哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
! u( }- u; P& c已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
, ^$ B) v0 [! s4 b将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
9 R, i8 U7 j; E% ^! x% F以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
3 L+ ?4 g- {' f$ b( c; M% s" h! e$ W则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
. Y% D! z) d  d6 ^, o) o将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
; a. H' N7 p: s$ X+ j同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
+ p5 h6 r$ n3 Z5 a0 L' z8 c由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  X5 W) a$ z6 k  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
- _7 o2 m5 B; a6 X均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
# ]# z. ^" n7 e2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
+ c/ X; x) k/ U' J$ `9 T  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
- _; }9 s# ?- `" {. K" ^设2n"=0、2、4、6、8……∞。
* Q/ F/ E- L; I8 d4 S$ |即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
" J, n% m# y5 |( X& w/ v根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
, P2 q  T# K' ]; T这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
0 y5 `$ T: P1 s9 C+ K+ u" v即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
# j5 f% b8 |% O  u5 B1 b2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
  L1 |" X" O' J直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
- S0 G7 Z' |! W1 ?在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
' R( x# r  u( _( D: [  `8 w/ i代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
5 p3 P7 d, \- f1 {又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
, s$ F, m1 _$ I5 D+ q: Q或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
5 P, W% o5 c2 K. P1 Y! k# [" v8 s二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
# q$ j  y+ Z" X8 x  Z! m& R( I  r
' \+ j7 j- l) Z3 f得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
+ j5 F" u% f5 s6 ^同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
1 q' [9 @, F, @# K（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
% H% J3 A" M" |$ i* U6 Z! T; X2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
; Z$ d% \4 q6 X1 I& G" o3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
' s* s& o4 ~' Z) x: q! j( x5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
" I; W; W; f- |' ]- g) R2 i3 dn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
* v3 t6 X% z8 T5 p2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
. I4 d# B* F" VM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
8 k& `/ U1 B4 c5 E+ S2 [: tPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
' T( s  m/ J* kPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

1 K9 K$ z0 X1 ?- ~# y( J由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
3 p* N) L: f" B9 ~$ f1 t1 o. g* V因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
" k* n1 g( o7 @5 \7 P则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
! N  T$ I) q9 _' K& V% `, H+ ](Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
4 q1 D+ _, ~( {! Z4 p: D8 GM=11111111111111111+3=11111111111111114
. p  b, G5 l/ \6 Q. B$ X, }根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
2 q% m+ I/ t) B# O已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
1 E1 t. i# S! d. ~; X5 [5 ]Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
6 f( O& B, v: E- P& S0 J# e9 iPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
; ~' F7 y$ Y$ g* J0 n
3 E( _+ N9 V3 H, W7 {( N       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
) z2 o7 U, Y) {6 h$ s1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
4 }( @- o5 F' W" m设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
# L3 ^. i' G. g" n& z+ f4 C若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
; K+ h# M& b; z( X* [6 uPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
9 X% k; }$ s( L6 B9 [由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
- O- i; I6 G# C( X当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
" z, q9 o* A& a2 K6 S1 z5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
; C* s" A$ C- g0 @代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
, Q) X5 r) y/ j1 M, W或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
, N+ \9 t# B7 _4 A即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
6 T% e, C/ E  F- t4 C4 U代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
* Z5 y7 S- X$ H% _3 Y1 F设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
2 K! W/ }( N. |2 }; V若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
$ n' w* a+ ]; s7 T即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
) e3 H' Y0 B$ z6 V4 ~$ [; ?2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
5 Y( ?% T6 E/ \% G+ t6 Z% G8 X2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
4 ?  Y! t1 ~# [# w8 R将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
/ M) Y% {0 P1 Z; }, GPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
4 ?+ B3 W3 J* `# E: r1 i, ]（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
, M; R8 Z  q0 w! A% I" YPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
0 [, H" v6 `5 k9 [! C3 JPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
$ p4 l( e, D2 j2 e& S或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
+ Z! T! S4 F/ E; v. |（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
0 l* _- D6 b- |) \; [% o     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
2 ^# I. e$ b, g2 L( v     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
" b: v( Q/ }' i# L/ N% L     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
& [* Q" H" i' ^3 q    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
2 q# ~) B) u1 f+ i7 D    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
4 d! s( U" p/ ?  a8 Q+ M  u      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
; L0 H& Z' d, |* B0 x（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
, H: t! r- ], D* z- `# J( M& { 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
5 n7 P4 ?* K6 G# t7 y即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
8 ~7 D" m9 X7 g& n: Y由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
4 Q: J. Q7 ]0 x7 {6 F' t) L3 P6 U在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
5 y1 y' }! W$ l' A                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
' |7 }5 T0 ~. t0 E- E9 a  S; B                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
* O1 p- q  h1 n' H- E7 B                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
" k) _+ W* q. ]; h3 x7 U1 ZPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
7 N  s; H1 p! V1 t# [( A      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
9 E" k. e6 a$ ^3 R0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
1 p$ m' P7 R5 ~2 ]; H% E6 d. K2 O2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
7 D/ U5 ^; Y* Q# d, c                                           =28+3+64+3=31+67
0 P2 v- ?( e8 g4 f0 X2 {  Q  O2 G                                           = 34+3+58+3=37+61
; G2 I: ?* `; O; _2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
7 z6 p" C( j9 M+ F3 w4 }                                   =58+3+64+3=61+67
9 v4 k9 s" x6 b5 z9 Y' i. X综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
! H3 p, z0 A$ |7 X- X4 Y                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
, p3 v* ?* E6 Q: D/ {2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
8 Y; y9 g5 P# j! q; [设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
! ?$ `# t# W; _+ u* U/ p7 H      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
" `! r2 d, r5 _Pn’=2n-2n’+3……（2）
, B$ X7 M3 ~8 I/ S( W3 a2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
& L. _3 `) g) d2 g2 i' ~" }( T2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
. R$ t9 _+ p  y9 t( @) G4 A  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
5 D5 ?5 W3 `9 `4 r  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
8 q6 z4 [7 ?9 {  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
, o) [+ A2 N/ A& B5 n3 Q（2）方程组
0 x! w* r( S: E/ i: l, t% iPn=2n’+3   ……（1）
  C. C# }( {. n& H. l7 u2 T: wPn’=2n-2n’+3……（2）
% o) ^$ R( G6 m/ T' y/ E2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
, s8 K! B" N1 Q设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
9 K: Z& D  Z: w% _确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
3 X' O# f( n) K即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
+ h; G& Z5 w  ^, gPn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
) o1 l  ?+ L6 X( l3 b即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
7 ]0 b2 B0 [! c3 H0 }4 b  =Pn+0，2，4，6……
: `  O7 |, m5 r) T1 h已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
. H* d- U9 `( c1 k7 ?, g9 q则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
! O! `3 k$ u, t! Z4 m0 H即Pn’=2n’’+3 也成立
5 j0 g* m; T2 C* R5 T3 T- r: w由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
2 j& z+ v+ L& S- s2 N, t由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

