[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

6 s ^9 ~7 c. u+ \0 E: Y

4 C9 ~1 @% w0 b9 C% w$ U

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

3 C H* l1 w- E$ G' E7 Y# P- l; ]

移项，得

% x) w! n9 C3 ?$ B" R# J% X

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

* [, u2 Z$ N" j; p# X

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

; K! [; f$ @8 G4 G) A0 M5 }! A

二种方程筛的比较

( Z& T; Y' \- u# f. t4 p$ c

包学行

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

+ I( t' R& b5 y) Y9 X% }

（2）

# f) R* y- A4 j& u1 V6 @: h

上方程（2）中的

（3）

该方程较为复杂。

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

! m( T3 R. ]! A

$ X! S+ _* N b% C6 ^% ]8 b0 _) a( q! a. `* E, M% B* k" r5 E+ D, E3 T0 s! S4 U. M$ G( @% V/ {0 \- A3 f2 O8 P, H* s# d" m/ w f6 w7 a3 i6 ^2 U: u( j! `1 V3 E: q8 u0 Y3 N9 M; Y6 i* `- @- R" R' c, M' Z% C: D* }3 m" Z8 P% I8 s3 J/ F* S+ [1 s0 [$ D0 W3 R9 q, w$ ^) n" T5 E) ^" @& V7 H# g( C/ E5 }/ V$ V) j3 ?% `3 d% f0 D/ o# w1 Z0 q, k/ k4 y! C, F' o6 w8 k# r

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 0 P8 N2 c# |- V& p% _（对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 " z2 H1 z" m O# F（对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。