典型同态映射的实例

lilianjie

# b; b+ M& T8 S8 N# ?1 f

三．典型同态映射的实例
/ v5 u  r& C3 S/ Z" j8 \0 f$ z
( e7 ]3 }( H! i5 e" U# T
$ ^; C9 S+ f2 ]' q% u: \/ \7 s
$ H) O/ L+ o7 q+ @--------------------------------------------------------------------------------
; {- A' ^, j# c4 A  }
- _# U6 g2 M, Q4 d. _( _ 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
& H7 K& T( y6 w$ }  g??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
3 ~; u6 E# a: M& a3 C( H" H???????????：R→R*,(x)= ex
6 J* g/ G. d/ k9 o则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
) Y3 m/ f" m+ F      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
/ \! U  M$ ~, {: @) {; `则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
6 h- \+ S7 B* g: M. Q' l
??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
# G* D1 j9 R6 e# O7 ^. f
" T! K0 G6 p5 c& ^9 q  |; N 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
3 P  B: [  H7 y! A+ k


; L( m8 c+ t0 Y3 w) Q! n 例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
+ [* `7 A# ]/ C6 Z" }则是G的自同构,称为G的内自同构。

) ~8 v; H, H2 L. g) B$ G6 @( j? 证 x,y∈G有
# X  |. d" W0 P3 b$ p& H. l) ~8 U7 T??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
* e# h7 e4 d! {) E/ ]6 A
所以是G的自同态。

   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
! Q( r& u1 ]) H" \3 {??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
0 g2 P* Z" `$ u& y4 N所以是满射的。?
3 o+ |" A% D8 Q
( _# F  M0 B) W   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
! y# L# Z0 ]; L' k! F
   综合上述,是G的自同构。
+ N# s7 d+ F- G' S3 h0 A' [1 ]
??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
2 |) s8 q% V  G, ~, G  e/ J' D8 m% P??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
, V3 n8 o4 r/ ?  Q* o) `这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。
" r# j( c5 b9 ^& V! p
??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
& k' X6 m" p1 V5 K) M" U1 o???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
$ C; N0 p% T# w4 o???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
; \$ q- H8 y6 y  Z: f* Z8 H/ \1 H8 x???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
  M: w8 ?% m8 }( V5 q) _+ o
--------------------------
7 e' Z3 V! ?8 B7 k/ f
+ Q8 d4 |2 {/ ^8 x) Q, H 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
5 g- l" o3 j  I$ r
? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
2 h% E  y/ e. G7 l
! ~4 g, y! S: G, z, h??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
. ^) j* Q8 a" M, c5 R/ ]
??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

根据同态定义,不难验证x,y∈G都有
9 o9 t, b  b& T. }
  N: Z6 b; Y1 ]3 A1 D' M" C???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。