命 题

彭小玉

1. 1. 1 什么是命题
命题是一个非真即假( 不可兼) 的陈述句. 有两层意思, 首先命题是一个陈述句, 而命令
& u1 S9 M  }# X- u# n4 U句、疑问句和感叹句都不是命题. 其次是说这个陈述句所表达的内容可决定是真还是假, 而
且不是真的就是假的, 不能不真又不假, 也不能又真又假. 凡与事实相符的陈述句为真语句,
而与事实不符的陈述句为假语句. 这说是说, 一个命题具有两种可能的取值( 又称真值) , 为
真或为假, 并且只能取其一. 通常用大写字母T 表示真值为真, 用F 表示真值为假, 有时也
5 z& i$ G8 r3 \  y可分别用1 和0 表示它们. 因为只有两种取值, 所以这样的命题逻辑称为二值逻辑.
举例说明命题概念:
' ]5 ?8 C7 x6 l! p/ O. G8 R6 m( 1)“雪是白的”. 是一个陈述句, 可决定真值, 显然其真值为真, 或说为T , 所以是一个
0 J) |% r2 H& ~" o- k, Z( D; B命题.
: z- {9 o" C3 P  e/ u( 2)“雪是黑的”. 是一个陈述句, 可决定真值, 显然其真值为假, 或说为F, 所以是一个
命题.
1 X: H: h6 M/ O; v* ^( 3)“好大的雪啊! ”不是陈述句, 不是命题.
( 4)“一个偶数可表示成两个素数之和”( 哥德巴赫猜想) . 是命题, 或为真或为假, 只不
过当今尚不知其是真命题还是假命题.
/ `0 ?3 f% U- }: B5 w8 r( 5)“1+ 101= 110”. 这是一个数学表达式, 相当于一个陈述句, 可以叙述为“1 加101 等
于110”, 这个句子所表达的内容在十进制范围中真值为假, 而在二进制范围中真值为真. 可
见, 这个命题的真值与所讨论问题的范围有关.
2 Q, o7 u1 I: ~7 A1. 1. 2 命题变项
/ W, t' ~0 y" c& x5 K: m- d为了对命题作逻辑演算, 采用数学手法将命题符号化( 形式化) 是十分重要的. 我们约定
3 z! H( L, M& M# `用大写字母表示命题, 如以P 表示“雪是白的”, Q 表示“北京是中国的首都”等. 当P 表示任
# H* T# j; r' m4 h# S0 U一命题时, P 就称为命题变项( 变元) .
2 N7 y$ N, W4 p4 _6 |' H命题与命题变项含义是不同的, 命题指具体的陈述句, 是有确定的真值, 而命题变项的
! i& e- G3 g$ ^6 |; S: T4 e真值不定, 只当将某个具体命题代入命题变项时, 命题变项化为命题, 方可确定其真值. 命题
* Q  K3 P7 d& w6 J与命题变项像初等数学中常量与变量的关系一样. 如5 是一个常量, 是一个确定的数字, 而
x 是一个变量, 赋给它一个什么值它就代表什么值, 即x 的值是不定的. 初等数学的运算规
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2 c! G& R* j- P5 E2 v/ F' C2 k则中对常量与变量的处理原则是相同的, 同样, 在命题逻辑的演算中对命题与命题变项的处
- ~* ~7 E, }2 d: ^" D0 _理原则也是相同的. 因此, 除在概念上要区分命题与命题变项外, 在逻辑演算中就不再区分
它们了.
( ]- i* p8 Z( |5 d1. 1. 3 简单命题和复合命题
  l" y7 e  O- a* \简单命题又称原子命题, 它是不包含任何的与、或、非一类联结词的命题. 如1. 1. 1 中所
# c) Q) y# ~6 z( n9 ~! [# X  z  c举的命题例子都是简单命题. 这样的命题不可再分割, 如再分割就不是命题了. 而像命题“雪
是白的而且1 + 1 = 2”, 就不是简单命题, 它可以分割为“雪是白的”以及“1+ 1= 2”两个简
单命题, 联结词是“而且”. 在简单命题中, 尽管常有主语和谓语, 但我们不去加以分割, 是将
简单命题作为一个不可分的整体来看待, 进而作命题演算. 在谓词逻辑里, 才对命题中的主
8 d# ]. h( T: V. g$ m, \谓结构进行深入分析.
把一个或几个简单命题用联结词( 如与、或、非) 联结所构成的新的命题称为复合命题,
6 Y  C6 o% }6 v* h  w也称为分子命题. 复合命题自然也是陈述句, 其真值依赖于构成该复合命题的各简单命题的
& o& s6 q$ r/ i& x真值以及联结词, 从而复合命题有确定的真值. 如“张三学英语和李四学日语”就是一个复合
命题, 由简单命题“张三学英语”“李四学日语”经联结词“和”联结而成, 这两个简单命题真值
% {+ W& R7 T* N3 `5 X: K! K, y* X均为真时, 该复合命题方为真. 如果只限于简单命题的讨论, 则除讨论真值外, 再没有可研究
9 D) |$ f. m- ?/ {; l) e7 b的内容了. 而命题逻辑所讨论的正是多个命题联结而成的复合命题的规律性.
在数理逻辑里, 仅仅把命题看成是一个可取真或可取假的陈述句, 所关心的并不是这些
具体的陈述句的真值究竟为什么或在什么环境下是真还是假, 这是有关学科本身研究的问
. p: q, y2 E# z, L. L$ {# B- D题, 而逻辑关心的仅是命题可以被赋予真或假这样的可能性, 以及规定了真值后怎样与其他
* d2 ?' \& i# n- v# H4 {4 c6 x命题发生联系.

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