请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
" L& h7 d: [7 _& q! f5 M0 ~定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
% G! t$ z- K5 R3 i为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
  R( L' @4 f% b8 L8 i                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
; M8 _& A5 `# s1 l    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
8 X- X) U" ]6 U% o  A% h2 D的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
# B. f9 `) [0 T1 t6 Z    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
5 P) i7 L# b: g1 ~; ?+ `总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
0 z( d4 K  X, [. W& J. ~& s[证毕]
! K8 ]* ~' B+ P* d7 G
    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
1 s0 \- i$ D5 C/ A6 {      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
# D0 D) A- E9 a) m) {' j( K头“考虑K=7”有问题了。
    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
) T# q* I1 E' S  I0 y    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
& ?* }1 `' m+ k     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
( V  d; F: q2 ]# `+ E或者
( A* {& a) G. I/ }8 J    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
/ V, d/ G2 m* M. l$ g因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
1 r0 h- I9 W$ ~4 K( z    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
$ }! E" M: W( \7 Y   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
5 [) s) E# ?! t   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
8 ?- s. F- ~  f& B' l0 s8 y1 t& |6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
  V! S% s2 w$ i     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
* u6 @1 \: z; {1 i! Z) K: L沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
# q- j* `7 {) b- b3 E5 n) w避免构形的简化》中有所修改）。
, ]: e* n( K' g- H5 @: g% b! }- {( w    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
# J3 D$ [6 S3 U- g- x  F" [   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]


1 i. @! N3 A1 J9 w! r

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~