请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
+ U/ [( e. N- a7 u3 G9 [. w                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
* r" m* i( L8 _的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
0 y5 z4 `% b! n. {9 S    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
- m7 j0 D5 [2 f- {7 G8 P于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
2 \; _. y2 i, z- Z: W* T不可避免集。
1 ~# m7 F! F( r' g' |& u[证毕]
- o" y3 A) `5 N7 D9 n% [# \
    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
+ y8 s; N2 u, G# Q3 o! ~5 b      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
: c5 n, L$ {  a  b7 Z头“考虑K=7”有问题了。
    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
      如果确定是k/6,那么（1）式为
% n# K+ q4 G7 b, s   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
4 D+ H! i* i3 K+ x5 P' R) T    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
4 L( [) U* L& H( ~( ~  N
, ^" u% P# \- W    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
/ Q: K6 O2 J7 z- x! z* p8 d     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
0 g9 g( ]0 _, p    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
6 o) q# G+ b. `/ g+ p9 j, ]7 G因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
* r9 }4 F0 v) G    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
7 F9 m8 a3 c+ }: u   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
) U- L# O; L% Y必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
3 g! A- v5 o% p$ U     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
! Y( Y! U$ m3 @3 ?/ C沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]

0 X/ U* F) i; S7 O+ T

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~