高考生源预测

775128646

预测2013年山东省高考生源状况
7 L! `, S( b+ z摘要
7 e- [: z9 r9 H6 x) d1 w        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
5 k& e! J* G1 s# f        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
5 j1 e+ w' F/ I& ~6 Z        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
/ n/ ^0 Z3 h' _5 e        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
       
3 Z1 }. e$ O5 h7 y, c, f       
       
2 M8 i* W& ~, K; _# v       
       

       
8 I1 B5 |. e6 o' J       
* O. i# o5 L$ `# g' S, T& W        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
' Z, _% d9 [5 V8 a; X3 J) S0 B       
       

- Y! W7 M* }" _# v# d" V问题重述
+ k/ s4 y8 z$ n* P, P" {* D4 \    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
问题分析
9 I0 G5 w; j' C7 v+ i/ L: ]! h+ q  G        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
4 ]0 K2 U0 r+ ]9 j( z        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
, {% j4 c  f( U/ h0 P模型的假设
9 J9 s2 n' _3 b* b! l8 N) z. a表二所给数据为普通高中的数据。
( W; W$ S/ w- e0 `高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
定义及符号说明
6 I4 b# j; n  K9 b7 Y$ w8 q：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
0 B. L, N5 V/ N8 v' N8 k：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
9 W7 ~  D5 j; L5 W：某一年高校招生人数；
：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
5.1 模型Ⅰ的建立及求解
    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
5.1.1 模型Ⅰ的建立
        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
2 S! x5 o; b: z' K8 L2 Z7 r        （图1）
         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
6 j/ _0 p3 D, b% B        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
+ {/ ~2 G9 Y' U; ~        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
: k/ Q2 m5 _0 {2 r& c# q5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
        ；
        带入，得到：。
! @% _! y- Y) r6 T7 U5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5.2.1 模型Ⅱ的建立
4 m3 }, L% ]1 [提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
* C5 ~6 c+ Q: P- s. R( l5 p某年份的中学招生人数如下图所示：
( O( I% p) f$ k# d（图4）
5 c6 F- ~( f/ R" t/ Z建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
7 o  a  t& @9 ~* N（图5）
模型Ⅱ的求解
对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
' J9 N( l: e; M将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
: r2 U6 t( S. a4 a  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
& C4 E9 v$ O. D+ L( V% Z& a- {, F" f5.3.1 模型Ⅲ的建立
* L! }6 V- @: c0 Y3 }5 ^7 O. Y% d  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
' O) `6 j8 G: a' {# \: p（图6）
某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
0 m/ x) r/ r) Z6 X5 d3 @对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
8 N. l( Q# R5 G- n3 w" f        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
& c) u1 J( B) K6 j        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
        将，带入得。
8 z' q* V2 T8 g3 l  Q' n  t模型的评价与比较
; m6 X7 p% n  d1 [# N! v        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
4 {0 ]3 x2 k& y& l+ t        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
参考文献
7 r: g" e4 a+ n8 A& O2 G: J1 Z姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
( ~, X' b" {6 F! k吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
3 w4 C3 u* y6 C4 J5 y! Y; R: `& s附录
8.1 模型Ⅰ程序
7 u9 ]& s* m: }  Cx=1994:2009;
y=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
ans =103.0261

" v0 h; X5 C' f8.2 模型Ⅱ程序
% L- U! K9 K4 x6 i7 X6 at1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
/ @2 k, f3 B* }! G& w6 D9 fa=polyfit(t1,x1,2)

x1=[85.31 2.4862 125.17;
96.87 3.2745 119.41;
5 y$ X' w) s2 i9 ^; U; x- s105.22 3.0211 112.21;
* h* k3 A4 Y& }8 p/ f9 }3 h116.95 3.2972 115.88;
120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
- K4 t8 n6 u5 G" E115.14 3.5023 125.52;
115.3 3.6067 125.17;
115.58 5.7878 123.3;
- W6 ^* p2 c; P0 X- G# a115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
7 A% G+ s9 u7 o: K. n122.97 5.6544 139.14;
! j5 }1 S" i5 A- p141.95 5.6950 154.67;
159.91 6.2994 167.06;
164.88 8.2410 169.69;
* f; e+ o' u& X6 @: E  c5 Q# ]/ h167.96 12.4817 178.19;
; ^' L7 G, u) D. P188.59 18.3553 201.28;
5 \: v) Z6 p( ~205.62 21.8719 222.2;
222.82 27.3894 234.18;
2 h" Q% \0 g1 n* b213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
9 x. L+ N  M) M) K; v7 r4 @) x5 s* a191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
# P8 ~$ e' E' f6 l) W+ _! I];
: W4 B" L$ s" _x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
2 M, k/ Q8 H7 D+ \+ O* f) r
8 i0 y% e7 |; X9 T$ N# e# N& t8 \8.3 模型Ⅲ程序
t1=1999:2009;
4 t5 W3 X/ w& z  J1 ox1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)

, X5 n& O. A: b7 z$ Xt1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)
. f+ X6 z- Y8 z2 [. D' E  L

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数学教学对策的思考

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陈健康

我使劲回复，就是为了看一眼论文啊

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