人口预测

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人口预测
  x, [9 W* |1 u1.问题
# P8 O9 E( d2 N7 g. {0 f7 |7 l: }& l人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
& y" ?+ T; _) z; @/ z# `" p年（公元）

人口（百万）        1790

3.9        1800
+ v2 P: W" t/ [) P
$ v/ k, O, h% g1 ?* q0 B5.3        1810

7.2        1820
$ F) X* c- R0 a. E0 F. v
& I( G3 g0 e- u/ G- B9.6        1830
: d# R) P1 o' P$ n. `' S: t* b
12.9        1840

: a# j6 I3 x5 _5 |17.1        1850
; t9 t) L% x- Y$ l! e1 v- I
& s* ]3 i) e0 R$ n6 i. k& u23.2
5 ~4 U% o" D. n) h9 r; m年（公元）
4 ~9 f2 G7 v+ k& T: c: `
人口（百万）        1860

7 s( S3 m& U9 A; P( {7 J; ]31.4        1870
; u/ V) q4 ~" u& W
+ l: I" _. \. D7 [  Z38.6        1880
+ J9 y; X& a' F
7 K8 ~& m3 w( f50.2        1890

, d# Q4 z, H9 g0 W* O1 E62.9        1900

8 G  L: G  _8 J2 G76.0        1910
+ t8 [  r7 e/ U" E5 n
3 J+ _  S" M& C0 x, ?" f92.0        1920
7 n( k! N+ R+ p
) L$ Z: U6 E' @' I/ E+ q- L106.5
年（公元）
7 `. e& y4 P2 r
) T$ A$ Y* \# ?" Z: A人口（百万）        1930

123.2        1940

131.7        1950

; r) F+ o2 n& f& O  u  j150.7        1960
# A. j% Q* X+ a8 n8 z' D$ k+ s, T
179.3        1970

204.0        1980

226.5        1990
' y- P% E" W" A  X5 G7 l! S6 G
( r/ G+ Y3 D2 ^3 ^251.4

; f0 J/ ~$ Q% u9 ^' S) q2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

于是 满足微分方程：
                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
- f! n% g, [+ g7 N$ U% E! Q* R                              （2）
表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
8 R/ @, v5 k: B  Y' n要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
0 z- }3 V5 g9 ^+ E通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
5 j- b- \& O7 F$ @7 u& c8 K[5] 模型检验：
. P! ~( [, \$ ]& z) r8 {0 l7 P   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
- C1 ~8 `# e  n% o, M& a8 D$ p表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
8 D0 B4 I) Y% T" ^( @% a( n5 ^年
9 }0 {) b0 l, b4 z9 ?: W! D* d: z(公元)        实际人口
（百万）        指数增长模型
* B5 @. _5 N, y& Q7 w! m                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
( Y5 i# i2 e+ Z; Q8 G+ v, G1830        12.9        13.7        6.2
& l1 N$ e1 F2 r: o) J' u: u1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
1860        31.4        35.0        10.8
- D' @9 s+ M  c' }& G  [, N1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
' O5 D* @+ l6 w" j- g$ l; f1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
; p. `% n2 T0 }# _+ Y8 z+ ]9 p' @) k' Y  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
% D/ W1 }3 U6 S0 f5 d$ x* C& \' \[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
' f9 H& r+ |8 W8 z* @3 o（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
6 n% @; |4 j9 F/ y6 X   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
2 D$ e( t' q- w  u) h5 I模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
4 N0 g7 P( A; O8 I! e    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  







4 h0 Q, w2 b  P& s& j+ x& l/ y' w+ e

/ M8 J2 w0 Z% c* y" l3 Q/ v# T0 \
6 Z3 m. V& {# O7 m# t' X( B[4] 模型的参数估计：
, L& P+ u2 M+ |# z3 B利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
% u$ X6 _$ J% ~3 x- e$ t* R1 ] [5] 模型检验：
9 W/ w: Q$ S& {! m$ \- g- j' I将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
# k: R# M- G! \  i/ g也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
/ Z) e0 ]* B- H% M1 {0 m用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
+ i& q. G: U- U. }3 a& k
# \, e& a8 Y; a- T0 O( |1 E3 `' r( C. k表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较

年
3 X! P5 N* W7 U        实际
人口
(百万)        阻滞增长模型
0 e+ \" j7 L  F                公式（5）        公式（6）
: w: P5 I- [8 ?& X# P; S0 f/ p                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
; T9 A; ~: \  K, X1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
/ v* {8 W5 ?" l- C- L' P1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
) j4 s% ?3 q3 d  \1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
$ j! `. b% S: q) y" v1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
. }8 g4 a: y  u+ Z7 I) N1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
, j) f" M5 }6 G1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
+ d5 Q+ ?# W5 e& _1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
9 H7 m! Q8 P( I% }* N1 [1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
[6] 模型应用：
9 b' |- b+ Q. y" j" `$ V: K 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
! q2 b, W% G# Fx(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.


! T4 R. w9 I/ z2 L$ w

2923153768

很好的帖子，支持一下。
! K/ X9 A* D4 B, ?% T6 P