7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：

( \' U( g+ n2 g' y' c. `6 \0 w& Pa)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

" {/ p0 D! y2 f# U7 E/ S+ ic)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

7 |$ W' @3 ?( _6 }6 \  c* A
" {8 @  O% }3 W/ ^' W7 j5 [
2.    双层玻璃窗的功效：

a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
% L" t4 n  L; U. t% x7 x
2 R1 e( a6 s5 Z$ F9 l: bc)      建模：热传导定律模型。（有公式）

7 y9 ^/ l: K& Y( N9 Ud)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
- F: Y, ^! k( s- O. m
3 ~1 N* n1 y! A5 f) G" D* te)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

) ^* T  e, G8 `
8 w, q, T5 p* }1 [5 C* Z
3.    划艇比赛的成绩：
; U/ x8 B' h8 F& F. ^, G" C* k+ F
a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
; N! a3 M! V* Q# @
, o! Z8 F8 E- h$ E) Yb)     属于统计，数学模型拟合类型；

2 o: }  p- |1 ?" j7 A- Wc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
" N4 w2 Z2 R+ M/ _( O8 Y) c
  m, f3 [% P( X; M% b* Bd)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
9 Q1 o# [0 Q- W+ `) B
e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     


0 `  z, r2 O7 v6 a
/ a7 U/ P$ f6 n' X6 v4.    录像机计数器的用途：机理分析

# _( G+ U( b0 X) {& C9 Y7 z" }. j- T, Da)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
9 W+ |- i7 A. \* z6 E( Q: i
问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
, s$ J' I- i& B
c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

8 |$ O- X8 h6 ^; ~* ld)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
" ^- G: l; J( ~5 [" `: |0 @


5.    实物交换：
# Q1 o: j% j) c( t
; U- r- i/ Q" ^, f6 H5 d& [" ?! O0 A% Pa)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
, c, l$ G0 g) {( E( d9 s
c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
' ^+ S/ e. z7 X  M7 H
0 g0 G2 e; G0 J5 W6 q

1 J% s& I3 |3 x1 @2 a% Q" x6.    传送带的效率：物理实际模型
- z$ n$ l8 |! C
a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
: O# Z4 r/ c/ u0 x2 m, y" C6 s# w
# f; {3 f" O7 Z) P0 ob)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

% x- W% I2 D5 K/ F' J: E+ j$ A9 Tc)      模型建立，提出提高效率的途径。

3 |! H& y+ J& k# T! G! E

7.    起帆远航：

a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
/ ?! j$ L- |! v8 r! B; t& M
! z9 r6 Q# B- l, H) R; K- Mb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。

! P  m. S1 }5 P# I2 O
1 Z! W. T: m2 R5 D% ?总结：

1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
& ]/ o, C; u% }# s4 C" @$ W7 f
2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
8 n8 l5 [2 g6 h$ y
2 u- a5 T2 P! x, j" q$ a3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
3 Z7 Q* V2 t: X2 v7 V
4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

3 n( ~. {) X, k% ]  }5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
2 R5 @- D0 C7 ?
6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
8 T/ b& ^* t# m9 |( Q
3 X' s, P- {: R/ _! R7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
  U7 k, y' G& z: r+ |: I4 X---------------------


1 Z& z4 c4 i+ W% O