典型同态映射的实例

lilianjie

% w* ]' G: Y4 P& w% u% W

三．典型同态映射的实例
" }1 I, r- Q- d/ v; [& @% C( o


--------------------------------------------------------------------------------

, O; V7 m) l7 o; n5 ` 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
) V! u' Y) G- W' `5 _/ V???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
# b, g' G& V: X. u????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
0 B  G8 X, s' ?( W7 L1 X, ????????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
0 O! ]5 Y  C0 \( ^1 n7 }0 g5 |
?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
6 _: V* S; k  V/ }7 q$ t则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
! Y9 _3 _6 L6 i5 B?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
+ Y" @+ F" N  \. C% E
  E7 l' V3 |0 b- y??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
! v2 x1 f8 N( E
例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
/ `1 v. q5 e# I: n* C# ]1 D2 J/ W' H???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
1 I; w4 o' y9 [" T; C% O, d: d
/ k3 h; G6 \/ j

例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。
; Q( z$ t( R6 Q. i5 E5 |/ D
? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

! Y* ?) C( R" o4 a3 |: C- Q9 Z所以是G的自同态。

9 [& E2 U) _/ J+ J2 W, F   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?

4 y0 ~% x- m" h6 @" \   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

6 L# h+ x* Y6 {; d- w2 M& u   综合上述,是G的自同构。
) \% J" C' y% g# \7 G7 f/ m
??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

- a# c6 M4 D* C6 ]& O6 z/ p??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
3 h. T* a3 `+ g& B( p) G???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
8 ?5 b; O4 M3 t/ m/ D3 x, {在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

3 z) r, j: O# [' S--------------------------
: \% ~" c8 G; z3 D+ p
例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
9 Y! y) _5 J- s/ `  a" t
7 p9 R( G" ^' i; ^) Q9 M' R??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
# y* N4 S% M1 |; [) Z5 I
% o$ s. W  U% e, f??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a
7 v8 J( ]3 b! L8 h' M
??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

% `) V! F& c9 K??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

; _0 B, X, U+ d0 D& o7 f) g9 S根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

' Y$ k  {  o, y; o7 A% x成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。