哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
4 c8 @; t8 H! P( b2 c5 _: v0 D    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
: N: {1 x( Q% ^; M7 Y7 L已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
: N3 x" A: R, E7 D它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
4 d7 I6 g8 ^6 D0 H" \9 R- Z将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
( Z: _( `1 m1 p$ X0 R2 c已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
2 x+ E9 m& o/ O9 b! x' }3 `以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
8 I- F8 }* O1 h: j* `8 R' [- M即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
6 a+ k- O# E2 S# V. I同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
  T! p- V0 H5 U& Y由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
- N5 n% P0 c8 P; W1 b( A" K即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
& S6 z0 ~( B% o' A/ {* O* B, S% _由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
# t5 ?/ k5 e* S  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
/ z& q7 L" {9 V均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
. d. M$ X  B: J. k# m2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
' [( I9 ^; x$ J' ~' ^% z1 H0 T即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
" J9 i& m5 k* f% }7 N7 s! q% A. X根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
( C- {3 ?) T* L! v用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
! f6 [9 o) D! S: ]Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
  v# R1 j) a& D& p' `                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
) N" w7 e- u/ q. e这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
; K! }+ a% j/ ?即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
- n9 Z" k  C! q) F2 O1 w2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
" h. E5 {; }$ W# \0 K5 I, f- J2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
0 g( y4 H( s6 V1 t4 p3 \$ v代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
. `7 X& ^1 _' @/ H' l4 N5 V; c即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
1 B) g% ~# V+ ^1 O或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
+ Y# z) e5 [9 @+ c; M2 a二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
4 H) [# x; F: r5 W9 u* L: E若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
  T4 R2 D; v. }7 Y, f! M
得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
2 M, B! n, S  @# N* Y8 l同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
7 G0 n5 o; o5 B9 o( X$ ?9 @- e在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
! j/ }1 B5 e" V& H  i1 f2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
9 R& ~/ |% C+ [7 y& ^, i1 w8 f* k即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
0 q3 v) D, s+ U- x2 Y' v( ]9 D3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
* k' s  a  F+ {+ D1 A1 ~即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
( G; T" Y2 v9 N- ~8 p: l例  
+ ^" Q$ X1 U7 `7 Zn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
$ P! W. G1 i+ Y2 v2 I+ tPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
; u8 P* X  h# w  TPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
% r/ O/ a& Y8 H) s1 W则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
6 L: f( ^8 j  m# M3 k1 rM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
' [3 ~7 F& v7 k3 ^已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
6 ], p8 R; V( ]( \# z) b
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
6 \3 m& e4 E: W2 X7 F设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
# i  u, D- z. @! G! r! C5 _若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
( K% Q( l5 y0 \7 N代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
' ?8 X) }* I3 `; S$ l或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
7 \) Z- a2 v. w4 ~6 q6 H1 M* t3 hPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
( ?8 @  }4 k; O& k* h+ i% u( }或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
& \* ]" l2 D5 D6 F- G! e* m( j当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
( z& f5 _  \/ z, C" F. L$ {8 S# K代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
: R4 J+ K) l" @- s5 a或Pn*+Pn*+1=6+2n
  D. v/ D; r) e2 k* |9 s2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
. h' G$ @6 Y/ b. B. [9 ~+ P在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
* Y( o  {3 ~: y& J& Q代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
5 ?( E3 v- J8 F  b. H: ~若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
& p- y, `1 \5 q4 Y1 h1 Q同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
# P; |3 Q' e  u. U2 c1 d即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
% j8 U, I) G1 r* Rn为偶数2n=0,4,8,12……
8 a0 D% {- X% b: Z' y. J# |& V2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
5 r7 f2 m  {3 Z! C$ @7 i8 b9 I2n’=0,2,4,6……偶数集
' ^6 r! |! r( o0 n/ Mn为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
7 i* `* t( P* u1 Y) \4 E4 N1 d2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
6 z" {* V* d( S% r6 d$ {$ Z设  Pn=2  或        Pn=3
$ G7 {7 R2 N5 P/ _% H. { 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
- [, k9 c- S' {" M& h) z四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
0 T! Z6 Z% M3 ?2 v9 L% e% NPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
9 A: z& e% e7 M8 g! f% W或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
  d  P. H& m. x* I由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
, A! }5 e# Z/ u（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
: T1 V; t9 s: h2 L                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
9 d1 ^5 E/ F8 s; @得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
1 e. D9 `7 \' }( [" q" @8 l     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
# B2 n4 \" N8 \; l    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
8 I/ u9 s; ^" I( P7 j    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
0 a. t6 A9 D1 s' f) H+ ?    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
* x1 j! `2 T. \& y3 m$ e    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
( g# P& y( X4 f2 J2 y) h（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
0 S- }/ W: c# @! [# I4 Y( d 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
0 l: p: ^7 f) [# A即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
: S/ x, b$ S, [0 e/ D6 C: d3 v/ t8 x6 M                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
/ Q  A+ S( T3 p# o" m                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
$ k3 Q$ `9 Q; U* n& @0 p- L即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
5 N. V8 E! k: q$ ^, ^5 E      =2+3+10+3=5+13
+ S- @$ ]; H8 W/ p- W! g      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
