[原创]实力论文 jpb2：推证哥德巴赫猜想

god

程平 先生：

你好！

9 c% S5 p) l+ v* H4 r# ?4 ~, w

现在对《推证哥德巴赫猜想》一文进行补充，希予改正。

5 S( t9 M4 n6 o

推证哥德巴赫猜想

通俗易懂，清澈透底。

名词：对称奇素数。

0 R# P, w0 o: O1 ?$ n' ~

内容：提出和推证等价哥德巴赫猜想，推证哥德巴赫猜想。

1 -------- 对称奇素数：

+ W# u% F z: s- g8 b ]

设不大于偶数 N 的奇素数是 si，合数是 Fi，则：

8 J/ j0 F% P$ _" `- S0 t7 B3 G& N

N-si 称为 si 的对称数。

N-Fi 称为 Fi 的对称数。

# e* p" K# S: I* A- x

若N-si是奇素数，则称为 si 的对称奇素数。

若N-Fi是奇素数，则称为 Fi 的对称奇素数。

例如：

偶数 N = 6，不大于 6 的：

奇素数 si 是 3，5，有2个。

2 M7 k2 x5 Q% ~ N+ L) B% d. O+ u4 ]

对称数 N-si 是 6-3=3，6-5=1，有2个。

对称奇素数是 3，也就是说，在2个N-si里面，对称奇素数有1个。

4 {* f7 Z' D0 U( Z8 J4 C0 M

合数 Fi 是 4，6，有2个。

对称数 N-Fi是 6-4=2，6-6=0，有2个。

9 l. p- X0 ?* u( G- w8 T

只有对称素数 2，也就是说，在2个N-Fi里面，没有对称奇素数。

N = 16，小于 16 的：

奇素数是 3，5，7，11，13，有5个。

4 p+ v8 M: V! L

对称奇素数是 13，11，5，3。在5个N-si里面，对称奇素数有4个

- u- W" `! | d$ B# {5 ?( ?

合数是 4，6，8，9，……，15，16，有9个。

; j: ]9 k& g9 E6 W- C1 c" N

对称奇素数是 7。在9个N-Fi里面，对称奇素数有1个。

" |9 R- p7 A4 P

2 -------- 等价哥德巴赫猜想：

设不大于 N 的合数有 F 个, N-Fi也有F个，得：

+ q; n! ^$ H* | r( A4 @& h

N > F -------- (1)

) X6 x2 n0 h& Q2 z* W3 M

设不大于 N 的奇素数有π(N) 个，在 F 个N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个,由 (1) 得：

2 x7 o2 c9 \4 H$ l4 f! u$ J0 E

π(N) > π(F) -------- (2)

+ }1 b; J! r, N; k! R9 N4 ^7 c

这就是等价哥德巴赫猜想。

这里需要注意：π(N) 既能认为是“不大于 N 的奇素数个数”，也能认为是 “N 个正整数的对称奇素数个数”，但是 π(F) 不能认为是“不大于 F 的奇素数个数”，只能认为是“F 个合数的对称奇素数个数”。

例如：

) f* W5 K, C1 }0 ^1 O7 s

N = 16，π(N)=5，π(F)=1，得 5 > 1。

对于任何有穷偶数，(2) 都成立。

3 -------- 推证等价哥德巴赫猜想成立：

+ i0 a$ h \ b: ?/ b+ p

证等价哥德巴赫猜想有穷成立：

0 f7 I4 O) B+ p3 a( p7 x6 p

根据初等数论：

- q1 @" z) }/ F' e5 X/ T

设在 N-si 里面，对称奇素数有π(s)个, 在N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个，则：

π(N) = π(s) + π(F) -------- (3)

