哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
1 F5 m! A9 s- s$ O- w8 z    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
9 F, q  b' Y2 ^( r; p已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
$ n; ^" w, l2 W! C7 ^8 g$ G/ J% _它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
" d! n& J" ~" U  g8 Y以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
& e6 ^& I* X1 y1 x- x则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
/ u5 B% D2 ^; H- h* R% ^将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
4 E" A3 V1 O' f+ A9 u由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
% M, W7 J0 s1 w9 I4 O: L) l即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
9 t( M5 S. E/ D' Y2 a由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
! O* L/ H" B% E% A 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
2 @. |! C" W7 C由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
! J6 P  y9 @6 K( W6 O均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
9 J' a9 Y+ I0 O设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
: l1 t$ y4 ?% [& x  }6 p5 z+ \Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
7 C3 e& X+ Y+ n* ?/ c5 Y/ \: ?这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
' ^( \3 r! ]% J2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
0 I/ E6 c, C' U  w& k6 g2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
# b$ @) n, h3 F( g- I2 Q2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
7 G, {' i' V  i0 n' Y直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
6 b" m6 }/ N+ ^' }- w$ r在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
6 B# U! o- u5 R* M( a8 f2 o, f代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
+ @3 p0 n8 O0 u# |: ~或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
0 Z3 h& C3 w% n由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
" z  F# t& J# ^5 x; \' y+ u1 h由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
- [5 Z# H$ \/ C( k# r9 o% g8 F6 I! n二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
+ g, O  w; P3 Z4 [& `* }1 r1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
. V# U$ D/ z# M1 [若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
5 l# p  Q: x7 y; N) `0 b& E同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
% ]: {+ Y$ k# U" B0 W在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
/ L: Y; s9 D1 h0 z即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
5 j% |  ~% x  a$ r0 @3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
4 L$ j+ F& \5 g0 r6 y5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
& \* ^+ V8 b, Q9 u/ M6 m2 o例  
8 |, O3 r# V3 T9 pn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
! Y0 R3 ]  O7 s3 T0 zM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
. K! E1 `/ [) A% d1 Z: a3 cPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
5 a5 R) ]3 I( H. m# g9 K0 R7 s1 P- E
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
2 }6 ]# h- \( O/ w  D) ?因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
" u# f/ c  n" d7 p1 e, c则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
0 |. `2 F( u+ L, d) n; Q  @(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
; s) W; g. z# W8 qM=11111111111111111+3=11111111111111114
+ e3 B6 P4 e1 n. c! H$ L9 Q& K根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
' \2 r5 e# j! u& S" r# u% V# ?已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
- H+ `# f* @, U* X& ]Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
8 h. }+ i- T) h- F/ o) [0 v
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
- M: W, o" b, t/ {三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
3 t5 o3 i) A+ T$ R设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
$ h5 H( ?" R% K4 k/ k  _8 P代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
( ]6 Y# B. `6 Z5 A) n* A设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5 o! E% D6 W. B5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
: k, S- \2 z" i0 T  g代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
$ t. ^( Q5 v, f" l% K若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
( b2 v" N. s5 p2 G5 c- w若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
3 ]" v# Y9 x  d9 U3 c# o  hn为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
7 `% ^7 P; M  |& o' G: S3 s! ~2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
9 W2 R2 w$ [3 ?  Y设  Pn=2  或        Pn=3
4 J9 O& ?" i- e/ ^0 Q8 b 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
) g  k& \* s+ H0 n+ V7 s( Q: g7 Q% G$ E四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
7 f$ `' S  r9 SPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
' J! L& @" t9 u1 lPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
' D1 {( G1 Y5 _# ]; ~5 z# o  l或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
% z* C) X1 f* g$ Z6 W0 `                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
, D  ^; k# @- g# k0 N0 \5 I得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
% r2 d+ A6 R" _2 B# E6 j4 {" v# F3 I" o     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
! g. o% T# ~* d     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
+ l# [; q" J" l  A# T5 d    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
. }: d* Y  x' Q) B  u1 Q    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
  X' h& F$ k7 o, c& `    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
0 Y2 m) Z4 L5 |4 aPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
7 p$ E# d+ ?. ~" l) s      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
  @% H6 ?  N( B5 c% g6 i; C即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
& l! z5 u( m/ O! _" l# C/ ~2 S在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
, r  v0 D5 a7 t! H7 ]第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
( i/ D' Y8 n" D                                             =0+3+20+3=3+23
/ V* U! K4 p2 }9 r2 k! a8 l8 u, d第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
* U3 }3 B' L) M这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
( T) t" l4 r5 \  n; W- ePn +Pn’=2+3+4+3=5+7
