Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
( m" A7 t, F+ I1 D' C1 i从最简单的开始
/ O' p% y9 C% O$ V  s0 \让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：
2 i$ }2 F) q  [% h. @& t" R* _
方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
多面体
从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：
3 t" `8 ~6 d7 D0 }8 R2 M  V5 {
' Q- e7 d: C: ^* V) e可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：
& J: d: D% @0 d9 S' [7 c
这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：
+ n" N0 S' K8 N5 W3 y
1 t* `/ t4 d+ z. b1 h9 B0 I8 s

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：
% F8 u  U/ N4 ]. A" q

正八面体

' k$ ~' z2 \4 A# u' R8 T# E; g

求正八面体的法向量：

3 _) L6 E- h! ?  \+ u! _3 h化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：

然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：
: W# A; S/ |) }! T9 D0 [0 h9 D. b8 j
: m) z* j5 x/ ]3 v  V7 |0 W
$ u$ e0 c$ @3 F" s) L0 V

正十二面体

0 a4 j/ c5 y, ?% ^9 u& @

正十二面体的法向量：

& U/ P% ^2 _# d" `9 p4 m0 B
. h' ]5 u! P6 F$ d4 c- o' |* }化简并去除方向刚好相反的：

/ X# W6 D3 n& Z; E; N

隐函数表达式：
7 Z5 l+ j, _  e

3 ~/ A  z) s6 ^+ f( U$ E, H为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：
9 O9 k1 P- |3 r( c* G. p* M

十二面体

7 l( o- L5 ?; \* U* z2 [计算各个面的法向量：
# Q' p7 O$ f4 Y7 {1 {+ \# m$ B, {; A
2 {+ _# ^1 l: E( k2 w) H# E

化简并去除方向相反的：

; R( M% J& E2 V8 N
: @: D- O- B3 f得到方程左侧表达式：
为了计算方便，取近似值：

- Q: E/ M2 z. Q0 H  [. N) F/ Z

绘制正二十面体的曲面方程：

0 N% M# g( H) R' H1 |) P$ l8 A

绘制正二十面体的曲面方程：

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。

正四面体

: ]) e4 a8 [& W; V4 X3 _计算正四面体的法向量：

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：

而改用指数，则可得到如下表达式：

( @" ]0 L6 t3 _, s, n以此作为隐函数果然可以画出正四面体：

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

4 k. U0 L2 H, i2 ?+ ]

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。
4 v0 G6 n" w( r# ~6 n& d
观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：

求法向量，化简并分组：

得到两个指数和的表达式：
# c' s9 S& h" g' C" k! Q+ i8 b$ q
0 N# U/ g% u' g8 o- i' [分别绘制可以看到两个正四面体：
7 I# q7 W" K! S" c; r/ W
如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：

可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：
' V1 F5 J7 L4 p; E  C  C1 R
. Q- p7 w6 D$ T4 M2 A  O可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：

2 i( S* b- t# Z) A0 R9 e" f

2 }6 e5 g1 d  f7 D) z$ `5 o

五复合正四面体

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

照例求面法向量，化简并分组：

得到方程：
; E6 E' s. F+ h6 j9 l( w9 ]
/ J% E( Q( i. `, b

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

) w; F4 z+ P2 z( Z+ A1 x* G

更多的复合多面体

8 W4 [" Q4 u* L8 y只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。
) A. h6 i( y& B* R7 Z; H9 D

对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
market@asdoptics.com
www.asdoptics.com
* S$ L6 z, ?* i6 O- Q% m
2 L) `4 N/ x# N- E$ h+ S

宏心

变幻无穷，无穷