高考生源预测

775128646

预测2013年山东省高考生源状况
摘要
        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
# L8 ~% ]( n2 b# L8 e& u        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
3 F& R, O: b( M; M, d        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
1 ~  `" O: ]+ _        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
" o( L2 o9 C* _1 o& b' p7 l, u       
- M- Q- G( D4 u7 e! X       
' c  t: c5 W$ I9 d# m  }) T+ G- X       
$ w: N: \- K- q       
6 x! o7 I4 q$ O' h! b       
  N  g+ g9 D+ M* b       

       
, R7 Y- ?( I! e8 Z       
        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
       
  I1 L+ m( O' n; \1 r4 N6 B       
! r) u5 k" K9 ^8 f* C, O
问题重述
    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
问题分析
2 ?3 v8 C7 }) ^  ?. ?        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
& Q9 o3 s" L0 z, L' I定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
& b# V' Q0 c0 X  v: n：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
：某一年高校招生人数；
1 k( X* w. n6 h4 `8 r: K, ]% E：某一年中学招生人数；
, v2 X' V8 u) H1 o：某一年的中学毕业人数。
1 s& d3 t6 j* a  J$ W( ~/ x模型的建立及求解
8 ]; A4 P, s7 p5.1 模型Ⅰ的建立及求解
; W/ `1 g7 B: J/ @$ k/ c+ c0 h    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
( a- c( [# x7 I5 g( [        （图1）
         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
, j/ I3 h) k7 m+ d        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
7 c: Q% r3 Z* T8 d5 j        （图2）
2 j" I! w1 X8 Y5 v8 g        对该数据进行二次多项式拟合：
9 {$ A" ]8 Y* o' l, k6 e        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
* C5 q+ Y, B$ g6 z. V3 O! e        拟合所得函数为：
        ；
  L  x5 L& n4 J        带入，得到：。
2 \2 k% |9 o6 S/ C  M9 c+ m: l0 H5.2 模型Ⅱ的建立及求解
/ X3 }0 J+ V) x; v1 v( K    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5.2.1 模型Ⅱ的建立
1 |2 S( C; [: X$ g提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
- D' ~2 [. N$ z- c- u; ]* t某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
! }. C1 v: W7 C! k9 f建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
（图5）
模型Ⅱ的求解
! H, y. L1 B5 o: l4 ^2 ^对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
7 }% m" Z! _. |对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
' \7 o. G" d6 K, t' s. R7 Z  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
8 ~2 p% v, d4 E9 U: y: S5.3.1 模型Ⅲ的建立
  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
  v, l4 }5 D9 R& W0 v/ V) {某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
( H2 U3 n+ o5 F0 @   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
2 m% }+ T/ t9 ^# C0 e7 e' _( F对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
6 T+ C3 P3 o+ D5 P        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
$ ~8 v, ~& z9 O  a) h利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
        将，带入得。
' M: ~: m) K. B  X( `$ j- o模型的评价与比较
        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
% f, n1 L  z4 @% Y        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
5 `. p/ W* Z* l( O附录
8.1 模型Ⅰ程序
x=1994:2009;
y=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
0 Y" q9 i2 Z. W' B: w% C) p1 IA=polyfit(x,y,2);
2 H; p/ N0 l5 r, Q# A: r) S* ]z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
% z" s& k5 v# H2 w& i+ O; z) vA*[2013^2 2013 1]'
; ]0 C7 U2 X8 aans =103.0261
4 X# l- |- J7 W8 t$ J( E
! l) C1 m5 S5 b- U* O" h: J8.2 模型Ⅱ程序
) o* x! R6 d* t: h" bt1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
5 B' D  J  r" n  s" qplot(t1,x1,'*')
$ i5 p! v: M! {a=polyfit(t1,x1,2)
0 k0 L7 ~% X& Q2 {" o4 S
x1=[85.31 2.4862 125.17;
0 k4 r1 ?+ G3 b: W0 O5 K! [96.87 3.2745 119.41;
; J' w8 `2 H# Z% G& Q105.22 3.0211 112.21;
1 y  a  j$ @5 o116.95 3.2972 115.88;
120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
& q; {* e8 o1 g# [; [. F  }115.14 3.5023 125.52;
  J( I6 p  L( H; ~115.3 3.6067 125.17;
% ^: h7 z" C6 V/ |, D) c) j) r115.58 5.7878 123.3;
115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
/ y% Y8 @. G) c* h122.97 5.6544 139.14;
1 \# M& u3 C' \141.95 5.6950 154.67;
159.91 6.2994 167.06;
164.88 8.2410 169.69;
167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
3 R9 t# \. R1 {9 t. i7 ^205.62 21.8719 222.2;
222.82 27.3894 234.18;
, m: C( y2 t; A  K6 Q213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
' ^/ s6 R' j5 Q6 L3 N; W, W158.65 50.1082 164.6;
' S4 q) a# r- j+ J5 U];
x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)

6 U) S9 b* J4 U% `! |8 V8.3 模型Ⅲ程序
t1=1999:2009;
' B, Z4 g0 a/ P7 Tx1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
& @% N( V6 I4 d+ S* l. nplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)
2 X& c/ |- R" x' q& _
t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
7 C; C5 u2 Q# B- b6 h- T5 |plot(t1,x1,'*')
5 Z2 A" |  ]0 P0 g5 j% ^# pa=polyfit(t1,x1,2)
, |# r. O$ T; e5 ?6 F

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