3 用数字来检验质数表示式的成立
% _) ~* \. u* Z; G0 M" q" D已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
# p* f, N: ^: w5 ]4 q' Z- u设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
% j( E) z, c- q7 e      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
& M6 ]( i+ a* w2 G8 Y      14       8        6         4        10      7        13          20
3 J9 L# B: n; ]  p* ^2 t* b  T      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
  R' ^0 C( ~4 Q     20        20      0         10      10        13        13         26
/ t, n+ C1 d1 T. L2 ^* V     92        32      60        16      76        19        79         98
' b& z% f; a8 d  n/ g) ?     92        56      36        28      64        31        67         98
3 P6 u; Z4 ^% f/ U* H     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
; s+ K# B' f  J+ T; Z1 i     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
* R+ S' i9 O0 U; `1 w0 J0 V 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
7 F8 s. x! y$ X9 {. }8 m# S* H& j6 V2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
) ~2 x- }2 p9 |6 \5 u即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
5 `! v9 g/ K: q' X7 i, ~" E ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
. [$ D! A+ q% J8 Z. e! e3 m③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
7 y$ u) k9 F* I0 c  r鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
5 y  N0 @* x$ L+ [& R0 p) \公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
5 C8 Z; `6 t) Y+ E, h( b公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
- r: h6 s& G6 O& n( X3 c) z1 G2 P如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
5 C, d' m7 N$ d. Z/ C0 K  Q 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
7 D" O1 A( }+ f% M3 a- r   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
3 n5 P: u$ ~" T3 W( H) V) m' d  k, p- b2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
4 y4 T' s" x7 I4 V9 s0 M+ F下面来证明定理一：
* C& H$ @% n% Y/ z" k4 c已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
- f! t* |( M( M# F# ]/ t% K, EPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
6 n/ H. X, F6 V3 B由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
; @* b! T3 A0 K$ Q! y: g& q4 GM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
6 G. l+ k3 l: A& W( @由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
0 G! v7 t9 q% I2 m  _( u得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
* v- D! [) I6 Y$ }2 |0 f' F例
pn        3        3        5        5        59        61
* S3 Z* \- t. r, B; W
1 X" ]9 x5 U. z5 o) x) xPn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
; D" P/ [6 \* A* b6 Qn’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
& o: ~4 W; p. l2 p* `3 A  h2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
5 r- r  e% _, c  {1 B( hPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
. F' ~  Y( d9 R% n2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
; ?: j( T+ V, u/ G9 _/ QPn        3        3        5        5        59        61
( O0 B  p: e6 O: {Pn’        3        5        5        7        67        67

- W" L" C2 s. G) e1 F( g注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
. U+ l, \: N2 f式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
  z: ]) B1 T" ^6 x6 M+ b7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
) F- ]" y7 ?" R! E在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
- _/ k2 e+ u2 z0 G+ Y1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
" y. T2 d9 r7 n7 h! R- D. D再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
# [8 w: y, l3 d) l3 n即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
& e  q$ f; d2 Z5 f5 {' x9 \! [# F籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
! x0 y$ a; V3 R: A5 P) c. n

" i( j( c/ e7 Z  T4 T
& |4 z$ o- f- `5 ^5 q* P

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
6 x3 n  A* o. B+ }# Q3 u) y2n’’ 保证2n’+3为奇质数
即Pn=2n’+3
是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
3 Q3 F( w( n4 x* {+ G6 \, ~% y# F即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
; c- e* ]! [# j3 r/ q  n即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
# [* h6 q* k- O0 p5 j2n’’
" q! Y# w) a# D2 a5 k8 w使2n’+3=Pn
成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
+ g5 ]& X  g) ~" ]3 @2 L( C又因为Pn’=Pn+2n’’’
4 h- x6 y8 i% ^. }" G即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
已知Pn=2n’+3
. e8 g2 z  o& l% `$ ~( h% W! ]Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
5 P2 h# @* L/ J1 n4 [2 w/ Z* p得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
6 v! O# ~0 L3 n- Z' b3 N3 e2n=4n’+2n’’’
2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
5 T$ R" ^4 k1 l由上证得Pn=2n’+3
/ K1 g, ~. n$ d& E# |Pn’=2n’’+3
2 u7 q7 G0 P: R# a又已知2n=2n’+2n’’
6 x$ z5 W- Q4 O即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立
: k6 X; D; W# w& S! e5 }; h" E