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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划
C7 V- T9 a! ^1 n" t) H& h(1)线性规划
% u9 {: p7 p. n. ~* q1、含义的理解
3 d5 Q" Y& z2 T3 z. u线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法,英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支。2 u' d' J+ Y+ A0 o4 _$ a2 ]
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中,提高经济效果是人们不可缺少的要求,而提高经济效果一般通过两种途径:一是技术方面的改进,例如改善生产工艺,使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进,即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是:在一定条件下,合理安排人力物力等资源,使经济效果达到最好.一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。) z6 J3 P8 F+ P6 A3 T; x
2、线性规划问题的数学模型的一般形式和模型建立; B7 @; A' Q( _$ ^2 Z6 Z/ ?7 o
(1)列出约束条件及目标函数 (2)画出约束条件所表示的可行域 (3)在可行域内求目标函数的最优解及最优值(实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤:根据影响所要达到目的的因素找到决策变量;2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数;3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。)* e, b! J% H& G, n, s
所建立的数学模型具有以下特点:
3 c' N' `, g- {- _$ U. j! A(1)、每个模型都有若干个决策变量(x1,x2,x3……,xn),其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案,同时决策变量一般是非负的。
9 e* ], E, F2 D+ F4 F(2)、目标函数是决策变量的线性函数,根据具体问题可以是最大化(max)或最小化(min),二者统称为最优化(opt)。
# S9 ^8 _" K+ {% n5 ~(3)、约束条件也是决策变量的线性函数。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数,约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。2 L1 x3 F! h/ ~ ?* p, h( h( J. }
3、实例
3 @! c9 f6 Z5 I3 Q8 N- g+ q0 }; f+ s生产计划问题$ F8 X) U) r* E# {
问题:
; C! _! H7 T% e3 j7 [/ F* N" {某企业要在计划期内安排生产甲、乙两种产品,这个企业现有的生产资料是:设备18台时,原材料A :4吨,原材料 B: 12吨;已知单位产品所需消耗生产资料及利润如下表。问应如何确定生产计划使企业获利最多?& ^( K2 k: S6 _
产品" t% l4 a; A1 k8 d* y' ]
资源 甲 乙 资源量
. v' E( g% C/ Q: [+ T! I设备/台时 3 2 186 `" j, M3 ?( J
原料A/吨 1 0 4# j" `/ n: [5 Z* W
原料B/吨 0 2 12
$ p# q7 B% _5 _( J+ S4 N+ P单位赢利/万元 3 5 ; t+ a! C( {, p- X/ V4 [: }5 Q
设x1为甲产品分配的设备台数,x2为乙产品分配的台数。则/ L# r, @0 }; k! ~4 l
条件限制为:; a% L+ z8 G! R% m- r
3*x1+2*x2 18
, C# e7 P0 v% H3 L) B4 t1*x1+0*x2 48 ~! W) e5 Q2 \3 W% q x( h" _* E
0*x1+2*x2 12' j5 U" v7 \) w( e$ Z F' O, H* j
x1 0,x2 07 z' U7 G' `& W
求max z=3*x1+5*x2, z# R+ N0 J& e: [0 R) z
用lingo编程,程序如下:# s5 C$ T" j% E# B7 ^
max=3*x1+5*x2;" b, e/ t* k4 n4 N- M9 k
3*x1+2*x2<=18;
J! r" R$ N- Q a- ox1<=4;
' Q# P" l& q1 t1 ]/ Ux2<=6;+ z, y! @. e5 s ~( n, d) `3 d
x1>=0;, t$ r8 I- T8 }5 |2 R& W
x2>=0;
' i8 N5 q. K% W% y0 L' e9 t结果为:
) I+ @& d6 o* d' A& ] }6 gGlobal optimal solution found. b/ X1 _4 {# ^- K0 b7 B7 E0 ~
Objective value: 36.000009 v: z; ~8 o$ y+ V1 { ?3 k; Q1 `1 r, {
Total solver iterations: 1
7 o0 `9 ^1 G/ x1 O Variable Value Reduced Cost f- A0 e5 a8 D+ i% n
X1 2.000000 0.0000004 O; |4 {: A* }! A2 k/ m
