哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
6 _, K$ _9 L" k8 f1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
/ Q" F* S, f2 H3 l0 W% T% F将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
+ {3 v, H" Y. }$ ]  ]* m" ~  i将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
6 ~  I* t( B( C5 d即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
" r* \. D2 g: U/ H- v  p5 V同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
2 _+ n2 ?5 Y: x$ ~/ C* ^( d即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
" p; k; B; I* u" L, U3 ^/ k! m（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
+ h, d7 m# _  d. Z  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
3 j& ^2 ]- [2 o% Q7 a8 m用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
& c# e! S+ i4 M+ b6 zPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
3 S$ S" N1 p; j3 A其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
/ m1 [( y6 K, O这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
6 i$ Y# i0 @3 c/ v) m1 @  c5 Q% T例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
, x5 J) o! c! N" y2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
. u5 @. P2 v! L- t" ]2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
$ Z8 w* s4 Q4 Y8 F5 q4 w即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
4 f/ u, `7 F. l: \# V* F在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
6 j3 b# E, e4 l0 P# A2 c) `5 v在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
  a7 `7 }, B* m1 r0 c: m4 j+ k代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
2 G4 y! B" Q( ~8 P% e. `  p- n即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
" ~4 A7 _4 N; V  P9 n! p2 ]
: f6 D+ }: B1 O4 Y得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
6 ?  ^% ?  s. b若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
! |$ y7 _+ I( R! a( @1 `) O. R1 f在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
1 b* U$ B5 V. T8 B" T: K8 L即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
2 h9 d( l2 e* _; [" G3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
, y4 B. a/ Q1 [7 z4 X设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
% {: Y+ W; w( Y1 V; d. l例  
1 V; U" Z. F) p5 Mn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
) I1 A! ?) p# _Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
- i  u$ S7 j# e/ t4 Q: GPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

4 |, b( C! H, p, y8 j由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
1 j0 }% ]! L. r, ~3 C5 y则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
5 s  ~  b' T& T4 v2 y7 K(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
7 a/ i: @0 ?- i6 t0 eM=11111111111111111+3=11111111111111114
$ J) N7 T7 v- s" r- a根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
- l% M# \$ \2 }! T2 t然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
/ Q+ H5 X, C" C0 H; G6 ]已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
( T/ V- m+ P7 X4 V$ i5 bPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
- u- j' t# L, Q, C8 h8 n1 `设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
  W( _; r9 `6 K若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
9 H) h& u+ o, p) w1 \' s若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
; l4 x2 d2 M" [4 }1 E9 a代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
7 V7 n( ~6 K" G0 j（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
0 U* B5 E* x" }) j) ]( g1 {Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
  w" p1 Q$ V3 u代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
$ G9 G2 [( F2 }4 c或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
0 |- @1 n, D. e4 t- a6 ~由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
3 K3 \5 P9 a$ p2 d) ^6 Z当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
9 L% X) R% @4 D/ o% ^设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
( \$ S, G3 M8 Y8 C+ L+ g代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
& `% R# K7 z9 t5 @& d0 V或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
6 r* X. z  ?# A/ K: b+ C0 ^" [/ E即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
7 V: s: o7 |2 Z6 [7 F8 d: D在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
; c# s1 _7 O8 p" T* S代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
& D6 E0 u* C2 m& ^若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
8 j/ d4 i) u! h* n' K若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
$ w. Y7 E7 D1 q0 \同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2 E" o) n0 K) r5 i2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
" U9 C2 o, D' f1 c$ Sn为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
/ P7 \/ X8 Z* m将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
( o4 ]9 T) Y  b' ?Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
5 u- S& B3 }% t) ?! W（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
3 A1 I4 \* p+ B+ C& L, t5 I又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
$ r2 O' b. M6 EPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
/ Z7 i2 U# C4 }" f( ~8 W或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
" u) D: e9 m6 C* @（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
4 [5 R- S* J# c% d     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
4 O- E/ b* o. y% d* b     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
1 i0 n* }8 P2 p) M  X' o    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
/ P6 l  ?* w! x5 C: V' I+ {! f( kPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
. u% G, K8 j2 z8 d& l; o 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
: B8 \8 _! W1 [& m" X: l存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
! E+ Y0 e, b; @8 P由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
( S6 l* s1 s* F) M3 U1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
8 [# C% R' w. P% l2 A. _& g" W3 k在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
9 U  n1 U2 u- u% s: y                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
7 M$ \- W+ G+ T/ @& C3 y* e  _2 e                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
# E1 ]! T: K: I6 u1 q                                             =0+3+16+3=3+19
: ^6 D3 d' q' l; q- t* ^, r                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
( _# O- C: b7 [即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
2 y9 ]. N6 i# f9 N这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
, I" K" \# D9 C0 K  [Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
; u; R1 A, H) X/ W' K# @      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
8 ~( F. ^. F  p$ x            =4+3+50+3=7+53
- Y5 i3 s4 m. Z  b1 N又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
1 S. B- m) D# \7 p! B0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
# Q1 X+ c. W5 ]; h6 W                                           = 34+3+58+3=37+61
. n- p" b: }. M! _2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
* d' [0 v% z; U0 T                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
! Z/ z5 [% p% |5 @" [设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
" R, t. j5 f! O4 X* h$ B      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
0 v. R. c( v$ S又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
3 N* m+ [* }; R6 C2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
8 y# J" Z8 R5 @) HPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
4 t3 g$ X1 a+ _: Q9 A0 |. @7 y0 \2n=4n’+2n’’’ ……（3）
1 o, R  T, j2 k2 e; J上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
, Q* G8 U: K; N* J* `$ d7 `2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
, B# Y9 p9 k7 }) Y. k* ^5 @2 ]5 B' ]  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
, z  f' F& ^6 d# |2 G  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
" g2 p$ L0 T: v1 N# R/ t4 B; g  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
" f9 i* S& ?2 c( ~  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
" `5 F1 G8 a+ q+ w! N3 _8 [（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
$ L8 v. S; S0 L" m: h9 |Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
5 r2 N3 t( q2 `8 u) I& l1 m①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
' W3 S7 C! x- ~  U# P2 C②解方程的步骤
6 _6 H9 m4 d9 c. F! }! N% ^" s设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
9 t; b; l( ^5 _; [确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
4 ~+ I2 q7 H% V* e1 {! R8 O" c又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
. g# x$ i+ v8 A) K5 j5 t   
  L. _: |+ \2 p8 ]- t+ p9 `2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
* m, O( Z+ b2 F1 _: CPn=2n’+3
5 ]3 L: n* w& V/ YPn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
7 F0 y6 F: y5 ^2 |1 H即Pn=2n’+3成立
% T2 J& g5 ?* j( Z: E3 ?2 q. aPn’=2n’+3+2n’’’
0 Y, F, M8 S! G. t3 x  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
( ^+ U( k) m" U9 W0 m" t% [已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
3 `2 ~+ M$ u/ ?) T9 N( g( Z5 ~则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
  K2 _/ X: L: _1 o9 j由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
/ w8 N2 |- A, x+ h即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
; C, K% W0 e* K" j2 ]6 [; P换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

