请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
- l) O5 N7 Y$ r# Z8 n' a- ~5 d为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
( }3 r; H4 O! ]- F    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
, r6 K4 N2 t' h4 P/ w, L! Y的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
/ \6 M' F8 t# w& O总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
6 c  O/ a) ?3 `7 N! o$ _) F4 T于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
[证毕]

    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
! f4 d% h, [& q: Z      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
头“考虑K=7”有问题了。
    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
. A% K( N0 N  o7 p( u      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
- W7 G! B" R" X. A& ~/ F; D& `    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
. ?2 C3 Q& p; J* m0 D
    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
% M# c3 j) F7 c0 k7 T1 `& Y    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
6 m- e% m- p5 Y+ Y2 d9 o    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
" _& u& t* C  Y的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
) b; h% r( G0 g6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
* Q7 e( a2 @9 G/ u, k5 Q必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
; J- Z" H, D! o7 f1 p; B     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
9 `% x, v  |4 F沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
) M( l; v3 }+ p% n# |: b# W$ m                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
6 H2 p- _; X: M0 E5 ^) ?
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4 ]& N* C$ e  x4 \) m0 h: _, S

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~