高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
摘要
* N5 @2 w' [1 P3 i' a& l        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
4 C5 q( c, Q8 f& J        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
  U. J: d  i5 i' w  X0 Y        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
+ y* O- [! k/ w- U; g0 O! o0 E' f. \1 {       
+ B  @. D8 d+ y       
- v5 {2 W, G. c9 A# e       
       
; f* q. m$ E( s% I/ T       
       
1 V7 S+ b8 f0 o
& u5 o4 E' M  [       
5 o6 W& e5 Y' V/ t       
        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
. p6 n% V# U7 m, G+ w/ V+ i. s       
       
+ u( z0 y' f  K# N! j3 S- v       
1 f6 X" U1 H" w6 J* b1 ?
! K8 ?1 F+ o2 L, ?问题重述
0 x$ V  r3 ^* Q    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
问题分析
( l3 f9 Z2 t' x' u8 X5 R, c2 C5 P, s# _        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
3 ^) c  L* q1 k7 y- B        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
, o! }& k' S6 A8 w: n表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
& A: Q! o& F( w; \定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
  N. T( X& J. o0 w9 s：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
：某一年高校招生人数；
; l7 I0 k% E; M/ T2 U: o8 s：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
; U& o4 A" U0 M) R4 `# L模型的建立及求解
- [/ y# R5 x7 i' ~) q8 Y5.1 模型Ⅰ的建立及求解
. {- j2 j' H1 U: x    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
8 s! `% c2 K9 s9 m- F5.1.1 模型Ⅰ的建立
1 f5 g4 U; }# S) }( H        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
        （图1）
         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
1 Y7 w9 a. I8 s5 }& a/ D4 a        ；
7 O4 Q+ b+ N) k  w        带入，得到：。
5.2 模型Ⅱ的建立及求解
" o/ V' A: i& Y- P7 _8 v$ ]    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
; t* |( ^4 k. `8 }2 _5.2.1 模型Ⅱ的建立
提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
: G/ e$ C; V/ X  g1 |% O2 [某年份的中学招生人数如下图所示：
; s% i1 k5 D& t（图4）
建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
（图5）
模型Ⅱ的求解
1 {; o3 j  T9 l对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
8 J/ i! o! e+ v$ L8 J对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
将带入上式，得到：。
6 R* P8 G: u% _, H  z5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
/ T9 Y& I% Y. x# S( F" R  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
$ z4 |" A( V. x; R/ m（图6）
某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
% p: l3 J" V9 V5 {$ _7 D) m& c   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
+ k* r8 I: h3 j, K+ D$ n   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
  t  L6 q+ ?, q7 T$ l对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
7 B$ p' E8 C2 o9 ]6 U2 C对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
/ `. x5 d7 M2 d+ W& u7 y* H! M        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
* W' V* N% V! u+ N% M# `& w        将，带入得。
7 B/ g1 R) e1 D; s7 z. f1 v模型的评价与比较
3 y8 `% W% i9 }  |5 ~        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
7 z, \" x/ }8 g/ ?9 I8 o        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
7 w. l* r% h" ?5 s        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
5 q1 |9 C8 R, V9 o# P( U参考文献
; h# P: p  x: B/ M4 W姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
附录
8.1 模型Ⅰ程序
x=1994:2009;
4 d( V, w7 q. fy=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
5 Z: P8 i* X" P& ]4 n& X8 RA=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
( Z) A/ S6 I" C* k  h, qA*[2013^2 2013 1]'
ans =103.0261
# t; c6 ]& X% J/ Q2 q* h2 J
3 c6 P; m5 `- e- W1 n- r8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
4 n* Q: O6 D5 S( F8 i' v2 ix1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)
+ o: m( y4 s2 Y; j: O3 d; Y
# A9 ^5 X+ f2 z1 ]1 kx1=[85.31 2.4862 125.17;
* z; R9 r) e# ^* x2 F6 t96.87 3.2745 119.41;
105.22 3.0211 112.21;
) {- X) i$ m1 d- J116.95 3.2972 115.88;
! J' u8 p- @! b120.41 3.5714 123.8;
' R2 F4 `9 [2 e& M9 j/ Y118.61 3.4308 125.02;
% C1 k; B% O3 I6 b115.14 3.5023 125.52;
+ {! X  W1 Z# R4 b115.3 3.6067 125.17;
  k' b: Y- v4 J- D4 l# K4 [115.58 5.7878 123.3;
115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
122.97 5.6544 139.14;
6 ^+ V$ r* Z) I1 j* H7 x4 I6 T141.95 5.6950 154.67;
159.91 6.2994 167.06;
2 G2 D- P( L$ M8 k164.88 8.2410 169.69;
) ^1 U9 i! C: o167.96 12.4817 178.19;
' _' n! F3 O; x9 n5 _8 B) t188.59 18.3553 201.28;
( o, L2 @6 O8 D" O  S- t4 O205.62 21.8719 222.2;
222.82 27.3894 234.18;
+ `9 u. x4 z4 {  V9 A213.8 32.7452 220.94;
7 j3 V* |/ L; z( B1 e: C9 f207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
191.02 45.3479 192.32;
) R) e! G, }# f9 S; r172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
5 U& D8 y7 h/ D' q];
$ J$ P. q1 K; f# t6 W# d7 e2 Tx=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
9 U8 w: l1 t9 n; C[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)

8.3 模型Ⅲ程序
) m( Z  X% D+ @2 [t1=1999:2009;
x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
: ^9 g/ `3 h) V; f7 e: _$ cplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)
  W, `, T* Q5 k2 N8 `
* ^# r6 t) Y8 c; A: {% K. F% W9 ~t1=1991:2006;
7 Y: |! z. H# Z. b) W" u, yx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
# |" z# e4 h. E  [7 Mplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)

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