人口预测

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人口预测
1.问题
5 J9 q8 @" R' E, U人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
, \) j: J- [: `: n! s% W) F! w4 w表1  美国人口统计数据
: F$ b, L0 f& j' Y( U年（公元）
9 e) c- J* G' D( u5 {+ L7 V
人口（百万）        1790

* w9 w9 e/ W0 Q- S: R% _3.9        1800
* B. I6 }4 @  N+ D8 t
5.3        1810
: {# A1 m8 p' n( f
7.2        1820
1 u5 Y/ b: P0 M" o8 b
: f: _4 W8 i: G: x' E5 Y* ?6 o7 @9.6        1830

1 g+ {7 Y2 ?8 Q. G0 O  V3 X; k( U12.9        1840
' b& V5 H  Q. L0 B' q" F
17.1        1850
* n4 y0 `" d% n; S
& W- W& V$ Z# e' y- C23.2
年（公元）
- A3 {/ F$ F" t
( N0 n. L; u4 Z& d  t人口（百万）        1860

31.4        1870
4 O9 T) k. o1 G' m1 [
38.6        1880
# l, @+ Y: V# v6 A4 |, j) s
9 b7 P! L0 B$ o50.2        1890

$ w2 A7 N4 h# Z9 q62.9        1900
$ ~0 h6 {: q# G
76.0        1910

6 o& S4 H4 v: a% w92.0        1920
5 @6 M% e+ Z: j
106.5
  j; s: q1 k7 x  N年（公元）

) A) i+ R  N1 ]人口（百万）        1930

1 C; G. Q1 c2 G, ^% W# b123.2        1940
/ ^- b' j/ e* b! P- i, {& L0 T
131.7        1950

150.7        1960
4 G7 K2 U* O$ Z0 D( m
179.3        1970
7 }8 m/ @9 x9 ~; m" I3 I6 k+ U9 B
204.0        1980

6 ]0 G7 p% r2 }$ w226.5        1990
% Y0 |+ j1 j6 R& V1 C0 m2 D
3 G6 q+ y1 {. ]. b8 H4 {( o. R251.4
  O0 T4 t7 l4 ^. F! t! X- s0 U# g
3 }: |3 _0 Q4 \. c2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
, u% S6 I# B7 f4 P) `  `" t[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
5 S2 B% W- T" _6 L[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

; _0 ?4 B" S% Q/ H于是 满足微分方程：
                       （1）
  F( {- n" C, n0 M' Q2 G$ a% p& R[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
表明： 时， （ >0）.
* ?2 O. I+ ?- d. p[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
& N4 [4 b' ?$ d8 ^/ a$ O4 {通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
, ]6 I. {; x& p, u4 b! @5 a/ [" e6 N[5] 模型检验：
. m$ @3 B# {/ K. r/ n# j/ s: B   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
0 N2 O* c1 c# D- C& x$ c表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
% S  y+ E  o3 H' Q- i) K(公元)        实际人口
（百万）        指数增长模型
9 \- \5 E/ G% r, f0 I1 H5 Y9 o                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
; g. D$ y+ j4 s$ j1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
  B- t3 U+ E0 V3 I- B) ?1830        12.9        13.7        6.2
1840        17.1        18.7        9.4
9 V% \! p- l. x; N4 ]6 W1850        23.2        25.6        10.3
1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
0 o8 w$ \4 X& @9 f1910        92.0        167.6        82.1
( n$ Y5 Z5 S- M) R/ a0 |% o1920        106.5        229.3        115.3
- j. E# u2 K9 n( ^6 \; Y  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
- j4 |/ p! g4 W. m5 C7 r2 J3 J  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
. I" O+ r& X( r. C' z8 D3. 阻滞增长模型（logistic模型）
& W5 L' {% I5 P' z) s[1]假设：
( _7 q! P- m& p/ J5 H- R（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
, x8 H# X/ ~( f& L" n, P（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
. T/ h, ?3 e7 O[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
6 y7 S) i/ b7 I# V
/ ^5 @- L+ |' X7 C- [; k/ u5 a, f) a
. e/ ^; h6 x" R8 R9 g6 [% s/ s
; [$ ], r2 y, Z; f# I2 ~
: _) u6 r( M$ P2 W% w





[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
) m, t: o2 o. z6 X [5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
( z! M6 Y& _: `& W
表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
, g5 [; ~  V( _* f9 y
年
' a# [) L" F7 U' l" D+ R" w0 D        实际
- t( K5 H& V6 F( L* I0 E6 z% F人口
(百万)        阻滞增长模型
  J- _/ N. j: L                公式（5）        公式（6）
. U. {5 P& c: ~3 m5 \                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
8 o/ t8 w8 n0 T, X1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
- l) ]1 |6 Q- P9 \1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
# b3 F% J' L" n+ ]' M1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
( w/ y8 j% B0 E! ?9 l1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
' n7 \, E" q6 M$ t. [1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
$ [, O: b5 H: ~# u% r$ _0 t. G$ }1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
' d* B! _3 v2 Z- V. X1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
; J2 e! ?, i1 O8 n% G9 z6 \1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
: T8 I3 t* _/ y+ a3 i- r0 e1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
! l" l' f3 Y1 |) @8 ?; G, l  o2 K[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
, M9 n: g  p. hx(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
0 }$ L0 f1 ~5 u, L

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