机器学习笔记十：各种熵总结（一）

重光兰衣

机器学习笔记十：各种熵总结（一）
% a0 X& e" Y9 V7 |一.什么是熵
Ⅰ.信息量
首先考虑一个离散的随机变量x,当我们观察到这个变量的一个具体值的时候,我们接收到多少信息呢?
我们暂时把信息看做在学习x的值时候的”惊讶程度”(这样非常便于理解且有意义).当我们知道一件必然会发生的事情发生了,比如往下掉的苹果.我们并不惊讶,因为反正这件事情会发生,因此可以认为我们没有接收到信息.但是要是一件平时觉得不可能发生的事情发生了,那么我们接收到的信息要大得多.因此,我们对于信息内容的度量就将依赖于概率分布p(x).
因此,我们想要寻找一个函数h(x)来表示信息的多少且是关于概率分布的单调函数.我们定义:
- h& ~: s- O, \* w9 J
% _' _  @( T8 K; M7 W
我们把这个公式叫做信息量的公式，前面的负号确保了信息一定是正数或者是0.(低概率事件带来高的信息量).
函数如下图所示
9 g: T. Y1 `* K# N' x& B$ ]
& F( K3 h2 \; r1 r: R& j4 N有时候有人也叫做自信息（self-information），一个意思啦。可以推广一下下。
( X8 O: F% B8 V- D' P8 S: z联合自信息量：
3 s- g4 N1 R% z( P- K5 X条件自信息量：
% U( b% `. L6 ~8 B- t通俗一点来说的话，就是概率论中很简单的推广就行了。有概率基础的话，这个很容易理解。这里因为实际上面使用二维的更多一点就以二维为例子，推广到多维的话也是可以的。

2 R. u- e6 c" Y6 O% T7 B( M9 u/ ~* DⅡ.熵
1 z! Y3 ]/ L& \6 ^1 r. |" r" X& T熵(entropy):上面的Ⅰ(x)是指在某个概率分布之下,某个概率值对应的信息量的公式.那么我们要知道这整个概率分布对应的信息量的平均值.这个平均值就叫做随机变量x的熵
! p6 H9 u0 u4 s: d如下面公式：

这个公式的意思就是，随机变量x是服从p这个分布的，也就是在在p分布下面的平均自信息。也就得到了信息熵。信息熵的本质可以看做是某个分布的自信息的期望。
6 K$ L+ ~+ ]% @5 S4 g* f/ q这里举个例子感受一下:设X服从0-1分布,即
则熵为：
上面的计算是对于一个离散型的随机变量（分布）来做的，无非就是把所有的概率都得到，分别求出自信息然后相加就行了。很简单，别想得太多。
代码：
6 S3 O4 G  {0 W5 q$ [$ L6 Y# i结果为：

从图中可以知道：

1.当p=0或者p=1的时候,随机变量可以认为是没有不确定性.
2.当p=0.5的时候,H(p)=1,随机变量的不确定性最大.
4 f! X3 Z) ?3 `9 x  `那么“仿照”之前的信息量的公式，可以推广一下下啦。
6 m' [0 }1 \9 x$ @# K. Q# E7 e' N假设一个概率分布有两个随机变量决定。其中x有n种取值，y有m种取值。那么可以得到一个nxm的联合概率分布的表。那么有：
复合熵（联合熵）：
, q5 p2 Z7 Z6 a! z

同样，复合熵的公式还可以推广到连续变量和多个变量的情况。这里就不写了。

条件熵：

$ L, H& A* s3 W1 p" t% o上面这个公式可能有点难以理解，不知道这个公式是怎么来的。举一个例子来说明一下：
如果以x表示学生体重，以y表示身高，以 p(x∣y)表示身高为某个特定的y时的体重为x的概率，把熵公式用到这个特殊情况得到是熵显然应当是
9 G& U, M7 J8 ]. A; V3 @2 e上面得到的计算公式是针对y为一个特殊值y时求得的熵。考虑到y会出现各种可能值，如果问已知学生身高时（不特指某一身高，而是泛指身高已经知道）的体重的熵（不确定程度），它应当是把前面的公式依各种y的出现概率做加权平均，那么就可以得到上面的条件熵的公式。

Ⅲ.变形总结
进过上面的之后，应该对于信息量和信息熵的几个公式有了了解。然后那几个公式还可以变形为一些常用的公式。这里总结一下
3 G4 E/ I" g1 q首先要先介绍一下条件分布的乘法定理：
9 ?' k" w0 c! [  `9 A; |5 W
' A( v4 q' G5 I) W. C
9 a% W. z5 i  ]* H: C, @9 x然后把之前条件熵式子使用上面这个公式改写一下，可以写为：
  B8 d" ?, H% u' O# U8 s5 x& r6 Z
7 }2 a5 j, A0 Y4 }; O) T当熵和条件熵中的概率由数据估计(特别是极大似然估计)得到的时候,所对应的熵与条件熵分别称为经验熵(empirical entropy)和经验条件熵(empirical conditional entropy)
; d% ]1 R5 C! T% I2 T; Q2 i- Q
上面的式子表明，只要你能够得到联合分布和y的分布就能够求出条件熵了。事实上，还能够更加简化成为常见的形式：
这里利用上面的公式（以离散型为例子）直接推导，有
; C/ V; F/ \& H: @0 |3 i% ^  T

. O* R0 _: g% O* r9 Q. l7 p4 Z证明：
0 N# A. g0 l; f$ ^# E这个公式把复合熵、条件熵以及熵联系到一起了。它们也显示了熵的对称性。