[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

! J, S# Y: h: v" \- D6 v: L6 f

& d: u- A: m: t' B

移项，得

- X% T9 W5 k- f$ y

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

- A. O/ Q: z0 j) z4 _

1 P& S. h6 i- i5 F* O( S

二种方程筛的比较

包学行

5 o4 J% Z+ k4 y# T! A7 |4 }

. j( }( p( f# C; y$ }, q5 z

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

, _6 [& ?7 E7 \

（2）

% v1 g$ ]- T/ o& r6 |

上方程（2）中的

（3）

8 {8 ]- x/ B) ~) D0 {

该方程较为复杂。

4 [( I4 o& Y S" h: C) Y

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

, e- z) Q2 I# M( }3 h. i) t& G7 U. O% r9 b8 H" c; Q( J. A p/ \( }' f6 r/ G6 F1 H7 y" E% Y, E) ^1 l) [0 f% @) U9 q; z% W/ s+ i2 R$ S' G. B) b! I, u% X6 p+ X5 J) A" T& ~1 W5 z& a6 V6 q& J' {4 H! F- H; l8 H/ H- p. {2 V, T; u1 j0 e( G& x( |6 C$ M, o8 X2 F4 c$ _7 }7 _( `2 o' x( S# ]+ Y* g( l8 p3 E5 d) ^5 O; t

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 8 v: {; `( J& @/ ^小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 : f" I* \+ P& e1 {, z（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。