数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

7 M6 T2 ?( K$ U5 e2 L( g/ y7 i9 J指数模型
, [# {% ]. L* Z& ?6 [- ^" k4 G; k+ k* t定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
* A( Z; O- p  g! ~9 |$ pi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
- O. M' r9 Z% i& {; f6 o$ [i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
  d% Z( [" c5 n- l+ Q
6 B& V: d0 q5 e- a5 f; ]0 {1 B将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
$ _4 l% k( ^$ W: \3 z$ oi(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
3 ~9 T4 w" w1 R3 u( p3 Z
; u2 |% ^9 t; u3 `7 h2 V以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
/ T: i' q+ j$ h; bdeltaT = 0.01
- G1 Y/ H0 C$ z. b8 ylamb = 2
! l5 [8 {+ h9 x4 {; T+ @i_list = []
- V& H# s' C# K& [i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
. X( k9 x) ?0 v. ]: a' RTot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
7 U: u/ J1 h+ \* Nfor i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
1 G' L' `' I8 [5 n    i_list.append(i_new)
. W' w7 Y/ b  T5 y, mplt.plot(i_list)
# K1 V+ E1 j1 E! d4 m- v
将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？


+ ~% z- O! Z4 J4 B3 C5 G实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

SI模型
' W/ F) s5 G9 a6 g9 a- x$ y0 d现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
3 s0 m) ]% n; A0 k
# B  G1 V! C! Z. d# l在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
2 O( p" |- y( P) V2 K每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
2 u* k( X' x; z* g, ^2 QN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

0 ~" s9 [" U0 I2 i消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
0 H% n: C1 _* {/ @i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt

: L% l  `. g. T同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
0 k) ^4 C  R, k3 l5 z: e* s%matplotlib inline
deltaT = 0.01
lamb = 2
) [* f$ i, U, N4 m! O: h4 ~i_list = []
s_list = []
; m1 o- e2 d4 v+ ]" S4 d  t% {, `i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
1 h. E" u! N+ P8 NTot_Time =5
& f) x' n1 G7 v7 d3 s2 iTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
7 T, J% m4 i' H! j8 A* G2 t##
for i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
, W3 _8 g; O; K3 z" Q    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
9 @; V9 ~$ T6 M% M& Wplt.plot(Time,s_list)
plt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel('i(t)')
* @/ a2 z4 k4 S7 E  F' Z7 L* r
, i9 u4 `2 @. y从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
* J5 F& x6 I0 n7 {" @1 ^
然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
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