ]2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
8 |* v& B& Q/ |6 V ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
6 p2 D; D- N" I& e2 x8 n* E ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
+ x- g- X9 b, s( Q1 ^3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
* F# {$ |* w# g鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
* Z* x- |, R  d! C( U% B注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
- V' d* }$ P* P4 _因为因素与理由意思相近或相似
; e. z( [6 O) ]: A公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
) N6 E7 O8 M. k& l; c如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
/ j  o+ d: Z2 R) c9 D* q8 i０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
3 C1 R8 ]% k5 M2 e0 w3 S因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
/ `4 g  ~4 x- f 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
: F6 F% H/ z2 [, G: R  Y  h' [7 A" u   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
0 R$ s& [6 i2 _+ c, s; |2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
9 o' T! ^8 `. N3 K' e6 j下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
5 P5 x6 D$ y" e4 J6 I1 Y由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
0 @/ s, w& b+ B$ T5 L! l! A* i* d% F由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
( ~9 u2 T# X% g% n. k# |得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
0 K' @" I) \9 C" p2 H7 [pn        3        3        5        5        59        61

' N% b5 X% p( {4 d: C# l5 WPn’        3        5        5        7        67        67
( h$ J9 p* `- i2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
! m' z1 Z' y8 [* Y: j2 C! u+ i2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
( x* _' @" Y0 Z) P即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
+ @! V. J9 @+ Z. Q1 S. |8 fPn        3        3        5        5        59        61
( W* ]5 Z4 K% m) K# U% aPn’        3        5        5        7        67        67

/ P  B" Y- t, K- D$ W注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
/ u1 N# a' a- e! ?. r若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
9 D/ n; ]$ K: B式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
! y  ?) p& \* |5 B: k2 c7 ?                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
) a; i( U# N2 a9 V% h7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
# Z; O0 a1 {- O61+67=59+2+65+2=4+124
6 @. Y0 g) U3 n; K9 y( k…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
+ ~( N2 N- ^- a" H! s, O当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
% G# I! p9 |+ E' C若n为奇数时  2n’=2n’’=n
1 t5 c- L8 ^2 r9 s( Q( L若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
0 o/ A$ I' Y2 X8 b+ pM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
' Q& [6 P) w, c2 m  ~2 C4 v =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
5 Z- j$ v8 G' z+ W& y& r再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
/ e: T2 @( @: v8 _& B- Y% v3 v) N笔者   蔡正祥
        2011-8-6
; r/ y. k6 Y  D$ X5 o3 C: [1 G通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
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籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
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