[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]： : m: {2 N) A3 s

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

/ u, ]7 d. h8 w5 @4 a* n# n

' ?& ?$ E$ X& B$ L' T% b0 _) |

移项，得

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

& v, k% V+ }7 f1 s5 J

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

7 F8 s3 Z9 v- w7 d# H

! Q( ~) [5 R9 Y) ~, r

% Z" U* `4 k5 e# h2 K; j b

二种方程筛的比较

* C* _1 F0 N1 x, w/ { R( u

包学行

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

7 ?, X5 s9 B* M- s% m

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

' C+ u1 |2 w7 ]( N/ k/ O. I

（2）

?4 F3 L) w8 p

上方程（2）中的

9 n3 U3 R6 i2 w; B0 k& N. i* m

（3）

- c! S1 `( d+ \0 ?

该方程较为复杂。

% u* w" V3 _! ], l

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

; a7 Q2 t: V9 _- Y7 H+ C' c2 o. l

0 M& }3 g6 w) Y8 G$ o# L/ M( u3 A% M* j2 S; _0 P( S }) b* U! P! U, }& ^4 D' I, d2 J! B0 U* J& C, k( U$ v5 _# U t1 N$ {3 A4 G6 C4 l: Q# G* [* |% A2 n1 ]0 ^ a1 a1 h+ E% Z, y2 v2 N& U2 D" O& n6 F* y7 s6 y/ F1 {+ t2 a* q( Z. t6 G+ m2 F2 Y8 I k [" x1 k$ K

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 / l0 r5 u. N+ ]" D L（对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 * k6 i; p: @0 `' c# w3 v小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。

& v4 K, o. S) {' j' ?* H