匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
# f$ B/ X! ], [' t  i
; P4 w; Q1 B) T9 ~/ q若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
( n% k- M! Z) I) w% i' O" E' S
【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

. P; H/ h2 n! k+ ^/ M1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：

9 Z  v7 k9 P* ^. L! ^2 _; _【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：
+ Q  ]/ l7 I( d- R0 t
! \8 T3 }: \. k1 i/ z9 ?6 ]2 k∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。

4 m1 y* s5 N" _由上述定理可以得出：

3 F2 @2 ^8 y/ e3 Z【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。
5 d3 G- u: s# m4 U
7 s7 a4 F2 _8 G" ]3 t9 k9 i由此推论得出下面的婚配定理：
& v  N6 |8 V* x9 w
; x/ P4 O$ [+ G  S& B- T【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。



6 ^$ X7 L; G3 ~解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。

6 E3 I& y# ^4 A1 A' i! T匈牙利算法


$ ~, _/ W3 D2 G5 X) W# l把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。
( f. Y2 B3 w3 e1 f" U  v( a
6 i: ^5 e5 i/ L1 @可行顶点标号、相等子图

% f$ _  a1 p: L0 C* B
【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。

; X/ G$ W$ e( s# G" o库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法


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