论给定区间素数的分布规律公式

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论给定区间素数的分布规律公式
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田永胜

（内蒙古自治区  吉兰泰  750333）

        摘要：通过对自然数按照一定方向旋转排列，找到了自然数的等势区间并集，并对每个区间的素数分布情况进行研究，给出了在给定区间内素数的分布定理、公式及推论。

        关键词 自然数；螺旋排列；给定区间；素数分布；规律；

        引言

        自然数沿数轴方向排列时，素数的分布没有规律可循；当把自然数按一定的方向旋转排列时，素数的分布就变得有规律。下面揭示它的分布规律。

        1 自然数的排列规律

        首先，按逆时针方向把自然数进行排列，如下图：

                                                               

自然数螺旋排列图

        从上图可以看出，自然数集合N+也可以由一连串连续区间的并集组成，[1]∪（1，9]∪（9，25]∪（25，49]∪（49，81]∪（81，121]∪……∪（（2x-3）^2，（2x-1）^2]…。并且，每个区间的最大数都是奇数（2x-1）的平方。

        2 素数分布定理和公式
6 b, |) L) M! {- X6 I, Y' _+ U

        首先，来研究每一区间数字的素数分布情况：

第一区间只有自然数1，素数个数为0。

第二区间为（1，9］，有8个数字，其中素数有4个，所占比例为 4/8=0.5。

第三区间为（10，25］，有16个数字，其中素数有5个，所占比例为 5/16=0.3125；

第四区间为（25，49］，有24个数字，其中素数有6个，所占比例为 6/24=0. 25；以此类推。

其次，再来看每一个区间的素数分布与区间内的数有什么内在规律。1在中心，不是素数；在区间（1，9］有8个自然数，最大数是9，求9的自然对数的倒数，1/ln9≈0.455，与该区间实际素数所占比例接近；乘以总数8，值约等于3.64，取整数后为4，与该区间实际素数个数相同。在区间（10，25］有16个自然数，最大数是25，求25的自然对数的倒数， 1/ln25≈0.311，与区间内实际素数所占比例0.3125很接近，乘以总数16，值约等于4.97，取整数后为5，与该区间实际素数个数相同。在区间（25，49］有24个自然数，最大数是49，求49的自然对数的倒数， 1/ln49≈0.2569，与区间内实际素数所占比例0. 25很接近，乘以总数24，值约等于6.16，取整数后为6，与该区间实际素数个数相同。以此类推，如素数分布规律表所示。
7 g8 o! Y- i! H) m2 T% h                                                         

素数分布规律表

        由上表可以看出，在第2到第8区间，实际素数个数与理论素数个数相等，其他的区间实际素数个数在理论素数个数左右波动，每个区间实际素数的所占比例和理论素数分布密度非常接近。

下面，给出素数分布定理的一般形式。

定理

        设x为自然数，在给定区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内，素数的分布密度公式为

1/ln（2x-1）^2

        给定区间内自然数的个数为  

（2x-1）^2-（2x-3）^2=8x-8

        用π(x)表示给定区间内的素数个数，则给定区间素数个数与自然数的个数之间存在如下线性关系

π(x)=( 8x-8)/ ln（2x-1）^2

        若用Sn表示n圈内素数的总和，则
: w  q) t5 J9 m                                                        

        推论1 在区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内，只有有限个素数，当x趋向无穷大时，素数也趋向无穷大，即

8 ^; S! P1 y4 D7 @                                                         

        接着，再来看每一个区间的孪生素数的分布情况：在区间（1，9］内有2、3和5、7两对孪生素数，在区间（9，25］内有11、13和17、19两对孪生素数，在区间（25，49］内有29、31和41、43两对孪生素数，在区间（49，81］内有59、61和71、73两对孪生素数，在区间（81，121］内有101、103和107、109两对孪生素数，在区间（121，169］内有137、139和149、151两对孪生素数，在区间（169，225］内有179、181和191、193两对孪生素数，每一区间内被小于或等于（2x-1）的素数约去后，都有两对孪生素数。因此，得出推论在每一个区间至少有两对孪生素数。
% \$ q. j! U- `, p+ q, q& N7 M
7 O/ [) m+ m  `& p, r

        推论2 在区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内至少有两对孪生素数。当x趋向无穷时，孪生素数也趋向无穷。

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7 Z; M, G: ~) c
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9 W% T$ }! s/ J/ v

        推论3

在区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内，实际素数个数总是在理论素数个数左右波动，即它们的比值在1左右波动，当x取有限数值时，所有区间实际素数与理论素数之比（π(x)/(（8x-8）/ln(2x-1)^2)）的平均值趋向1。当x取无穷大时，无穷区间实际素数与理论素数之比（π(x)/(（8x-8）/ln(2x-1)^2)）的平均值等于1。即当x→∞时，

{π(1)/ [（8×1-8）/ln(2×1-1)^2]+ π(2)/ [（8×2-8）/ln(2×2-1)^2]+

π(3)/[（8×3-8）/ln(2×3-1)^2]+…+π(x)/ [（8x-8）/ln(2x-1)^2]}/（1+2+3+…+x）=1

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& d9 a' h. @' F# l: p2 s
  n4 z+ M2 h( G10031至10040区间素数分布情况，实际素数在理论素数左右波动，实际素数总数40541，理论素数总数40515，差值26，占比26/40515=0.000641737。单个区间最大偏差（4111-4052）/4052=0.0145607。见附图。

