7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：

a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
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b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
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c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
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2.    双层玻璃窗的功效：

a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

1 s, H$ @# p. ?4 H: O4 h6 L/ \b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
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: n( s, H/ s' g# ac)      建模：热传导定律模型。（有公式）
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, ^" L+ D  v; d% n7 j& P& Vd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
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" @3 d# z' R- P$ _- |e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
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3 {# X; i: ?# g% R; j6 l3.    划艇比赛的成绩：
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a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

b)     属于统计，数学模型拟合类型；
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8 p" D/ j" C' p# Bc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

6 e/ y  q" Q8 vd)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
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* V/ }. P# {+ P( v6 X: ^e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

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* i1 T8 S( N/ \4 p& R4.    录像机计数器的用途：机理分析

4 y6 ]" k' R1 pa)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
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问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
. T; i# e7 H- J3 v0 c' @; O
b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

  p- Q+ D' i1 M3 _c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
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d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
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5.    实物交换：

* a3 Y7 _* [: {+ g( A) g6 D* A# n$ Da)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
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b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
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c)      根据不同假设，进行不同建模处理。

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6.    传送带的效率：物理实际模型

; I# p- G- c; F' Q- T% ga)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
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4 X/ H1 X! y) E& eb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

c)      模型建立，提出提高效率的途径。
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7.    起帆远航：

a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
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b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


5 Q0 ?7 \$ O9 X* Y- U9 R总结：
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, P0 Q$ J+ T5 K- ?5 R" B1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
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5 c2 {$ n  X% W5 C! k3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
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6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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