请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
+ J' ]; {/ [1 T4 ?6 D现在转载如下：
+ ~5 x% c% I6 C0 c5 o; |* N定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
# U& J* y% e2 J! l1 M3 `. f) E- S为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
7 F0 U; Q% G- |& b9 B6 a    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
! P# c; ]1 t/ ]' Y( _    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
6 g' b1 d3 r& q" y  J& n: z的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
. D( J' l$ `3 [4 R) }: S0 x1 z- T总电荷为
7 m2 ?6 U0 ~1 i) y! v) f0 ]* o) ?) B                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
9 M! u1 p  T+ a0 W不可避免集。
[证毕]

    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
3 I0 ]3 b& Q5 }" U  c& r      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
( E( ?& D3 F7 U6 z头“考虑K=7”有问题了。
    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
/ ]- U, O7 r; R3 }1 X" s( R7 t8 D: H/ o      如果确定是k/6,那么（1）式为
2 [' i: V* P8 A9 P4 k& Q! m2 Q   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
7 b+ R0 x3 Q6 Q8 }7 O* i4 I% r3 U$ b) n因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
0 I) ~! }  y/ Y1 t; [! O& I    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
. Z0 {/ ?* f# D0 C7 y: [; {    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
" z! W3 t1 Z" m; s8 V5 c) G) M   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
% U, ~- H8 v* b5 H8 a   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
' P2 V7 l' g* \9 }1 J6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
2 }9 i' e% P/ i" K8 e1 _+ h沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]

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山林隐逸

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