X2 6.000000 0.000000+ m, L. l( {. ?' u4 K
( F, {, v) z- R. G( M Row Slack or Surplus Dual Price
4 Q9 j/ D& w0 C* u$ Q 1 36.00000 1.000000! P+ u8 {8 Z/ O q
2 0.000000 1.000000
# x9 q- T, b; k4 f; z M$ j0 z" E 3 2.000000 0.000000. t0 O* p- I3 S! L( r) x: Q
4 0.000000 3.000000! v: }2 P3 r) U6 G4 e6 P
5 2.000000 0.000000
% y: D- }9 D* ] 6 6.000000 0.000000
( ]0 ^% y# m# M1 Q即在x1=2,x2=6时,企业获利最多,为36万元。6 D' Y5 h, _5 e: p
4、线性规划的应用
% f) ~9 ]8 M, m- ~5 f3 N9 P5 S在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题,线性规划是指从各种限制条件的组合中,选择出最为合理的计算方法,建立线性规划模型从而求得最佳结果. 广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策,提供科学的依据。
" y. p' m( U( `0 _) x8 X(2)整数规划
+ G' s2 H- ~- m/ u一类要求问题的解中的全部或一部分变量为整数的数学规划。从约束条件的构成又可细分为线性,二次和非线性的整数规划。 在线性规划问题中,有些最优解可能是分数或小数,但对于某些具体问题,常要求某些变量的解必须是整数。例如,当变量代表的是机器的台数,工作的人数或装货的车数等。为了满足整数的要求,初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。实际上化整后的数不见得是可行解和最优解,所以应该有特殊的方法来求解整数规划。在整数规划中,如果所有变量都限制为整数,则称为纯整数规划;如果仅一部分变量限制为整数,则称为混合整数规划。整数规划的一种特殊情形是0-1规划,它的变数仅限于0或1。不同于线性规划问题,整数和0-1规划问题至今尚未找到一般的多项式解法。
( M! m4 s3 o& \组合最优化通常都可表述为整数规划问题。两者都是在有限个可供选择的方案中,寻找满足一定约束的最好方案。有许多典型的问题反映整数规划的广泛背景。例如,背袋(或装载)问题、固定费用问题、和睦探险队问题(组合学的对集问题)、有效探险队问题(组合学的覆盖问题)、旅行推销员问题, 车辆路径问题等。因此整数规划的应用范围也是极其广泛的。它不仅在工业和工程设计和科学研究方面有许多应用,而且在计算机设计、系统可靠性、编码和经济分析等方面也有新的应用。- n3 H& o1 ?! M# f( c9 p) K
整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的 。解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题,称它是原问题的衍生问题。对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题(衍生问题称为松弛问题的源问题)。通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿,即源问题应被舍弃,还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。随即再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题,重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。目前比较成功又流行的方法是分枝定界法和割平面法,它们都是在上述框架下形成的。2 k2 `- e2 l6 W a/ G0 v3 }: \
0-1规划在整数规划中占有重要地位,一方面因为许多实际问题,例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划,另一方面任何有界变量的整数规划都与0-1规划等价,用0-1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题,所以不少人致力于这个方向的研究。求解0-1规划的常用方法是分枝定界法,对各种特殊问题还有一些特殊方法,例如求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。+ l; t4 V" x8 G8 j! L/ h$ u8 I
(4)二次规划
, P4 G% b% x+ ]5 L- m4 k+ s v二次规划是非线形规划中一类特殊的数学规划问题,它的解是可以通过求解得到的。通常通过解其库恩—塔克条件(KT条件),获取一个KT条件的解称为KT对,其中与原问题的变量对应的部分称为KT点。
3 d$ N, N4 v5 Z. I; ~二次规划分为凸二次规划与非凸二次规划,前者的KT点便是其全局极小值点,而后者的KT点可能连局部极小值点都不是。若它的目标函数是二次函数,则约束条件是线性的。由于求解二次规划的方法很多,所以较为复杂;其较简便易行的是沃尔夫法,它是依据库恩-塔克条件,在线性规划单纯形法的基础上加以修正而成的。此外还有莱姆基法、毕尔法、凯勒法等。; n U- b4 ^3 D7 n3 R) T- i
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, p+ {% h+ d- T$ }# l! B. n1 K9 f; l' ~
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