数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
; C& f# `6 N9 s" `& r9 X/ B几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
7 m) l6 e& a- A6 |" x7 r型、马氏链模型等。
2 i/ J2 L$ [/ t  s2. 按模型的特征分：
. I8 q) U8 g  m4 k* g, P* s4 K; m. P静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
8 [6 L* H6 [9 f2 d2 j1 b9 ~性模型和非线性模型等。
  L4 s: j, Y: B0 @3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
; s7 y- ]4 @# k# R) j+ y有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
2 z3 e6 N, y* E6 Q' E1 、蒙特卡罗算法
; m7 D  U$ a6 n6 y' J该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
1 [1 l" Q0 o4 s( k2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
  J5 G) O. F. V9 S; _3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
7 X+ u% |$ w% C- H) g法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
3 ^, j9 p4 Q' f) g+ c4 、图论算法
& b5 U7 V( i0 Y% x这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
4 i  [+ G% T+ q: R论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
* e( M1 k: F, v1 Z) h) M5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
2 c0 b4 z* G6 `这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
( ]- }, u7 |( h据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
3 \$ z6 p  n7 w! w) S- |9 、数值分析算法
& \! K, F. S# u9 J/ a  y如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
$ x! ]! x7 K8 P+ u如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
4 l) E& q+ I5 g# w, p7 f的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
6 q4 D3 t% s6 w0 C# F1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
9 F7 M2 \( j6 H2 v* e- k①数据样本点个数 6 个以上
3 H8 e! n% y0 ^7 p0 [②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
+ a8 W  n' \) P4 l其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
. i" s2 O0 F. T; ]4 V8 q% E* |找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
' _. f# P* i' X- I3 、回归分析预测 （ 一般） ）
1 s# }& @  v% }求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
" t% n- F! z$ V化； 样本点的个数有要求：
% O- P; a: u) G7 ]- }①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
5 h0 V6 r8 W, s: z/ m概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
) O6 m# U4 Z! d1 y. G) G4 i5、 、 时间序列预测
9 s* V- X$ V: t8 l% }' a3 a5 K" r预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
. ]0 J. a; k( h- W2 A, e（较好）。
* T- H& e, L3 I' _) N8 l6、 、 小波分析预测（高大上）
" S3 |+ g: I/ D数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
6 e8 @- `( R9 {* r* ?' j- e预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
. A3 n' I2 d3 V: i5 b3 W预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
- B& N- f, I( G0 s, i& ~办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
+ Q7 P5 Z9 h( q3 c+ H, Y8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
6 y2 w% |! ?  ~* Y逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
8 _" ]1 f; {& O10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
' O- Y2 K/ m7 i4 r  h! K/ {评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
  ?1 V: A! ]( w1 j9 Z作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
) v6 D4 [0 z" y$ @- M' j12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
: u% m; V/ e3 g5 G/ E5 n6 Z5 u13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
7 c- R) e' F% _7 E$ S& O+ e: m法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
& O# c: D) [3 d7 H似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
! j% c! Z1 A. N3 s1 y其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
; g9 V4 c: q3 W3 O解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
& r# i1 d8 K- H1 m3 X! i的最差值。
! z8 w) d7 f  X* J! |: G$ F  U15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
# _3 ^/ h1 r7 G5 ^  p: c5 n该方法做评价比一般的方法好。
( I& p( R" j/ @2 K; D: p16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
7 I8 Z1 z3 m3 {- G: K6 |模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
2 x4 p0 l) [$ ^+ w, y$ @* |非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
. ^; A7 L1 n% P) E$ |; I' x19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
% S% c1 F  w  }* c& _离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
8 M" s2 [1 R5 {% f$ |) R6 g20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
+ P9 p$ G6 X, ?7 @$ E排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
; ~" Q( y2 ?" H* |+ t0 [7 sMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
) s+ {  ]% H" p* O6 X例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
* d: v: ]: u8 ^$ G& u8 u23、 、 多元分析
1、聚类分析、
/ j7 I7 T% Y  s2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
+ k+ F+ D& X1 w各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
/ t9 r7 G+ D6 T6 Y1 c4、判别分析
5 {  x- {$ [9 [5、典型相关分析
: ^  e4 u) y( ?: A6、对应分析
3 g$ R) l) {% A6 [0 h7、多维标度法（一般）
7 P) a1 V4 v, {2 W8、偏最小二乘回归分析（较好）
% S! ?( B' g6 G, w24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
0 c  v6 e" e+ `+ g) H# j' m9 v2 z1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
- D, t  \1 I5 c; D6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
$ `- Q% J/ O$ \8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
# x& L3 e. o) D9 o2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
! c. m4 f9 t9 f5 x# ?4 X. u% [一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
" W7 J- R& q, k7 f7 W7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
/ i: {: f/ d$ R- B8、格兰杰因果检验
; X7 l- Q/ u; ^) |  O计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
. V3 j& o" ^; Y  {# @9、优势分析
* E1 t+ u3 _8 x8 |5 a% R# v26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
. M2 {# }3 g; D
* t4 X0 K& V0 r- {
! j6 p4 S1 q# G$ a8 s