匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
6 b, P6 L  M( q6 h& _5 s, e若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
: @" v! L9 N* p  x
! t. B+ f. k4 q4 x$ Z: a0 u若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
) m; {: R" \9 x8 X# A1 `
- q& t, H2 O1 _4 o5 V1 O: F, M【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

8 {: m* p) W" P- a6 G1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：
$ ?6 d1 F0 X- z4 U! Y: \
【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：
( ]% O" L, i; Y& u
( y7 }  V4 K  S* B' r, g( F∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。
( k/ Q) X4 L& q+ n5 @$ a; k
由上述定理可以得出：
, R* o0 f4 l6 p  c( ]0 d  h
( S) T% `" v1 Y5 v1 \【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。

7 W) M: ]8 R) v- Q6 y7 t: H( Z由此推论得出下面的婚配定理：

【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。

! t% C6 Y0 t: D. v) F( A

解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。

- f2 l5 b/ B& Y3 k% u- ?匈牙利算法
& J4 S4 V8 C: D; V+ {# ], H! c

把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

3 t& U: c  D3 m0 F最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。
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可行顶点标号、相等子图
% ?% j5 p2 `! b/ Q3 B
; Z' Y' w2 P: V. |" s) K
【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。

; O% G& f/ `/ _* h) J* Q  v; ^! O库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

. q% p4 j8 t: t5 m  {, K! j- R
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