Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
, G6 Y3 c! P7 M* |* X, j: J' O2 B+ T从最简单的开始
让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：
) C/ G! X( b$ G1 [5 J2 d2 \
$ Z8 C+ |2 ~% z/ k2 `方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
多面体
: X& A+ m# [8 W6 J从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：

可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：
: e1 W6 s# r/ |9 ?$ R
这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：
" |) J3 d, E" a
( A& H' x9 Y4 L+ ]

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

% X* Y7 c3 z4 f
! z# \* |4 @7 a1 m接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：

正八面体

% `5 E  n% n% p0 f* S6 |

求正八面体的法向量：

9 _" _7 K  @  n1 m9 G( E3 H化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：
" i, d2 u8 b9 f% \
2 v! p# ?6 C. z' l5 Y然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：
2 t2 Q6 \9 U4 ^4 W

0 M9 j! N& g7 g3 m! l: `: B- r

正十二面体

正十二面体的法向量：

化简并去除方向刚好相反的：
( c' s; ]8 B9 t1 g! ^+ N

隐函数表达式：

% H4 Y8 @/ O$ G; n1 O) o: O, J
为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：
  a2 l7 @) n0 s* H! M$ P* n. W
; {# v6 t7 |/ t+ I

十二面体

计算各个面的法向量：

. u: c/ S6 ]* W3 f7 ~% ]

化简并去除方向相反的：

! H% t" D9 Q( F得到方程左侧表达式：
; k$ }: Q( q* a为了计算方便，取近似值：

绘制正二十面体的曲面方程：

绘制正二十面体的曲面方程：

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。

正四面体

" N  ^# X! ~, A2 M计算正四面体的法向量：
2 u" f# X% B: {! Q3 d) i

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：
& Z; M1 n% }5 e* G4 S: c0 f
而改用指数，则可得到如下表达式：
! c3 g. L- z2 [+ z" O
以此作为隐函数果然可以画出正四面体：

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

6 L5 s5 r" I, u' B0 H4 d
2 C. e# M' I$ Z9 }5 E; }5 k+ [, j

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。
3 ?; e! E( y5 f! J3 I3 R8 O3 \
观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：
7 m' m7 T7 d7 b! a; h
4 [1 q% u7 [5 c; c9 j& @求法向量，化简并分组：

得到两个指数和的表达式：

! G! U: Y" @- k# t2 ^2 }+ f分别绘制可以看到两个正四面体：

如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：

2 y6 c& i$ z1 q. R( a可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：
: }1 D" X( Z! o3 m
, Q% ~' h6 b7 |可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：
. d" Q9 e' A) Z- c

五复合正四面体

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

照例求面法向量，化简并分组：

) E; M/ v- ^  _
2 J; e) {( t8 n* X( a0 L" Z得到方程：
  c4 g4 K" x& j' d" o

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

6 k8 N% L2 B0 `% |/ D

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

4 `9 F: f& K" x3 ^' x5 a2 W  ^
5 d8 w  \/ j' M9 D7 Y
  @! s; l5 Y1 a# Z" [  L$ I

更多的复合多面体

只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。
: A: D! f9 u8 ~. u
& b5 t! w4 T" D7 H4 u5 p5 h# S
对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
market@asdoptics.com
8 A& |) m- T6 q4 G1 Swww.asdoptics.com

& P- l& Q6 m, G

宏心

变幻无穷，无穷