关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
# z, z0 A, G+ t5 D* }. E) z' V钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
& Z- e! Z. k, ~

内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
8 N4 B  _( v; W$ T$ @
一、“142857”的神奇性质
/ P: L2 l, u, \* U  D! a, N2 U现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
14+28+57=99
142+857=999
142857×2=285714        142857×23=3285711       
2 x  N5 b7 r8 d142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
  \# U" R5 N* d& S        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
' \$ U% Z3 l2 K, k  e1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
8 }6 e5 G# H  l% ]* a4 w; J=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
2 g9 m0 u  T/ e' N* c" b
这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
* n: x+ S$ r' m' J2 c4 \ 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
; [+ j* M, x8 ^  D/ w142857=15873×9，
1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
5 p: S$ B8 b" b  E' T' C! z4 \27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
: B0 M/ @- f$ H- s# z  z/ i. i# d* P以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
0 A3 E& M5 X5 y! A/ A. J（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
6 `1 l4 o- w0 P3 @0 X9 `6 x为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
/ ]$ }" k" K5 H' J, f3 j- Cn=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
) u9 O9 @7 b- d6 W( y6 S& M解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
n        1        2        3        4        5        6
1 O- K! I5 h2 aa        142857        14        1        1428        14285        142
7 {- i6 ~( u3 b; T) s" A7 Qb        6        2        1        4        5        3
, U+ {* b9 N* k" P由此得到142857的简单整数倍的计算式
1 M8 S! Y  i# h nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
  E2 s' s0 Q/ S! W" R7 t' J4 A5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
7 e3 B6 T/ K$ T  x/ g$ {% p8 n在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
4 g, m4 D/ N) r; x由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
( P& u+ M- ], z2 E) E其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
  ^: R+ _" w- {) h0 \" u) V/ i101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
( t8 h, K9 @- @归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
* [6 b/ I7 z/ V. F$ \/ Hn=(10b-7a)，
) j$ y, v: n! X5 E  E1 G待定系数也一目了然了。
" p1 a" p. N2 |( g8 v当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
! r- e/ L( F( M因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
. o: p/ G5 M$ P2 d. E   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
（二）142857的n次幂的计算
! ?# F' m$ C: g% G% z7 X) A, O结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
4 s) f8 m( ^" g  I由此
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
最终得到
1 e/ Z9 i. P( L3 ^. Z# p/ f0 SAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
' `& v( E( Q- O5 b% g) R1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
' K# d7 R, |, s# m! y5 U 142857=20408+122449.
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
& }8 H1 u1 a9 }1 R( s% P4 x+ i运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
" |7 |& I3 z0 D% C7 u  c; qA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
  F( H/ p6 E* }2 XA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
2 L/ A  \' p. g6 m) `被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
; s# D2 Y) V/ q! b7 hA3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
+ t, U* g; N1 w4 eA1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
9 m3 i9 D; s( O  tA4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
  |2 r% i6 C+ T; i: YA6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
+ _; ~' W9 [0 H5 v+ ~/ JA7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
6 r) f; E8 C: ]/ n3 S, B# rA8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
( C8 C) g& F# e9 x$ {3 p显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
" U$ N0 |: r+ P8 ^5 r7 {: l现以A3为例，验证如下：
已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
! m; s$ ?4 f2 `, O/ |1 \证明：
, ^6 T" f% A0 NA3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
- `# g5 X7 ?7 C0 c4 N  g  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
+ k7 C/ B1 |+ o$ }' u又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
5 i8 I3 c, x- Y+ |= (7R+1)A.                                                
以上P,Q,R 均为自然数。
7 S2 A/ G8 P; h/ c. K. A0 W. D对A3
, c6 N$ U# K4 a" u! ta+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

" j4 ]$ ?( \! f) G参考文献：
! r8 N) C. F+ \$ a: N[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.