关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
2 C% ^0 e  Q$ K" H4 Y6 x. E钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
' C2 G" a2 `7 `" H# |

内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
2 W2 I7 d1 X; W
; U$ b9 W4 L4 h一、“142857”的神奇性质
& B( Z7 b6 v$ C+ u现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
' T6 i; x$ {0 n7 @2+7=9
* A: E) b- Y9 G5 g2 H. k  U14+28+57=99
5 a: @, G7 p0 ~( {0 U$ m) \142+857=999
3 j% B8 ~& y; i; e( L: [: ^2 J7 |142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
& u2 `/ ^  R+ ?  C" q! ~2 l: l142857×4=571428        142857×39=5571423       
8 z; v9 i& k# z6 W& Q142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
( x, W3 g: c' N8 j. N, O9 x+ T0 v# R% R        2915+443148+696793=1142856=8×142857
, O4 b( x  I! T) |2 D1428574=416401461893377757601
- W9 l; K: n: h  Q3 j  U1 N4 }6 X        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
=3142854=22×142857
2 I; v# o# C( R% E8 u$ ^) f142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857

这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
# Q) C9 `: `3 V* K! V0 s 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
% t. g7 w6 q8 B142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
' d# u; u2 W$ R8 J1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
. ]5 u- ^  G) E) W6 x- ^' w  K. P令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
( S+ |  O1 D, F$ u  D" V% F9 x; e' w27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
/ h: @- V' P: s: p二、神奇数字142857的计算规律
9 C2 ^( t3 T1 G9 G, F; {9 v% [3 s以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
5 o/ L. |7 a+ Y9 E) hn=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
9 J2 Z( K3 v8 F" a! m" ^; ]  y解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
n        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
! A5 Y7 I5 h* z" c# h( qb        6        2        1        4        5        3
由此得到142857的简单整数倍的计算式
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
8 w; [* l$ V( }. t0 D式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
1 q' `0 P9 m0 `0 t6 M! Q# U" l" O归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
待定系数也一目了然了。
, c6 G% C0 y9 b3 ~当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
8 m; N& y1 b1 G) ?, r# s4 EA=m×106+nA-m                          ( 2 )
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
6 s/ s! q6 t9 ~" G  [. Q   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
（二）142857的n次幂的计算
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
: Z$ g0 e/ S/ H; j6 `+ X" d4 X由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
由此
" h" Y1 [0 F- q, b" y2 w, V0 y(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
最终得到
An+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
1 @: c' F, n3 J: x, C现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
8 i! Z- S6 v) K' D$ c! U1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
1 ~9 f5 ^* K' H. a 142857=20408+122449.
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
) o3 S! Q) m4 j7 _; f3 K0 z! @0 P运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
; E0 F! E% p+ S& R; a1 MA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
/ L. a9 L+ P9 {, n/ f3 ~) @2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
% E) S+ x' w0 ?, ^2 V在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
A3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
  J3 ?" b7 X( e5 A2 fA1 =142857，                   A1 =142857= A
. |, Z" J- k: j/ {' U5 P/ `A2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
9 N0 ~3 n" ]9 N* G1 T: k7 TA6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
7 Y2 J, @6 s, s: ^0 S1 D8 gA7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
, r' X/ R2 _+ CA9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
: s2 `% M/ A2 U现以A3为例，验证如下：
已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
# c2 K* u! i/ s% g! Q# L3 @A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
证明：
A3= a×1012 +b×106+c
2 Q( O: a" h) [  T  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
/ g% I3 r1 i8 o. s1 Q  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
9 I+ D' S! x- h1 A+ Y       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
" O3 H/ d) E) u6 O. L0 {=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
2 \% s" x# q: D1 N& F以上P,Q,R 均为自然数。
1 c/ u3 j* }' W3 p& l对A3
  M7 w- E  @+ l8 O. `( `# e; `a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
8 Z4 E' ~7 `1 m/ P1 ~5 O三 、总结
! W# x9 g) M! Z, z以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
  o( I" F0 ~" p& Q
+ E6 Y* n( c4 d8 p" `参考文献：
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.
8 P, b0 l; h! h3 t! f6 P) z
3 F  V1 Q0 I7 R1 o* n# Y