数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
7 ^; f' |! A0 ]0 S: d; K$ ]5 {( y1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
8 P/ A7 x) Z1 f; m% ~6 ^型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
* e& H& R# d0 |2 V3. 按模型的应用领域分：
8 `' p, i3 s& j9 g人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
) a0 d7 k: W3 T. s: R' \4. 按建模的目的分： ：
% o/ k1 r$ x, l8 l预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
; `  R) f; b4 r# |5 k" f有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
" W( i; Z8 q1 O8 A6 O比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
$ J" u, {2 G' m. N/ b以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
+ ~/ V0 C: g& V2 G0 J( n" g# S6 q2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
) |/ ]1 |/ x5 W9 |% |通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
' o& n) m8 Q0 Y. }) q( E法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
8 r' w- [$ \: l6 R7 v: L& r论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
* v: ]' {! X" l# e8 B! `5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
4 n+ u% C! b7 j: u# O7 a6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
7 F( G8 N; D6 U6 ~' x帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
" d% c3 Q, h) b. D0 S7 S) e当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
/ ~- P5 ?1 A. _! P2 k据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
4 u* U4 P, G$ E) J9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
$ B2 f  ^2 E7 C( C$ \10 、图象处理算法
! u/ s/ t) W9 k1 S; }; I6 `赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
! j; W, w' P- S* o, e& |" z的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
7 t- }) c4 t' e$ e& ]5 R算法简介
2 t; Y- A: B$ y) W9 v" o1 ^1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
1 T* w+ i6 X" o7 b# o②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
  b# C/ x4 ^' s4 I3 [4 ^& i7 i+ [5 o2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
* |9 u$ l# L3 {: }其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
2 [! Z# T6 D* S* W1 S3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
* Y9 I9 M. _0 i% S4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
" n. B5 J  L1 J( q一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
$ h* f2 M3 w8 G概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
+ H' H0 i3 [8 a3 t4 e: m  I（较好）。
& |- G" F+ ?8 J$ K0 H! b/ d; S" |6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
- z' g9 d* j$ I/ p8 Y% |1 G预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
/ m/ z: S) q: M( a1 ~* f# x预测波动数据的函数。
  Z: d, }# [  j( \6 O/ C2 F* p7、 、 神经网络 （ 较好） ）
0 B( |' @  o* Y( Y6 L' x: F大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
9 n0 V$ F: f2 \' m3 |. s: q% S: _办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
% `$ p6 g# M! \, h" n$ s8、 、 混沌序列预测（高大上）
, f* b& _2 L) V: @, p6 n9 W6 y适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
; Z1 y  M# u9 z3 n% I3 v- _9 f9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
& a8 I; S4 E- A  f在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
; U' l; w' [; i) u# ^( D" S+ U逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
  \9 |. ?& W+ t+ {& q6 y10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
( U* K0 m% {+ c3 P  ]: T6 M11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
2 v( U8 H+ p- I* z* k作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
# H, X# \. j  P. A4 {12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
, A" E* `: l0 g4 P4 r" f5 L  o" J优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
% T! o9 L5 G9 F) ?法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
: t- W6 J: q7 m5 H, v0 p似。
6 h* Y/ m. C5 z8 l- n& ]$ {, W14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
7 z: c- ~0 W5 i% b5 b解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
; z+ T4 y2 h/ u* p的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
' p' U" |. |; ]* N可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
8 E# o/ j# s  K- z3 k来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
$ X  p+ e1 `# X2 |% y* S* C7 ]该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
5 S& I* ^4 F3 j/ v量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
2 E, \( r) `2 L' C8 r8 N& k2 U0 B3 P素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
3 s& f( D0 Y% h5 I此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
: H0 K( O6 M# ~模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
$ S' L' {# `- G6 ?. v非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
+ |+ }+ ]- q3 v8 ~. {9 }8 k  ~# f' t+ _智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
0 z7 a. X# @  \2 _6 ^- f算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
( G2 k  U" j4 N; ~' l& G2 b- a! |3 e19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
; t, ]  [3 s2 k0 Q排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
8 E. T' `: d, J' A8 }. _3 l; w" e" s即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
8 ], J( e5 t; u% c计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
$ K$ [% E1 _4 T; D" E9 K般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
+ M+ e5 V; G; n0 v21 、图像处理 （ 较好） ）
2 D+ }6 E0 v  j/ L% OMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
8 k* K. }; f* D. _1 c9 }! y  S支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
+ i- k3 Y0 q3 Z: \$ o6 J' ?: l6 ~/ {23、 、 多元分析
, e1 l8 e" b, A3 s# H5 L1、聚类分析、
: K: t* a8 ~9 G. y2、因子分析
: E, K2 \3 h9 I1 [3 _3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
% I  _; Y- ~* z: V- t- N: \9 l/ M从而达到降维的目的。
# l8 }' X  u* ~; f4、判别分析
5、典型相关分析
' e9 [7 s+ n0 E& [& L; u5 i1 `6、对应分析
7、多维标度法（一般）
" ?6 G% k: d5 y. o7 b1 @; U* w8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
  A( K. D6 \: N3 w3 ^3 s/ b主要包括以下几种方法，
0 S7 z; V( H/ _1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
  V! ?+ Q6 ?; n6 Y8、模糊识别
. x+ A8 a1 N5 }* i: b9 x! k8 G25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
! r! z9 r0 v& @7 k' }! q3、Person 相关（样本点的个数比较多）
; g) {' H0 ]# p( J, m4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
3 N- b3 ?& p' Q! v$ E6 w/ z  u5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
! P- G0 ~9 \% h# M5 M6 U* q一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
  A. _3 \, l* F6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
: O  u- y- Z1 ?5 e8 O/ Y8 M3 X4 E5 n数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
: Z* c; C0 y7 q7 q# ]$ [0 v+ R8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
! e/ Q# n5 d6 w" u! L$ ?9 ?) X& U26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
% k- j6 o4 c6 X0 L' j/ T率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
5 p' E) H5 f9 _

* w# |" @8 M: ~0 X5 V