尺规三点分60°角的代数模型(pdf)

数学1+1

                                        尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
7 O, v! I  V8 [0 F/ b0 ]                                                      苏小光
4 T9 g  R4 d1 R% z6 Y) y8 u             一  背景资料
  尺规能否三等分任意角，是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角，是因为
         cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
       当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时，
5 P* v4 m( o! n8 D. [' q6 V         8x^{3}-6x-1=0,
这个方程没有有理根，认定尺规不能三等分60°角，从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]
要否证尺规不能三等分任意角，就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
        \gamma =20°,
9 P+ L( H8 p" P则尺规能三等分60°角.
6 X0 k( |$ Z1 V' q二  代数模型
% W7 G( T+ a! Y" r' p: j3 @% V      tan\theta =\frac{sin\beta }\left (  \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
  tan\theta = 0.1763265306
3 x: `3 q6 m4 |/ D. r所以  \theta=10°, 显然  2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。
. V; e/ w8 w6 }8 y' x三 代数模型的几何解释(或作图)
作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°，得到Rt△ABC，令\beta =∠BAC, 则
sin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},
6 g, |) K) M/ V: k4 |Rt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体，其底面圆周长
1 e3 o; r* L# i5 m' w- X. B  l=2n\pi,
6 x. q/ _" s. H圆锥体的侧面展开图为扇形，圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等，扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则
l=\frac{aR\pi }{180},
! e+ d1 b- f- V: V5 b, u( h即
    2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
所以，a =60°.
6 @& h2 d2 n# a在Rt△ABC中，
cos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
所以
. F, j# z. J$ `2 g- p/ F% `AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
  }, O) g+ B' c: f4 f: P4 O, [AD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ).
以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
4 V/ ]$ w5 i- d  `  AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
1 _8 l, s) C' |以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
9 O; Y4 Z' d/ B$ E1 T( c. J2 HAF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}
以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
令∠FAG=\theta,则
+ v- U9 y% ]: B. X% \( ntan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}}.
注[1]: 初等几何研究，朱德祥编，高等教育出版社，1985年2月，177-179.

2 F8 v  {4 }4 W2 U% Q5 g5 I

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