哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
; m2 }+ g- s4 g6 U% z4 L$ ~8 q. H    一、质数表示式
8 ^9 U- [- m( n1 b9 e1、质数表示式的由来
3 \/ S8 ]) B+ c: E4 D. I& n5 g5 \已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
  X- D$ r5 N( H它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
% S, S% A, }9 t/ w已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
) r0 T( E4 r- e* Q) p* }3 R即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
/ H6 s; X+ s! \& A同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
. j% v; g1 S  A+ M/ v由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
! X4 b$ _  Q$ p3 J% s, x 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
& e% h$ W6 o7 e: j$ @  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
' G1 B( h5 F0 F! ~0 I均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
+ g, G! S! y- y; q# X2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
# h0 A. _  R6 f* S  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
; F2 t. Y9 M& D, x. G即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
4 D" v4 N4 h9 ]$ P* G根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
$ @' B" I! f+ T  B/ Z- N" j- Z用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
: @+ E5 |( p9 [其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
( P& q( A7 r* i  z& s这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
" V3 \9 p. ^' Z例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
- t( T' O- b% j' p: [2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
/ l- B, U; K3 I0 u7 @) p2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
/ v, W' o* M4 f* J  s即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
8 c1 h: N/ @! v. M3 D! E) O: b3 F由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
6 j8 T3 C4 E9 e' u6 o4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
2 V/ d$ R* h; v6 _! ]* s: }3 h由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
3 I9 G: w9 F$ `9 ^) l  h二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
2 I% Z0 ?) L9 c若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

: v% Q  M( W9 y: k得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
: T+ ~" `  c- f2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
, ~/ K  d, n- S( `1 Z5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
# j1 J7 l* r9 h9 v例  
# t# O( {) J  @* a6 o2 w# j( U0 @n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
+ c: H* ?! G7 K2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
4 z% Q3 _6 S7 C
' N$ L5 F! [! o1 z( ?2 Y( U  v+ Y7 W* A由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
4 q' p; [3 H+ E% B' HM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
: [9 {: v  {1 y已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
' m) p4 ?, C1 T3 aPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
, z; d4 q- r0 L# I6 I8 h8 LPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
1 K2 _$ b5 i! @5 Z
- z  l: l: d, R  ]# B       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
- v( Q& R7 x! I4 d. o: f设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
. M9 |8 q) g2 o4 M; @/ I7 a: P代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
( k) P0 }1 L" K/ G5 Y或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
5 e9 W8 i$ I" E" u% EPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
' m: K8 E3 n5 [; o4 M或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
* V0 e  |" _% i/ ~/ x& y由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
1 O7 C* @. M8 b& w" ?/ \代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
5 L& N$ ?. N4 X8 m2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
6 H# p8 I" S5 O3 G代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
; s3 o5 `8 I+ O7 M$ e3 }) l5 Y. ]设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
& s4 m/ j$ K* x8 A若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
3 h0 z/ W& |3 P& V, C若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
+ R# q! ], Y5 T即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
) ?" f$ D, @6 {$ B2n’=0,2,4,6……偶数集
) o) D5 w3 Z( _# A9 l) C, Un为奇数  2n=2,6,10,14……
" [) e( h  e2 C  `: k' N2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
, t" w% k, P) w8 Z. p5 d6 R$ J2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
2 u3 G" I4 g# o  [将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
4 Q3 V; G3 `( _: pPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
5 E% Y& X) g% R4 k4 n0 gPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
. p$ f* q3 B4 u5 ?8 b8 I; F或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
# H2 |& L1 a; t9 A! [                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
4 a  t$ C) y2 Y" A5 T' G得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
0 X5 S; O9 ]: u+ y# \4 `/ e4 t     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
