数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
2 }5 q, U6 ^1 \1. 按模型的数学方法分：
8 z2 ]! L+ ^' J3 I% a# w5 A几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
3 B" y4 n% e+ l# ~/ Y' I1 v2 V2. 按模型的特征分：
% a8 p. x# s1 R) m9 Q静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
8 }4 ~  _1 v5 i$ o性模型和非线性模型等。
. k5 C" Q8 R9 Z) I1 x3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
# C" D6 V& ^: b  n# |0 `! ?; }预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
; r* o: J2 J! m一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
2 F. p/ R; ~& w) }5 M) T/ ~往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
0 r3 q2 ^$ J; f0 w; c有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
7 N& K" @1 m% @) D; B- f6. 按比赛命题方向分：
: U0 ?; _( D0 [& t& n! A国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
& u7 `$ c# R: @4 A. V数学建模十大算法
9 V% K! `7 T% b1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
. p( `4 N' f# W0 l2 H4 q% @以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
  h: w! v7 s7 D& r7 Z. W- ?; g建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
5 h# W$ ^1 k# U+ X! `& Y: }8 {0 m# \这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
0 I) K5 @0 v$ |2 w) n+ g1 X5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
1 j& _0 t8 b0 t$ n- i; w3 k; n这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
+ o" a" j. _3 K8 n$ n; h  X2 ~7 j8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
" q0 q1 T) X: u据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
0 Q  d/ I  V% J! b0 W4 s: n行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
# Z" ^$ f/ |/ S8 Z* j9 K. {3 s解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
0 C4 W# T# ]6 c1 _% S! h/ b个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
3 t& L1 Q0 u8 q& U/ r7 B②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
, i* b+ J* a6 w/ d& a7 H微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
9 Z3 z& B' C0 Q5 M$ u9 f: }其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
, R, J) J3 ~+ ]0 w+ C# [& X& G求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
1 g: Z  P- p* j; [7 I) q6 d化； 样本点的个数有要求：
# K8 \! V2 f3 t! Z①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
+ U/ t: i& P3 j0 B. B& j* B8 \+ t②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
1 F; s" x5 I% z一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
8 ?) M7 q/ j/ c' b/ j& T* }4 H互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
# b" p/ \7 S4 f/ X（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
6 b" g. D8 B" g6 Z" \: ]# c数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
* [: K/ E' f& m+ r预测波动数据的函数。
" b  `0 I- O' L: k. O# W7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
$ \. `% {: H% Z; K适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
" N  G, J! q9 K' S* Y6 r在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
. N5 l7 f0 f0 C9 s3 m6 `% z逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
6 W, u/ \" ^' y1 i5 ?评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
- z. R! w8 g7 F0 `12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
5 p8 N9 {+ s( [$ L5 ~( E6 x8 r+ S法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
- t8 F. g0 a+ t" y似。
& J' R& D2 X/ T14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
. W: y& ^' ?2 Z, w1 R解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
; z  H7 K. N, y% o" w' x15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
7 c3 N- t6 K; K  ~$ ~可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
" Z( Q  z5 B+ T* B* M6 }* b4 K- }来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
+ O  o  U/ T, p$ H% I, l该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
, Z  o2 _) z: L8 P8 X. C, Y* J0 U方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
8 `: @5 q& H" k协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
0 {5 D: ^6 u# ]9 e( a; ?" A素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
3 [# d) O* y) w& B* D17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
# u& w7 ]7 H6 F$ h) p! {- R模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
9 p: v0 b2 N& }1 g  e) Z* u非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
) k8 p& b" ~3 p9 s8 U算法、神经网络、粒子群等
( {6 ]- I2 v& L其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
9 h1 D5 j5 h% l% W& d0 R19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
& Q4 T! p8 Y. i" @即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
  ~( h/ u& L: S! s6 h有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
5 P" J! m0 E% }' q' ?计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
% U0 A( |# Y# \1 z) a, lMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
5 ]) a4 M. V0 q6 F# n  m8 S例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
) o' [" h" P) [6 P. b* _# V射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
: H$ o$ D; Q+ [% Z5 K* Y+ ]& e23、 、 多元分析
: n1 }9 U& @5 f# ~5 e$ F9 L1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
" N- \5 t6 u: Y& w& N) K" r+ @各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
! H& Z: V6 k; ?从而达到降维的目的。
: w* i2 Z* [2 ^4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
% l9 b* K- f9 y; A# g5 x8 G1、距离聚类（系统聚类）（一般）
' y+ m  o0 a, H& F. p2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
/ w3 Y9 O  l5 y: H9 y  s5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
/ A# j6 V7 f. n1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
7 e: l' q& @( }; ], x1 H  u' z8 t+ U3、Person 相关（样本点的个数比较多）
5 ?  ?! n1 P5 V! ^$ t' F4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
9 t& m$ J% N& d" r4 `2 Z5、典型相关分析
( c4 D7 H3 S3 m' i# {* v（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
. T% H, o, H$ C; N2 l6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
0 U- g1 f3 x8 m5 S7、生存分析（事件史分析）（较好）
6 d& _4 W4 @* Q  k9 s  p数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
: S2 a: Y" Z2 h1 K' y计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
- M7 M5 v+ [# J5 x2 H9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
$ i  {) S; U, P6 a9 Y率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
  ~# \; H) E1 j* _

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