关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）

释永思

关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）：
7 c/ F5 S$ P* t0 T& ~                   2016.04.22
! Z2 {. P! ~6 Q/ \
3 ?9 t/ B1 _! g/ q. ]  ]. F经过弗洛伊德算法的三重循环后，任意两点之间的距离已是最短路。
7 c  y, {7 v/ Y仍用数学归纳法，假设N <= n时，弗洛伊德算法是正确的，要证明，N = n+1时，弗洛伊德算法仍是成立的。
设k = n+1是最后一点。
任意两点间的最短距，如果是不经过k点的，显然floyd算法成立。
任意两点间AB的最短距，如果是经过k点的。
" W) E: v/ A" p( k9 V- j3 G: O设路径为p=A....k....B，如果路径p中所有的顶点数P<=N，那么，把K点加入原顶点集合，把无关的顶点去掉，这三重循环就是N<=n的情形，所以弗洛伊德算法仍是成立的。
6 C; f1 N/ o3 [; y如果路径p中所有的顶点数P=N+1，那么这是一条直线来的，没有任何分支的。要证弗洛伊德算法成立，可能不难了。每处理一个顶点中间点，必是连接一个线段，所以弗洛伊德算法得证。
所以弗洛伊德算法成立。
* ]& i# g) a  L0 V9 E" i
" Z, X2 q, r. }# }  o* t