7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）
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1.    席位分配：
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& U  K6 W4 y! z, e% Y* W  `a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
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b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

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0 j! v0 m# M$ T9 T
; I, D3 E: a, y& B+ l- o( N5 ^  {2.    双层玻璃窗的功效：
) Z; S" d% g5 C* K: D# {
+ z, s  p/ x; x2 v: g, @% ia)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
3 G2 O  C" F2 x
: t6 ?: D' B* t' f' M& Cb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
0 h" b; T, k- L- p% M- H; ?4 U
c)      建模：热传导定律模型。（有公式）
1 ~! H- w$ v) O
) ~( {1 P  k0 {9 b, ]d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
4 l1 V" ?  n* @. O! r
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
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9 L! W& Q* {  @8 ~9 O+ n
* v% ]9 N8 W# {$ d
# }$ T* ]2 Q0 }% n3.    划艇比赛的成绩：
# [, I9 V1 E9 n7 [' K
9 e7 [1 M3 T8 j1 {( G! m* T0 Xa)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
1 e( @, _2 U% k% m  v$ \, W
b)     属于统计，数学模型拟合类型；

! U  U' b( E; A1 Kc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
6 ?% T  }# A- }; M# C1 E2 ~/ b
# [! A2 Y9 u0 S' j) w5 y) ?e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
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$ I! i; T# j; u0 y& `, }% }0 z

- N% g. G/ t' k: `% l0 x! t6 g4.    录像机计数器的用途：机理分析

0 x( v% }. b% ~9 v5 n/ v) qa)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
2 ]1 W2 ]- \2 }: W3 I4 ~
问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
5 e; H: Y8 H( C" s! Q0 p
d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！



0 ?+ w$ C& G. d4 @: Y4 P7 `& x4 R5.    实物交换：
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a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
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b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。



6.    传送带的效率：物理实际模型
3 a0 M3 m  P& |( s) h) ~  P9 K
) l5 |4 Y9 x2 q+ P6 C; n) A8 k) C5 Ea)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

( F# L- `0 _! F1 k! p+ }+ Xb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

& }1 K+ o; ~7 @( }  x2 Mc)      模型建立，提出提高效率的途径。

  f, u5 e0 V! }  @; H+ c8 t' ^

2 }/ g& h( y; \0 N. `7.    起帆远航：
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a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

: N$ a$ J  ^3 Y! W0 `5 j3 ~5 ?. q  gb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

# k" N2 p- a9 I* \7 J2 D: f8 mc)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


总结：
, Z* g2 D1 o6 T3 R8 c
1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
# o* [9 T7 P8 U) |2 c
2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
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3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
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4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
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4 r- J' E7 t  E: s7 T# u7 a& D) J5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

2 I; d$ R7 o" W0 W! {, ?4 C! [" v9 k7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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