数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
* S; m* z* V3 T! K: ~型、马氏链模型等。
; ?7 g" G5 }5 [2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
5 Q9 ?8 v% z2 X. M. ~性模型和非线性模型等。
* H7 Z9 |( ]3 s3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
( t8 l) H; N' z5 y6 @6 H5 P8 p往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
% X- c' x/ ?& `# {& m5 r+ m6 p: p有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
. I  T  i. y/ v8 v* e0 I比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
4 q7 D& G0 m6 ?6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
" U! @0 F* Y6 [数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
4 M& _- Y+ t' f$ h2 n5 O该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
5 y* ^: e3 x, a) J* D+ {2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
: i0 N  }% p- B8 p8 j通常使用 Matlab 作为工具
) c+ t3 x/ s" `; P% w3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
7 \& X9 a; c. t$ e法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
7 }7 z& ?3 L* s3 D8 e1 S& n4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
( ]7 J6 }" M0 N这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
" u2 [- f8 M3 P, [& \  }当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
' m( Z. J  P& L, d一些高级语言作为编程工具
( G- M' m. B% {+ E! m7 W! e+ K# p8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
( c1 G8 Q! \* g8 N8 V3 R据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
9 ~& }" }( u8 {4 [7 C: K. z8 u+ j如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
1 ~4 V6 m3 {4 C( T" j3 ^赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
, c$ T5 _' j: ~- `2 G的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
( ~2 R* ~* O  t7 [4 m1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
  y4 l. G( f9 F8 p$ N$ H1 w$ J个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
- U" s, Z2 R5 w* {" z; c: y3 h②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
+ |1 G; d9 l% z, V6 C( j8 T. e4 ~微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
- X8 N( o( P0 C其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
' e7 L. x5 w2 X- z7 X$ c* h3 、回归分析预测 （ 一般） ）
( d6 C2 t) b. [9 s' h: M+ Z8 W求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
& ?( `, S: N" U) @, z: n一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
" @. K+ i3 H7 N概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
; V. g1 w7 x. Y% f1 e# ?3 s# H（较好）。
' q- u/ m5 q# P# z8 C- g6、 、 小波分析预测（高大上）
$ C4 [; [' d& \' Y数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
5 w* ]: t8 V; t  G$ v. K& B7、 、 神经网络 （ 较好） ）
5 B7 U# r; ^" v4 J( W6 ~' d1 ?大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9 ?5 {8 P7 i0 q! T4 C9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
( j' j- D( ^& E3 r% u" y( A拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
5 [: f- J$ d% k' E在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
9 f& ?( u8 P8 {' s0 A逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
9 }' H/ e. C' ?) ]! G11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
' _3 U/ I! I2 ^) I作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
8 A- P3 F* L- l, C+ b2 @+ ^1 O/ T  G13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
) F# r7 I/ P# U" Q8 F1 I, r秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
* Z- n" V1 g! R  G  J法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
- t7 `& l. U6 {1 b3 s似。
- k4 K6 o2 {5 [. f# A$ M14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
+ y0 `2 D& b) _2 ~- q; F其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
" ^2 h: K. b. [" P# G2 P: g的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
, S1 R* U4 f# j1 [可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
9 d' C0 q( [0 }4 U# Z! F. U来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
6 g# d2 ~5 e' I方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
& y# Q! s  ^2 b1 W量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
* d" O) W9 {/ b. }素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
# E, X/ h7 ]" B  Q: _  U: M! E此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
! l( i. x2 c' {6 A模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
& l+ N9 \9 ~, [( W$ m  ^# P优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
1 e6 K, s6 I5 ]2 d非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
& o; E6 u6 P* D* d1 Y! ^19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
/ e; X5 \, |1 B: U0 w- o- p% L% j离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
" ~9 ^( I* M' n; H% d排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
& k5 G6 M1 [7 H. @2 }6 p+ E支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
/ I3 K/ g6 p! |2 p) b4 V4、判别分析
5、典型相关分析
$ N& ?; ]/ K: N# r- n6、对应分析
7、多维标度法（一般）
& p% s" O8 n) U% h) V5 [8、偏最小二乘回归分析（较好）
' `3 t9 I( z8 x2 O24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
) I8 j/ A: P. D/ N- k) v' D1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
* N1 E, L; {0 T: }, S6 d% b# o4、密度聚类
' L) u5 _- `) m5、其他聚类
$ K/ t, f% j* E6 P6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1 B, J6 ?3 O3 j1 n1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
! x: v$ ~/ f2 N5 l$ B3、Person 相关（样本点的个数比较多）
" t9 X8 r8 {+ I$ W. a  P! d, O) g4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
. l$ D: _! H& o8 ]3 O, v5、典型相关分析
4 o  k7 z, J! a( [（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
  G# b5 y0 b( s3 K9 Z' J+ A' d一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
/ T% u8 m, a/ o; ?5 G% `  d数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
* S+ a: i+ W. H" _, h$ f& O. i$ S6 x- N8、格兰杰因果检验
. s1 O  U: H$ r( B# h# x. D! [计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
7 U- P5 c8 J1 u+ {; [7 t
; G: @4 ~- B! o3 \. e5 }
" L2 ^9 ~* j0 G# }. D/ u* X