典型同态映射的实例

lilianjie

5 _- }# A5 Z, i6 N

6 L" F9 x4 Q  m0 m6 {' X三．典型同态映射的实例



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例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
5 c$ j" o5 H" [???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
8 `) ?7 a, P: N??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
' @7 }  A' @' y/ P9 z???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
6 l( x, \: W! w% h4 J, S% n' [5 K4 S0 I      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
5 r7 }$ l" k" h5 `* N$ s
, J2 _: m/ Z: c( D??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
3 K' ?  [( ?+ u1 a& j! t7 N
: p( q  ~; |& d! C! _" ] 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
& {. d6 c& G, B0 p5 J7 Z???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1

! |9 C& _* _+ {; u1 K4 V4 e8 |( L: d! C' t

+ [! N; G$ O: I" u! f 例11.23 设G为群,a∈G。令
- A  i  x. S. Z) ?6 N; ^/ G. W" `????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。

? 证 x,y∈G有
* W- {' z! v7 J- N1 K6 T$ K??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

0 L. s9 C- c1 F- X. a" z所以是G的自同态。
* [9 t; B3 H$ i
   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
. G% v2 H% B  |# U: p  M??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?

   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

   综合上述,是G的自同构。
* p: J2 M7 N( S( p3 ]3 a/ K
??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

" p9 e2 m% g+ ?' B3 k8 x??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
3 ~/ `7 X( S) Q???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
6 w' L! x8 z5 b) [0 S???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
2 z) _$ x, [, S: \在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

( \: k9 `$ Q3 i7 }' F--------------------------

% l- @4 S. Q5 m. Z* e) ] 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
! O7 C. t$ @3 [( U' q( H6 A
? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
& D, j5 o- n, g( P" s
??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

' f! F! {" T# m0 S??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
  v- y. U& V  B& ~, p0 i
4 j0 m, S/ J/ x- R" A1 `??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

2 l1 K8 L9 {2 V??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
6 x- x' k- m  O2 n. ~- Q
# c$ o. ~, J) A+ K+ n+ B9 g??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
( E, p6 ~! w$ e
??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

根据同态定义,不难验证x,y∈G都有
: E- W9 W# J$ V- @( d
???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。