* \& d* @: H; K' E' C; f1 I      =2+3+10+3=5+13
; c: t8 Q, Q/ x; n( z      =2+3+16+3=5+19
- o0 D4 x8 R0 `) E/ {      =2+3+20+3=5+23
# V/ H+ P2 z# Z第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
0 f$ z" U6 z$ o, i. k            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
: Z, M  V+ D, {; v. P5 ]- Z# t            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
$ i& q: D$ Q$ g8 N0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
6 R$ b* [" `. Z; Q; U( Y# Y7 G& o* W: X0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
- O0 _5 y8 c: Q; o8 P2 v/ x- d2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
8 g( t( `2 M( f& `: a. |9 z! k                                           =28+3+64+3=31+67
; B4 S$ c1 D' a1 d6 ~1 p                                           = 34+3+58+3=37+61
1 K+ }% s! C6 I9 V: y) X2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
2 S1 S  m; X! p. V& c# @                                   =28+3+94+3=31+97
& `& E1 n: O" q+ w+ A7 d                                   =58+3+64+3=61+67
1 Z9 U$ T4 h/ l4 p$ y综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
8 L* E4 p7 E; a# l) w                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
6 B/ X3 L( D$ A% m5 d      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
' v' T3 @7 l! T: \Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
: L( {! _5 q; l) s& Q) v上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
; G+ ]: `8 ]& C4 m) ~' r, w% b2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
0 c) Z4 S" M. \  A) h1 \' S  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
% x; b) F$ e9 m( v. s  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
/ W0 N5 x  e% r$ \  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
' y3 r: G8 M# Q$ l+ W  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
7 G0 g; |* ?+ Z* V/ FPn=2n’+3   ……（1）
. t, d7 H4 }7 M8 mPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
1 }9 i# y  l# Q+ E/ s' S& t①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
2 H5 r! [( m7 ~/ E" K②解方程的步骤
( H+ o! _$ U; b/ [& [6 d6 z- s设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
1 \9 c0 Z; W. |( f$ s& j已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
' [7 o% N% d( \1 A+ S3 v& w   
- w& U/ a; R" a" n2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
6 n# X* J* N" [/ Q6 F* ]- Q6 P4 }得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
( T$ l: U, V% [Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
: S* S$ f6 L8 ^& y( p5 R" U) Q  =Pn+0，2，4，6……
, H6 `  a6 g/ ^9 Y+ P已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
7 r3 v% r$ U& D设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
" l# i% }6 N  w; p% i   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
# Y, d! m6 [- k% @* v      4        4        0         2        2       5        5           10
) [& k% f: J3 I4 y: V, ^      6        4        2         2        4       5        7           12
; |# ^$ b/ k% x3 e4 T' D      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
# m9 L- l1 `# e( Z  t      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
# e7 `8 v# R* d; t8 Z- c, {" @     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
: V7 U: ?. m' {6 `2 A% k     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
0 E$ b1 _/ U, _+ D/ d4 L/ X, V$ q( a% c 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
0 G# k' A- I& S; N5 W2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
4 D+ O# j! l) G8 m1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
. L& [4 i/ P2 q4 p) t6 Q: I/ P(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
8 |9 N& ^0 Y0 {( \0 i0 u(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
: F" u: T- ]# t  A1 o  X# Q4 d2 d2，以上证明涉及到五个问题
0 r: o2 t' R. `( { ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
, {; J9 W- E; F7 b③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
& Z$ U8 L; \" c' ]" K; l# t  E ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
! J3 ^% _; U' |( [6 X2 H% G- o+ K鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
$ G$ W' h" J* M, ]公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
% `  `* q- o' L公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
( q8 [( V6 O. C3 F因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
8 {, X3 r- b" m* w 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
, b7 G4 }0 x; U- R( `2 \* p注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
- u" e% Z( s0 w$ ~9 O  @0 T下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
; t6 V* y6 A" h$ W2 U则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
* p: v* S9 f4 K3 a( J1 r: l由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
8 U& H0 ~) G: u+ w则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
. ^" g. u) M4 o, _1 S$ v得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
1 G% k; w" ?+ }- @, Upn        3        3        5        5        59        61
$ {9 J. ?$ U0 e! G
7 h5 ~5 t4 Y( f% A5 KPn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
; J' L5 U7 H8 X$ wn’         0        1        0        1        4        3
  v, x& X3 r' U5 l# t5 g! r" ~M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
+ \- C; ]% B4 L1 p, h2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
8 g& L# |+ V% G" d  B- f由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
' f( d4 \0 W5 O/ k! K; P即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
3 [, ~- _# H7 [) m' m: U, BPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
/ \0 c; T7 @2 v( l9 oM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
4 c/ p7 A9 o( h- tPn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
/ o+ U+ [$ b1 Q# C例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
6 x* [0 y( S) `- o59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
6 ?5 o6 ^$ M% s# ]9 U在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
2 b6 J1 z4 h' k4 }, ?; p1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
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