关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）

释永思

关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）：
, F* k+ L& i+ g7 U( j" L! _                   2016.04.22
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经过弗洛伊德算法的三重循环后，任意两点之间的距离已是最短路。
; f0 ]4 a0 Y9 d6 o' B+ S( c7 n: `# |仍用数学归纳法，假设N <= n时，弗洛伊德算法是正确的，要证明，N = n+1时，弗洛伊德算法仍是成立的。
7 g4 `$ {6 @6 q设k = n+1是最后一点。
任意两点间的最短距，如果是不经过k点的，显然floyd算法成立。
% |, b  U8 d, Z+ d4 u9 n! \任意两点间AB的最短距，如果是经过k点的。
. @; r4 L6 a4 j4 x% L2 ^+ n设路径为p=A....k....B，如果路径p中所有的顶点数P<=N，那么，把K点加入原顶点集合，把无关的顶点去掉，这三重循环就是N<=n的情形，所以弗洛伊德算法仍是成立的。
  G3 |- }# D1 Q* ]如果路径p中所有的顶点数P=N+1，那么这是一条直线来的，没有任何分支的。要证弗洛伊德算法成立，可能不难了。每处理一个顶点中间点，必是连接一个线段，所以弗洛伊德算法得证。
- H* n' H) a2 d; Z2 y所以弗洛伊德算法成立。
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