' Q' F  s  s8 L2 E3 用数字来检验质数表示式的成立
4 i7 ?) R) a, z9 V已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
# X6 }  r, H, q. v; }+ R     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
* ?+ T$ Z- r: C4 o6 g9 p, N9 M3 B' c     18        16      2         8       10        11        13         24
# ~' O6 x7 f8 V7 U     20        20      0         10      10        13        13         26
4 _# ~, e3 X8 m1 u' u     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
2 f  q7 Z+ A  \4 `     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
: O; a% n; b4 G5 H     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
2 G, l4 N( _3 D. Z0 o六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
" A* Y8 I+ C9 k4 n3 z% Z$ m5 B1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
! ^$ B8 b; o- n; O  L4 ^(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
! S+ f! j6 }: A8 X(3)，它们的分布是不规则的
) l" j" L# C0 X  u% c由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
8 W1 X: Y. K8 U% z0 j4 C ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
# A8 ?& A, D# D! g$ n+ J  x! r/ S ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
# j7 a- a1 T- ?7 u: G0 _7 a ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
7 d+ Y( }) ^) i9 z4 T0 E& l3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
# W1 C% T' X% u' h4 f鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
1 N5 \5 ~6 e& r6 W' d$ `. s注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
9 F/ g( }, e! a4 A公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
' \' }# X, h1 A7 N公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
0 ^, ?9 a" H9 ]9 m. j这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
! W7 S, O7 O' X7 q) A 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
! n6 j5 |6 F/ c6 q2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
3 a5 l7 z# ?- s% v% N3 Z  ?0 x注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
& R# z% s0 _% Q6 ?9 M4 t得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
' F2 @. f4 _, F0 h" E- Opn        3        3        5        5        59        61
1 |& ~; m' m3 w
Pn’        3        5        5        7        67        67
0 S+ V5 N- |+ d. f1 u2n’        0        2        0        2        8        6
; h  B! j' T& R/ mn’         0        1        0        1        4        3
! \2 o" Q/ J6 z$ v# L* P. tM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
* I% _( w2 K" ]* r' ~+ m, x由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
& i7 W, F$ n' j2 D+ Z6 F即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
7 j, q" z. a( a- O) a0 {Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
+ h8 \& p4 S- a, b) R# OM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
, j  n% ^$ O% t( x& u2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
+ ^& L* m8 B! l* tPn        3        3        5        5        59        61
  C6 W* p8 m0 l6 _Pn’        3        5        5        7        67        67
# A( s- G6 P9 N' s, n" E
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
. M+ m- L% W& u% g, E( h: g若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
  F9 v$ L& H9 w/ u例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
  G5 ?/ T7 ^; ?; g, f                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
" I% d9 T$ M1 ^# _' W5+7=3+2+5+2=4+8
3 v  ]) o: J' R2 h7 m+ c7+7=5+2+5+2=4+10
6 k! i2 m! M4 k! v9 c' x1 F: b4 ^59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
5 ~# I, u8 F4 ~* ^, k2 S在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
' w" N* O3 A6 b当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
% l: h) N$ [% E/ X* `1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
. A* g+ l2 B; y+ x9 C& G( O* H! [M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
$ l4 B7 r. y5 G( O! j即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
6 t. `0 V1 _9 N- |# Y2 M& r9 a/ {笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
7 y- V# ~6 K+ _( z# \籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府



/ i) O, e: [2 M9 \! K

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
; P7 e) J6 e' I: W即Pn=2n’+3
' e( q0 X; q3 a/ q是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
  m* V+ q% X3 g6 O, r, E即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
) Q5 C! |# I1 \, e! f: Y9 ]即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
7 f$ f4 _3 b; h: i2n’’
使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
7 Y7 E) Q. J& Y, k" e$ ]/ w又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
7 f" j6 E) [, v# x) B. Q5 l已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
/ k: @0 R1 K  [由上证得Pn=2n’+3
Pn’=2n’’+3
8 @5 m) E- d- c" W又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立