* r+ ~! O/ \5 ], @第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
/ c5 U) @' g7 D又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
- O) F5 E1 n& m7 r8 r$ U0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
6 o) g& ~# n* @+ U1 h  Z. ~                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
# S) Y2 m4 ?, m# N- F* R                                   =28+3+94+3=31+97
, F- H8 w( I5 L8 R* Z; t                                   =58+3+64+3=61+67
  P$ B; M2 M  q/ E综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
4 W6 j* ?, g: C  u. c2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
4 O9 l& ?. T& r, s                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
9 C6 J( P; M! E" r7 [; Q1 V. U+ ?即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
5 e; B, l, |% p! T8 \2，质数表示式的证明
5 h* s( h  s$ s) F/ {(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
/ C) }* j( e! `1 g. z+ V设N=2    2n’=2n  代入上式
- \9 l# {% K2 a9 A9 A) I; G得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
3 e3 `" l" Q4 A6 k% O' K  ]( ^又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
0 s$ T- q# w  ^  gPn=2n’+3   ……（1）
2 @, g5 ]+ H& \& Q4 K* }$ {Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
& h" y5 A1 ~' v. L" S4 m% \# y4 O% T  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
; p; u( i5 ?6 j* X( U: D  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
( l  Y5 O6 ~( r1 `4 h" s$ A/ H' d（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
  {+ }  J7 n; LPn’=2n-2n’+3……（2）
6 y8 C- K# `  D3 S$ ?2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
0 O! A, W. y! I$ f$ r( o# L②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
6 r3 F0 C. ^0 ~# p确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
- b7 _. v! J3 N6 d: d- K又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
% z$ ]/ I9 z' q1 c. V& m得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
5 m  I4 u2 D' K/ q# }; `; ?5 n& z% {Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
% x" B  d/ D. t) o# g% Q/ {9 `即Pn=2n’+3成立
3 p" e! ]3 B# tPn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
+ ^) y1 J4 v( p4 T* A0 A已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
3 |: b) F( |& X设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
% V0 O3 F* L: M; H/ R2 t; E      4        4        0         2        2       5        5           10
7 ^$ {) m, m; r; c& z3 i* K; d      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
3 A' H, Y+ _$ Q3 x  [% J3 n% M      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
' X5 M5 ^4 K: L$ \& N6 w      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
( c& O) q  d4 u5 J* c     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
- |5 N' }8 K. x# |5 Q* Z     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
) s9 v6 i4 P( Z' X& c     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
) R8 n( Y: S* Z( j: E 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
- a6 A; J. g  b9 ~% u0 ^六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
* w. d" j, K. A5 t% G& j6 M(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
- B, R8 t; ^: n: _9 k# q' ~即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
8 q1 k' s; \! b6 C# C7 X3 a- m4 F- G ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
: c. V8 @* a( ^8 n( d% G ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
. s4 C. x3 ?! W$ g ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
5 m% H8 {- i* W3 i' c5 G3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
7 I9 ~; Q4 t; z; G0 s8 P鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
, Y0 I/ Y2 r% k$ e' c3 ~( l" k公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
( p+ R! e; y, M5 ]- E  \1 L这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
  R. I& {0 E. w又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
) H- m5 C% `" f０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
, B8 w+ W7 ^. p1 a# G   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
( i5 T4 o! b! z: K: U$ D$ W) k0 r注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
1 E7 E; u# H0 W7 ]+ w' O$ q' G下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
: P8 j  D$ `8 f& S% _Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
! z5 y) J" i9 d由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
6 U" T' N: a; i2 L即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
* W: S* A9 b' g4 ]/ _) |$ e+ fpn        3        3        5        5        59        61
3 G& b2 e3 o4 ~" ?* @) i( \
" [1 j; c& R5 o8 x+ H6 ~% a* o( ]- lPn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
  v" x" ^2 W/ ]! X+ A  wn’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
5 ^1 T% M; U$ A7 ]/ ?2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
: E; }. ?8 Q' \7 ]+ N即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
4 e, G$ K/ d7 _5 ^: sM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
$ R* j6 y  i* {0 P5 o2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
: a0 v' d% ~9 b$ Jn’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
  y4 K. `5 @8 F- f2 \7 C8 i$ K) K- ^Pn’        3        5        5        7        67        67
0 `+ e5 ^; V# l
! `; t+ k' V! B# b0 f, R注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
8 j) _- G1 c# p* g式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
/ p% ^8 J' G. Y1 j7 a例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
' ^5 H: p- C( p3 a1 n1 z3 c                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
; s# f3 l+ \% c7 Q4 G& H                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
% v* _" I+ A5 b4 d/ C! A: D7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
$ y  A6 Q( [* |4 y, b- M61+67=59+2+65+2=4+124
6 v+ z6 Q5 \, f: J7 P$ H…………………………
4 D/ y+ F3 ^1 f: j在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
9 |  k5 l0 V* u: e) Q) R% r当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
$ c, y& C1 w; D/ E7 ^; o/ A1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
$ e& F' E3 J8 D" B3 ~! c' _若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
  b- F0 d- `& e  {9 y; N =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
  j( c% H/ T% f" g4 f$ L! o1 a5 P" o再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
3 I- B# y3 z6 i/ ~; t9 e: R; P即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
0 E2 m+ w- P9 g8 |) D笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府



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蓝色琉璃

看起来不错。。。。。。

wangxun2010

好，不错

学会适应

真的很不错的！
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