求证一个几何题目

whlysu

已知：如图
2 U/ m" {9 ~4 F# O$ L      1）点A、B、C、E是⊙M上的任意点
! g% n/ G7 o9 i- }  e0 \3 M1 _+ Z      2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径
      3）⊙N是过点F、G、I的圆
      4）点D是⌒BE上的点，点H是线段AD与⊙N的交点
求证：HD=⊙M半径
. N" W- a! N3 g
6 B) \0 W4 ]( l: p* [  s5 @
. R) {% i; G+ q' `$ x

whlysu

有木有高手啊？证明不相等也行啊！！
自己顶

zhenglingming

zhenglingming

四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

whlysu

2 o$ I* d0 U; ?5 n6 c; D/ [9 D% `1 k

zhenglingming 发表于 2011-11-26 12:21
四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

! k  n  q  ]# q1 a$ f' w0 {' P
如果HD=⊙M半径成立的话四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei的确可看做同一个四边行的不同角度，但HD=⊙M半径
现在不能当已知条件用啊，怎么来证明话四边行nmbf和nmdh就是四边对应相等呢？获知⌒BC对应的圆心角等于⌒FG对应的圆心角？
: M2 C$ S/ b  ^+ ^求证明过程！！！

whlysu

怎么没人啊？高手们都来看看啊，第一个次发帖就没人理啊！！！！

yinbaoli

希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四点共圆
4 N  M( j/ w, |* e以AM为x轴，M为坐标原点建立坐标系，这里不妨设⊙M半径为1，所以A（-1,0），
% u. [6 R; H* x/ v) `: r( c% @设B（cosx1，sinx1）,C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3<x1,x2,x3<2pi/3
D坐标设为（cosx4,sinx4），x1<x4<x3
根据|BF|=|CG|=|EI|=1，可以求得F、G、I的坐标分别为
（cosx1-cos(x1/2),sinx1-sin(x1/2)）、（cosx2-cos(x2/2),sinx2-sin(x2/2)）、（cosx3-cos(x3/2),sinx3-sin(x3/2)）
同理，H‘的坐标为（cosx4-cos(x4/2),sinx4-sin(x4/2)）
由F、G、I三点确定的圆的方程为
( I; a" s9 |9 `2 F  Z6 {6 X" f|x^2+y^2                x                              y                          1       |
# [% A8 p# ^9 ?" I8 n0 `; y|2-2cos(x1/2)   cosx1-cos(x1/2)      sinx1-sin(x1/2)               1      |
1 P1 B& Z4 E+ P' F/ q" U  ^|2-2cos(x2/2)   cosx2-cos(x2/2)      sinx2-sin(x2/2)               1      |=0
; K6 [" L* M1 _% Q- n# O|2-2cos(x3/2)   cosx3-cos(x3/2)      sinx3-sin(x3/2)               1      |

把H’点代入上述行列式并证明其值为零即可。
证明这个4阶行列式为零，我没有想到好的办法，只是找了几个值带进去用matlab验算了一下，应该是对的，也就是H‘和H应该是重合的。希望这对你有所帮助。。。

whlysu

yinbaoli 发表于 2011-11-30 13:38
希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四 ...

你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
不过给了我点思路。。。。
% |% e% e6 h# p' R9 e9 ^我试试以A点建立极坐标系，看能不能求解

yinbaoli

whlysu 发表于 2011-11-30 16:25
( c) z% E5 y. w你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
不过给了我点思路。。。。
) I" ^+ u: E5 ~; s" G9 H我试试以A点建立极坐 ...

嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单的方法。另外，一定要限定D在BE之间吗？我想应该有更大的范围吧

whlysu

yinbaoli 发表于 2011-11-30 22:39
嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单 ...

3 ^8 G, O  v: Z$ E9 P/ ]如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。