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8 y: `; s' v' X# R( A& j8 _8 s1 X& k1021至1030区间素数分布情况，实际素数在理论素数左右波动，实际素数总数5374，理论素数总数5374.单个区间最大偏差（562-537）/537=0.04655493，见附图。



- S9 ?0 o- }2 j' t0 i* s" D( N8 H# ^

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8 T0 C8 v% @. G
给定区间素数的分布问题，其实就是素数的筛选问题，我们不可能一下子解决所有的素数的筛选问题，只能分区间来进行，这样问题就好分析了。自然数集可以表示为一系列连续区间的并集，分别对这些连续区间的素数分布情况进行研究，就会发现一些规律和公式。
- d9 V! M8 q' F9 l! O. v; F: @4 ^对于给定区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］，素数的多少可以用小于或等于2x+1的素数去约，剩余的就是素数，用素数筛选后素数所占的比例是多少呢？
/ f7 u* L/ A& A5 p设给定区间数的比例为1，
' D+ R" r& z# q1 A! R被2除后余1-1/2=1/2，
  G3 u2 |" O& G* G. X8 |# j2 w" ^. x被3除后余1/2-1/2*1/3=1/3，
# j5 |8 l( J# b( J被5除后余1/3-1/3×1/5=4/15，
6 M4 n$ R! v, @6 c2 A4 G被7除后余4/15-4/15×1/7=24/105；
1 b& C. \$ J! {7 `4 Z- Y被11除后余24/105-24/105×1/11=240/1155；
2 r5 z( u, z# _' u被13除后余240/1155-240/1155×1/13=2880/15015；
: \  \# o, u' U, @- S) C" Q被17除后余2880/15015-2880/15015×1/17=46080/255255；
被19除后余46080/255255-46080/255255×1/19=829440/4849845；
被23除后余829440/4849845-829440/4849845×1/23=18247680/111546435；
以此类推。
/ S" J: p7 z3 C5 N/ G5 Z例
第2区间（1,9]，自然数有8个，被2约后剩余1/2，8×1/2=4；
+ l' H9 A; ?# N4 @第3区间（9,25]，自然数有16个，被3约后剩余1/3，16×1/3=5.33，取整为5；
第4区间（25,49]，自然数有24个，被5约后剩余4/15，24×4/15=6.4，取整为6；
" F# b. b9 w5 b4 v% c1 ]: p  V第5区间（49,81]，自然数有32个，被7约后剩余24/105，32×24/105=7.31，取整为7；
第6区间（81,121]，自然数有40个，被11约后剩余240/1155，40×240/1155=8.31，取整为8；
0 k& [+ c; A) }; i$ J! d第7区间（121,169]，自然数有48个，被13约后剩余2880/15015，48×2880/15015=9.21，取整为9；第8区间（169,225]，自然数有56个，被13约后剩余2880/15015，56×2880/15015=10.74，取整为10；
/ h6 {( \. I  N( B! N第9区间（225,289]，自然数有64个，被17约后剩余46080/255255，64×46080/255255=11.55，取整为11；
0 `  ?9 o7 {; }( h第10区间（289,361]，自然数有72个，被19约后剩余829440/4849845，72×829440/4849845=12.31，取整为12；
0 }4 P, l4 u: x$ f  以此类推。
) Z2 V1 }* n/ Z4 r1 s+ Z
7 _/ f7 Z1 u. t& ?7 q1 e6 B5 \+ Z

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" `  h* _/ h: h& u8 d7 H    突然发现素数是有限的，当对素数的分布密度1/ln（2x-1）^2求极限时，即x→∞时，lim1/ln（2x-1）^2=0，也就是说，无穷区间的素数概率为零，素数也为零，即( 8x-8)/ ln（2x-1）^2=0，因此，推论1的极限应该是0，而不是∞，所以得出1到∞区间的素数的总和是有限的结论。

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又一个数学悖论，素数真的是无穷的吗？
; ?1 W" B8 [6 `7 u4 Z

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想了一个月，突然想到，如果引入无穷小的概念，就可以解决这个问题。

    因为1位于无穷个区间的中心，数字按照等角螺旋进行排列，无穷大的倒数自然就是无穷小了。如果我们用符号⊙表示无穷小，那么
7 l0 K7 j/ k! r. k9 A) `3 Flim1/ln(2x-1)^2的极限值就等于⊙。
( P9 c8 u) ~- O: f2 R
    这个结果验证了我们常说的一句话：宇宙其大无外，其小无内

8 u4 x, H* k9 \' o3 X* j

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发张JPG格式给定区间素数分布表。

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    1793年，德国数学家高斯由直觉看出了素数的分布的渐近分布定律：π(x)=∫dx/lnx,从2-x的积分。
高斯和勒让德还猜想极限(x→∞)limπ(x)/（x/lnx)=1，这个猜想就是著名的素数定理。1849年，俄国数学家切比雪夫发表博士论文，在假定π(x)/（x/lnx)极限存在的前提下证明了(x→∞)limπ(x)/（x/lnx)=1。
+ M( }& }* R  t9 H2 V; O
! R+ h' h. b9 {8 B$ |- L- ^8 `+ a    其实，前辈的猜想是对的，高斯是以1000为单位的区间，看出了素数的分布的渐近分布定律，而本人通过研究相邻两个奇数平方之间的区间素数分布，给出了区间素数分布的公式，实际与理论素数之比在1左右波动，如果把所有区间的比值平均，平均值趋向数值1。
% p0 t9 K0 J- n& Q) ^1 M

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' d( d( Z0 M( _5 d: R
给定区间实际素数与理论素数之比的平均值趋向1。图中三个平均值平均后为1.000894746。