2 v& A& j! R& \( O1 z    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
# K; s: Q, F+ f1 @( g' [    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
" ~( W) f6 e5 ]: `8 J    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
. @5 f& j# C8 R      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
7 n' h' X# z* I/ v( ?（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
2 M+ A3 g* _. Z4 r% T* R即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
  d  O7 ^, Y, u. E, s五、质数表示式的证明
8 j# z0 O2 c2 ^7 @) ^9 D; D1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
4 l6 c: j6 Y: N# `6 x$ `2 q5 O( V( d                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
' }5 U$ F8 C4 z% J                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
1 u. J/ N% L6 j' d( u1 j/ t/ S                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
9 l! O: I3 ~5 `% i5 z即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
0 M, I$ A+ Q& i" h  s      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
! }5 X( n# \, N' E9 X      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
3 V- z% _. [, ^2 {2 e  L; m* v            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
6 z6 ~' g' v# N+ ~. }) f又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
+ b9 C, Y6 c" a# U$ ^% K0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
. r& J, c2 ~+ f7 q9 o9 v2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
' u0 y9 Z* Q3 L, a                                           =28+3+64+3=31+67
" k5 l8 o+ ^9 @4 p$ |9 L                                           = 34+3+58+3=37+61
/ T7 R; c: F! p4 v4 M5 [2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
6 }$ }" a3 V; }5 [1 c' q4 Y1 l                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
# b- F5 t) {3 G6 P' R2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
2 r" s: X1 _+ j6 g4 y) C7 K                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
0 @/ F$ v$ ~  B' [即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
8 v: F7 l2 N- f/ J% Z% B2，质数表示式的证明
9 d! N( ?; ?) v(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
8 t+ g/ f* q2 K" K+ W得Pn=2n’+3  
  Y4 B/ ?( j7 V, i      Pn’=2n+6-(2n’+3)
$ l3 L" H: a3 Z3 K" \3 `- W8 y      Pn’=2n-2n’+3
8 r7 T- a! |4 r. A+ \又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
- ]. r3 Y( {$ aPn=2n’+3   ……（1）
) b" u% w8 y2 D6 H  g1 q4 h1 U) kPn’=2n-2n’+3……（2）
/ `# e/ m7 i% H3 [% R4 Q2n=4n’+2n’’’ ……（3）
- l) T/ y) U5 h: h  {; w' N/ L% C' ~上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
+ `; i  D% J2 Z$ x* z  C7 @8 w2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
4 t+ T/ x# d7 i& s: q5 \  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
- Z( J+ u- e+ d! b" Z/ M) P  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
1 S+ A* h. ]  @' K, t, N/ V3 E8 d  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
9 Q( g( D* a3 g4 |7 x/ U  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
9 U; d/ a' C  D  x+ G  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
1 A$ }& X6 p) j3 c（2）方程组
  Y1 R9 n# _4 S3 F1 oPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
7 o' o, M" W1 q0 X/ L' E, w9 W1 k②解方程的步骤
! D& N4 o1 e5 _8 Q# U- q设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
" @! a0 T- s: f' \4 G+ C  a③证明方程组成立
0 h- U( |& I* F+ A! l1 m) q即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
- D& ~4 H  U. H1 E/ g* @已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
+ q1 I5 g/ j  X# c又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
* V" X! a2 j2 q$ e  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
- g! G+ \' i. ]9 d2 z" b4 w2 q; T已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
9 Q3 @' l7 l% J% L" R则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
7 @) m! M+ ]8 B5 M8 C9 U即Pn’=2n’’+3 也成立
; _& @' S2 ?5 y$ ^7 k* ~& f1 p由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
& ^3 |: H4 j1 \5 d3 x% Q& ~换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数
; v4 l. r" I5 ]0 p! f+ a1 U
  S  j. V7 Q2 x. [8 `3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
8 [& r. R! f0 V. }* P. i/ n& y1 P3 Q设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
4 D+ _4 U$ p) I5 b   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
. K6 g8 \8 d0 V9 W      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
) v$ {8 ^$ F3 M+ k5 A, l      8        8        0         4        4       7        7           14
! v$ Z1 E5 E/ `+ O4 M) s      10       4        6         2        8       5        11          16
7 ^/ _. m' G; e8 R) s8 d      12       8        4         4        8       7        11          18
  u) s  \( I. c) D: j5 w' j      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
7 d' k& E" c4 g' `* I% Y) e& S' f     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