对于任何有穷偶数，(3) 都成立。

例如：

N = 16，π(N) = 5，π(s) = 4，π(F) = 1，得 5 = 4 + 1。

1 I! B0 c3 }2 V r( @$ H$ f3 b

设1不是素数，计算时不计入1与 N-1。

8 i' M* C) q! r3 H2 D2 V

根据 (3) 很容易判断，对于任何有穷偶数，(2)都成立。

也就是说，等价哥德巴赫猜想有穷成立。

证大偶数等价哥德巴赫猜想成立：

把F → N 的偶数称为大偶数。

设不大于 N 的奇素数有π(N)个，则π(N)/N 称为奇素数的出现比例。

+ y' [( O O* Y2 v

设 F 个合数的对称奇素数有π(F)个，则π(F)/F 称为对称奇素数出现比例。

1 P0 {% u5 D( g# }

根据数论知道：

若N → ∞，则F → N，得：

) P& z m. F# p7 y1 j2 L

lim { F → N } （π(N)/N）/（π(F)/F ）= 1，变换得：

+ s9 S$ N U0 R# _7 O8 x

lim { F → N } F π(N) / N π(F) = 1，由（1）得：

N π(N) / N π(F) > 1，变换得：

( G3 n, B1 V. @& b

π(N) / π(F) > 1,

; t& i9 U0 f5 h9 [: s8 w3 K1 s

由此得：

6 W; U6 [+ U: v- E J9 w% H1 ]8 b) v

{ F → N } π(N) > π(F) -------- (4)

4 F, G9 Q3 ^5 j. j' t

由 (4) 确认大偶数 (2) 成立，也就是大偶数等价哥德巴赫猜想成立。

, n q) K* ?4 S& N; z$ R

由以上确认等价哥德巴赫猜想成立。

4 -------- 推证哥德巴赫猜想成立：

3 ^: e4 z! I* K, U9 H! G( d

由 (2)，(3) 得π(s) = π(N)-π(F) > 0，由于 π(N) 与 π(F) 都是正整数，所以π(N)-π(F) 也是正整数，最小的正整数是1，由此：

2 |1 U, Z! T$ U2 U! ?* m; \4 u

π(s) ≥ 1。

这就是说，在奇素数 si 的对称数 N-si 里面，总有一组是对称奇素数，所以任何偶数都能表示为 2 个奇素数的和：

~% o* m7 c, `

N = si + N-si，

哥德巴赫猜想成立。

9 m( c/ J( S) O+ s! U7 @; }

参考资料 1 -------- 比较：

( ?6 R; K4 o8 ^; S0 y) ]8 o

N--------1/lnN-----------π(F)/F---- 1/lnF

10^3---- 0.145-----------0.135------ 0.149

10^4---- 0.109-----------0.111------ 0.110

10^5---- 0.087-----------0.088------ 0.088

10^6---- 0.072-----------0.073------ 0.073

10^7---- 0.062-----------0.062------ 0.062

; n }4 c. J7 o# f0 h5 y* u5 B

10^8---- 0.054-----------0.055------ 0.055

& p* y- w2 u e6 G" G/ R2 a, ^8 P

10^9---- 0.051-----------0.048------ 0.048

1 s# _$ ^4 p; E

10^16----0.027-----------0.027------ 0.027

$ m# W% `/ t% k$ c: C& s

10^21----0.021-----------0.021------ 0.021

对称奇素数的实际出现比例 π(F)/F 逐渐趋于计算值 1/lnF。

对称奇素数的计算值 1/lnF 逐渐趋于奇素数的计算值 1/lnN。

6 [" {! B. e+ ~+ U7 b x/ b) p! w: k

理论符合实际。

参考资料 2 -------- 大偶数哥德巴赫猜想的计算：

2 C/ ]1 R* X+ }( @4 x, a. l$ P

设不大于 N 的奇素数有π(N)个，合数有 F 个，则：

N =π(N) + F + 2，得：

π(N) < N - F -------- (1)

' m$ V6 N' D6 e8 g0 z7 I

根据 (1) 由数论知道：

π(N)→(N/lnN) -------- (2)

同理，设不大于 N 的 F 个合数的对称奇素数有π(F) 个，得：

π(F)→(F/lnF) -------- (3)

设奇素数的对称奇素数有π(s)个，由等价哥德巴赫猜想 (3) 知道：

2 r- w t6 E( Y* [. X6 X" j2 t; l

π(s) = π(N)-π(F)，再由 (2)，(3) 得：

. S" `: L% U' u) j4 M2 M g7 ^) s: q

π(s)→N/lnN - F/lnF -------- (4)

8 [2 E1 \' _" s' g' d/ X

由 (4) 得:

