模型论

彭小玉

模型论（Model theory）是数学的一个学科，模型论的一些重要定理，如紧致性定理，L－S－T 定理，省略型定理， 插值定理等等，不仅对逻辑，集合论，递归论的研究有重要作用 ，而且也在数论、代数、拓扑等数学学科中得到应用
。
( x9 x4 L0 P- w研究形式语言与其解释(模型)之间的关系，也就是形式语言的语法与语义之间的关系。数理逻辑的主要分支之一。模型论把形式语言中的公式、句子、理论(句子集)和模型当作数学对象，引进了近世代数中的一些概念、方法，从而模型论的一些结果和方法也被用到数学之中。因此，模型论的一些基本方法，如构造模型的常量方法，图像方法，模型链，超积也已成为常用的方法。一阶逻辑的模型论是模型论的基础，事实上，任何一种逻辑系统都有各自的模型论 。 除各种逻辑的模型论外，模型论的新发展层出不穷 ； 用模型论手法来研究逻辑系统，也叫做模型论逻辑；用模型论方法比较各种逻辑系统的强弱，分析各种逻辑系统的特点，叫抽象逻辑的模型论。用递归论方法研究模型论问题产生递归模型论。只研究有限模型的构造和判定叫有限模型论 。 用模型论的思想去研究代数结构、群、环、模、域等叫做代数模型论。研究模型分类的理论叫稳定性理论。现代模型论对计算机科学也有一定影响。
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数学上，模型论是研究数学对象用集合论的属于表示数学概念的学科，或者是研究数学系统的组成模型的学科。它假定存在一些预先存在的数学对象，然后研究，给定这些对象、操作或者对象间的关系、以及一组公理时，什么可以被证明，如何证明的问题。

选择公理和连续统假设与集合论其他公理的独立性(由Paul Cohen和哥德尔证明)是模型论中产生的最著名的结果。选择公理和其逆命题都被证明和集合论的策墨罗-弗兰克公理相容；同样的结果对于连续统假设也成立。这些结果是公理化集合论的一部分，而那是模型论的一个特定应用。

实数的理论给出了模型论概念的一个例子。我们从个体的一个集合开始，其中每个个体都是一个实数，还有一个关系和(或)函数的集合，例如{ ×, +, −, ., 0, 1 }。若我们在这种语言中有一个类似于"∃ y (y × y = 1 + 1)"的问题，那么很清楚这个句子对于实数是真的 - 确实存在这样的一个实数y, 也就是2的平方根；对于有理数，这个句子却是假的。一个类似的命题，"∃ y (y × y = 0 − 1)",在实数中是假的，但在复数中是真的，因为 i × i = 0 − 1。
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模型论研究什么是在给定的数学系统中可证的，以及这些系统相互间的关系。它特别注重研究当我们试图通过加入新公理和新语言构造时会发生什么。

一个模型可以形式化的定义在某种语言L的上下文中。 模型由两个对象组成:
$ Q. w2 A& M0 A4 C3 X1 m. w. k) O
一个全集 U 包含所有相关的对象("论域")
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一个映射，从L到U (称为计算映射或解释函数)，它的定义域为该语言中的所有常数、谓词和函数符号。

一个理论定义为一个自洽的句子的集合；通常它也定义为必须在推理规则下封闭。例如，在某种模型(如实数)下为真的所有句子的集合是一个理论。
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哥德尔完备定理表明理论有一个模型当且仅当它是自洽的，也就是说没有矛盾可以被该理论所证明。这是模型论的中心，因为它使得我们能够通过检视模型回答关于理论的问题，反之亦然。不要把完备定理和完备理论的概念混淆。一个完备的理论是包含每个句子或其否命题的理论。重要的是，一个完备的自洽理论可以通过扩展一个自洽的理论得到。
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$ B+ p( r& \  N紧定理说一组语句S只有在其每一个有限的亚组是可满足的情况下才是可满足的（即有一个模型）。在证明理论的范围内类似的定义是下显而易见的，因为每个证明都只能有有限量的证明前提。在模型论的范畴内这个证明就更困难了。已知的有两个证明方法，一个是库尔特·哥德尔提出的（通过证明论），另一个是阿纳托利·伊万诺维奇·马尔采夫提出的（这个更直接,并允许我们限制最后模型的基数）。

% X* Z* R9 u& C" `; D模型论一般与一阶逻辑有关。许多模型论的重要结果(例如完备性和紧致性定理)在二阶逻辑或其它可选的理论中不成立。在一阶逻辑中对于一个可数的语言，所有无限的基数都是相同的。这在勒文海姆-斯科伦定理中有表达，它说任何有一个无限模型A的理论有各种无限基数的模型，它们和A在所有语句上一致，即它们初等等价。

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干的漂亮。