/ A' _- \/ ?+ k+ O1 k     122       32      90        16      106       19        109        128
4 O& v3 p4 O, j     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
( W2 f% X8 H1 o; G4 a% L% o六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
: b1 y4 @% ]# l1 l$ ](3)，它们的分布是不规则的
2 A0 S  z1 e5 Q( l1 N% s由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
/ t" H9 h* T, i* H: U9 @3 q% y7 N ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
" T1 }9 \% Q) Y8 v' W% ^: F1 ] ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
& |$ O: V- y. A注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
* D& Q2 f* B  F因为因素与理由意思相近或相似
8 C; H2 m* y7 C- l公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
" a* Y7 p5 s: J公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
' p+ E0 M1 D( `7 @4 \' r这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
! {, z: |2 A) |0 I* k( r1 r+ T, L又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
# G; ^6 i, P. l; H7 h4 R 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
/ J( P. W9 V* ~7 A( @   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
  Q9 e  F' w) e$ p* M2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
2 _; T( f  J. d9 ?3 q' x注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
1 v3 ?& G4 d* y5 M, w, S下面来证明定理一：
' G# g6 D' [5 I0 k6 E已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
! L! J8 O# g+ n0 y) s- H- R* H5 h- I则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
$ ]4 a7 K2 J7 T0 A9 W( W由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
: K% U, R+ q/ @# ^/ u0 @+ t- mM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
0 L# `: z4 G2 K4 u; }由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
3 e* V- X% D* p$ w1 X9 d, i则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
# U( ]- L- f0 V4 Z2 k2 m即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
6 D) s! m2 U4 ^. e6 D例
pn        3        3        5        5        59        61
' S2 n# S* @# w& O" Z7 g' }
Pn’        3        5        5        7        67        67
  Q. [5 v. P7 J; O* [1 a2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
/ o: c  J( G( M8 |7 }& ?- p8 `2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
- [& [* J( Y) P5 A4 Q) d即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
7 C8 v  c) x( fPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
9 |3 M1 B2 y& c5 A2n’        0        2        0        2        8        6
2 R5 @) V) ?$ Sn’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
% G6 j/ g( b! VPn’        3        5        5        7        67        67
4 Q+ O. G5 f) s- S+ h: k
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
" u& A3 J1 `. z. F( b& G若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
5 E3 ]5 f7 ~9 u式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
9 p) `& H6 k4 @1 }2 B3 m1 }2 |                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
# F* [9 w% M. U7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
! X5 y  F9 k% V2 _1 z( n/ J61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
/ ?' _: Q; d6 R8 c* F当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
4 v+ ]# e* j6 T( q1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
- P, r! l( J$ x若n为奇数时  2n’=2n’’=n
# Z7 W" D  n- s$ R4 b" l7 s( a若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
" x$ l' v' B5 `0 v$ D& ]M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
) |! |6 i1 d' ?% R =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
% l& B- C, Z# ], t) n再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
% Z) T8 V# P) W5 k* D2 a3 ]即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
$ Y( `3 w* {- e1 v& M# M笔者   蔡正祥
. V4 l' G  _5 y        2011-8-6
' \4 O/ Q/ ^" n4 r通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
& t* |! b8 q! Y* l5 O) i$ Y1 x邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府


/ G4 a+ ^# p- V: T
+ P! s7 B8 n2 Y% b1 _

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
. ?7 ~/ O! c; T2n’’ 保证2n’+3为奇质数
即Pn=2n’+3
是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
+ Q9 N4 G  @7 J4 [. h8 e7 ]但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
5 y5 W* }* U- D即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
3 W, o+ ^5 r" f9 Y/ M" S2n’’
使2n’+3=Pn
+ P# h/ b) A& K+ @4 ^成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
9 [1 p; M% D' C! O. [3 Q( j, c6 I又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
. z$ l" `5 n5 [& m$ k已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
7 [# Q2 J  r+ Q" `2n=4n’+2n’’’
' a& T& Y' ~1 p& u1 c2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
: G7 }* T! l% @! QPn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
. b- A4 |/ ~: ?4 {& }1 G! ^即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立