, U `9 X* ]0 m5 h

π(s)→N/lnN - F/lnN = (N - F)/lnN -------- (5)

根据 (1)，(5) 得：

/ e% y- [5 c: n( n" \0 a: \

π(s) > π(N)/lnN -------- (6)

由 (2)，(6) 得：

& g( G2 ?5 F* A: @1 U# P7 X! s

π(s) >（N/(lnN)）/(lnN) -------- (7)

变换 (7) 得：

π(s) > N/(lnN)(lnN) -------- (8)

计算式 (8) 表示大偶数等于两个奇素数的和的排列数。

" g8 Q$ f1 d3 R5 } P # v" s5 \" d+ v: S* Q* F. i8 a% }2 l

哥德巴赫猜想方程

基本名词：哥德巴赫猜想方程。

主要内容：确认哥德巴赫猜想。

1 -------- 差值方程与均值方程：

设不大于偶数N的奇素数个数为s个，奇合数个数为f个，N表示为2个奇素数的和的个数为x，表示为2个奇合数的和的个数为y，表示为1个奇素数与1个奇合数的和的个数为a，表示为1个奇合数与1个奇素数的和的个数也为a，则有方程：

s=x+a，

f=y+a。

若设1不是素数，则不计入1和N-1。方程s=x+a与f=y+a之差，称为差值方程：

) @$ Q! \% r( N

x-y=s-f -------- (1)

根据 (1) 得均值方程为：

x=ss/(s+f) -------- (2)

3 n. x! B9 M, q2 X& E$ f

y=ff/(s+f) -------- (3)

把方程(2)，(3)代入方程(1) 得ss/(s+f)-ff/(s+f)=s-f，变换得：

! I W) K; \. f* r

ss-ff=ss-ff，由此确认均值方程 (2)，(3) 成立。

2 -------- 偶数表示为2个奇素数的和：

这里讨论 s < f 的偶数。方程(2)与(3)之比为ssy/ffx=1。

设一般为：

- h7 ^8 j& N* X& }$ T8 U P; G

k=ssy/ffx -------- (4)

变换方程(4)得y=kffx/ss，代入方程(1) 得x - kffx/ss =s-f，变换得：

x=(f-s)/(kff/ss -1) -------- (5)

% w9 j5 c. W7 J

把方程(2)，(3)代入方程(4) 得k=ss*ff/(s+f) / ff*ss/(s+f)=1。

8 ^$ n B! J% m+ Q

设k最大为ka，以1为对称，若k最小为kb，则：

(ka + kb)/2=1。由方程(5)知道，若k最小，则x最大。

% I- X) {* Z1 B3 o* V- n

由方程(1)得x与y的最大值是x=s，y=f，代入方程(4)得:

4 \' x) p! e) D- l2 Y. R& a

kb=ss*f/ff*s=s/f。

7 a5 R% p4 v. `0 q, R1 Q

把kb=s/f代入(ka + kb)/2=1，得(ka + s/f)/2=1，变换得：

, w- ~, g) g: P( ~0 `0 @

ka =2–s/f。

8 I7 @% l9 E8 l6 _7 [$ [* _

例如：

N--------s--------f--------x--------y--------k ------ka------kb

21000----2358----8140------1092 ----6874----0.53 ----1.71----0.28

21002----2359----8140------340------6121----1.51 ----1.71----0.28

21004----2359----8141------380------6162----1.36 ----1.71----0.28

21006----2359----8142------686------6469----0.79 ----1.71----0.28

由k的最大值ka=2–s/f，得k < 2。

3 a6 N ]+ A9 X$ v0 U3 j/ A0 `% \' s

由方程(5)，若k < 2，则：

x > (f-s)/(2ff/ss -1) -------- (6)

7 U, a/ Q7 a) A: W1 w) A

由(6) 得：

x→(f-s)/(2ff/ss -2)

=ss/2(f+s)，由2(f+s) + 2 = N，得2(f+s) < N，由此得：

" X, U, ~" d4 b9 M# V

x > ss/N -------- （7）

由不大于N的素数个数π(N)=s≈N/lnN，代入(7) 得：

x≈N/(lnN)(lnN) -------- (8)

由 (8) 确认哥德巴赫猜想正确。

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不要白费心机了![em16][em16][em16]