人口预测

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人口预测
9 L) B) s! @7 @5 I. {1.问题
" L0 k- {- m6 @6 m2 x+ e人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
5 \# r4 n# g# H6 u( p3 d" M表1  美国人口统计数据
年（公元）
3 x* o8 y0 H3 J  D
  E4 M/ X( v. u+ g" t# o人口（百万）        1790

3.9        1800

+ u. V# b% d2 F7 s7 w5.3        1810

9 F5 D" k, K4 w' |7.2        1820
3 V: V  O, ?* d& m) W
& f6 v2 y: i8 |5 S, U9.6        1830

; K0 M% u! h8 G% s) `12.9        1840
8 s: K- z7 m  I- l+ k& L  A
17.1        1850

1 H, o5 v9 ~* i+ t9 k! x23.2
年（公元）

6 q5 t. _6 f4 ]" `. i4 E" _人口（百万）        1860
; n0 L4 ~* S7 ^+ l5 h! ~
# d2 i# s, v4 u0 e( v31.4        1870

38.6        1880

0 e8 ^% E0 O: x. H  c! J# ^7 D# Q50.2        1890

62.9        1900
' p% r; d5 h9 N+ }$ Y3 x
76.0        1910

92.0        1920

$ L8 G# }7 |" W, }! d  ^9 s. ?106.5
8 A* N$ K' @& x1 f: P年（公元）
$ _) N, c2 N4 N7 f; {* E3 Y
! G+ O0 V0 o5 {& {% ?" Y人口（百万）        1930
5 a5 Q+ |9 G7 j" e  [5 ]# E
123.2        1940
0 Y0 e% G) |) ], {# O
131.7        1950
1 g  e; v% T' I- W) a
. ^: N% J, m, }1 T/ g: `* ~150.7        1960

1 o4 h4 ]0 d( u, C# @179.3        1970

204.0        1980
* W( h7 |; D/ K: x7 S6 O
226.5        1990
- B9 J: V$ \/ [
251.4
! z5 N# H7 u* B4 z
4 h! N- `. q- s1 [( P8 z" {" `2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
: l' N% o! a# V" Q8 J1 q* @" r此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
  t9 m% R5 R7 r  c2 T9 S0 ^[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
2 t$ M. S- B8 Z- X' E. F+ c6 X
于是 满足微分方程：
, z3 l1 u3 e( K; c; A/ ^- w                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
表明： 时， （ >0）.
+ S3 Z) I& x) e9 I, p+ d' I$ }[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
* e- k, m; C; E# o[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
7 g$ V; k- D, ?; E) P& D. B(公元)        实际人口
% P, L) `1 ]0 L2 o6 m; @; `) o（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
6 O4 {" |9 \0 N' {7 D5 [: p1790        3.9               
1800        5.3               
" C- W  c" u6 X. c4 n" F% ^1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
1840        17.1        18.7        9.4
# p- c8 e1 H2 s/ J, I! D1850        23.2        25.6        10.3
( j2 O9 Z3 z' i# f1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
7 F, i  P9 A( n& c1900        76.0        122.5        61.2
' B; q+ A: y8 `. q" K1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
6 K' Z# N! O! S( @4 `, D7 o  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
* Q8 b3 \4 R& I, h0 c（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
& L- P# Y' J  a; u1 u( H( U; ^$ ~（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
( Y( L9 Z2 C0 W8 Z6 D$ ^' z7 H[2]建立模型：
% s! \# x$ {! y3 b6 h, W. b. N   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
模型：                          （4）
7 Y: ]9 ^# D9 ~* ][3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
% M! c1 v3 V" y1 g. ~6 m5 G; k    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  


9 ^( d' @% u  H; d2 T$ A




" X' f7 b3 m0 E
6 |+ a3 m9 D3 E: T
' S+ k% |4 K9 E. l/ B+ Z3 z  t
[4] 模型的参数估计：
: u( `3 A; O, X& p7 S+ h& P' w6 @3 j8 n利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
! b7 w8 M* D$ f/ o! x9 `5 \ [5] 模型检验：
: \; p* I: |9 `0 L% N将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
4 N+ k) s! R! E5 C$ f也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

% e& V+ i4 ]( _9 c$ U表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
$ ]* P; s- c) U4 y  w, b% F& h
年
  w* F1 Z/ D" k! V( I7 v; v/ d        实际
人口
5 t4 M5 D! i. s2 C(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
7 f5 b" {2 w5 k0 v' c& p1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
' [  D' r2 P- U1 p5 y' h1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
% I& L. I' q  m5 J; ^+ @- E1 t6 p5 ^1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
# V' h. C7 O- V" j3 P( [1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
7 G7 I6 f" k" Y$ Y. \8 R. A4 o, }1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
& k' B# p/ K' D/ W1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
2 r5 z  A7 R$ x6 K2 Q1 F/ L  j1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
% s9 m2 Y/ l4 l- E1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
) o2 e; V, H0 l$ i. E% f* T[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
6 H/ [! K+ i! e+ y

- @! t8 ^/ i% Z0 s

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