组合优化算法-现代优化算法 （一）：模拟退火算法 及应用举例

浅夏110

一些用于模型求解的启发式算法，主要针对很难求解的NP问题。
现代优化算法是 80 年代初兴起的启发式算法。这些算法包括禁忌搜索（tabu search），模拟退火（simulated annealing），遗传算法（genetic algorithms），人工神经网 络（neural networks）。它们主要用于解决大量的实际应用问题。目前，这些算法在理论 和实际应用方面得到了较大的发展。无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目 标－求 NP-hard 组合优化问题的全局优解。虽然有这些目标，但 NP-hard 理论限制它 们只能以启发式的算法去求解实际问题。

7 N5 u$ o- ]0 C( z启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms）。有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限 制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。
8 q  Q$ Q5 I6 p/ g: L4 T
现代优化算法解决组合优化问题，如 TSP（Traveling Salesman Problem）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem）问题，JSP（Job-shop Scheduling Problem）问题等效 果很好。
! i5 Z" n- }. o) a8 Y  k8 x0 V9 ^
模拟退火算法简介
3 p  Y, Y0 G: }# y% |* E8 c, W模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不 同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和 重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过 程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，终形 成处于低能状态的晶体。




# y% n  n! }8 A2 r0 P7 K5 h
2 d% F/ C) s, ^! P4 z. n. w4 @' q


! g0 [% u6 Q6 z' E5 r
在模拟退火算法中应注意以下问题：

' o" @9 N7 d9 s（1）理论上，降温过程要足够缓慢，要使得在每一温度下达到热平衡。但在计算 机实现中，如果降温速度过缓，所得到的解的性能会较为令人满意，但是算法会太慢， 相对于简单的搜索算法不具有明显优势。如果降温速度过快，很可能终得不到全局 优解。因此使用时要综合考虑解的性能和算法速度，在两者之间采取一种折衷。

0 z* m! o; S. T（2）要确定在每一温度下状态转换的结束准则。实际操作可以考虑当连续m 次的 转换过程没有使状态发生变化时结束该温度下的状态转换。终温度的确定可以提前定 为一个较小的值  ，或连续几个温度下转换过程没有使状态发生变化算法就结束。

（3）选择初始温度和确定某个可行解的邻域的方法也要恰当。

1.2  应用举例
例  已知敌方 100 个目标的经度、纬度如表 1 所示。
; _& M9 @1 d+ X9 R
% g! U& f# e0 g0 C8 B

, d5 H2 N! v" s0 T% x$ u& E& D
8 L" K2 [' a0 i' G) {7 d
/ z8 [  z7 K* {# Q" [& [

: r: l  P% Q7 t* E* N

2 R2 k  m! N+ i我们编写如下的 matlab 程序如下：


5 N' j; @1 ?, s' q2 Iclc,clear
load sj.txt    %加载敌方 100 个目标的数据，数据按照表格中的位置保存在纯文本 文件 sj.txt 中
x=sj(:,1:2:8);x=x(;
; {! t* \4 P- b2 oy=sj(:,2:2:8);y=y(;
6 W: h  U' }/ Vsj=[x y];
d1=[70,40];
& ~3 o1 Z3 V. R7 R4 Ksj=[d1;sj;d1];
sj=sj*pi/180; %距离矩阵
: ]& q) a% ^) b$ u$ @d
0 H+ O' i" L0 t$ R" i+ ?! [d=zeros(102);
# M" `6 f4 f- e" w4 Ifor i=1:101     
$ k  d2 {7 {) p9 k8 o% G    for j=i+1:102         
" s4 b% M4 R& M; ^5 m# u$ h( c        temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
        d(i,j)=6370*acos(temp);     
    end
! ?. K# a1 O( A& b' Rend
' J+ C: D/ U' y0 U; Gd=d+d';
$ A" }- ^& Z* h" |/ oS0=[];Sum=inf;
rand('state',sum(clock));
for j=1:1000     
    S=[1 1+randperm(100),102];     
    temp=0;
    for i=1:101         
        temp=temp+d(S(i),S(i+1));     
. P( w4 K* a0 ~! x' S) `8 Y- a" E8 L. I    end     
    if temp<Sum         
        S0=S;Sum=temp;     
3 o+ ?6 y0 M. Z0 ^3 n* C    end
end
, G# p0 c$ E( Y1 m: |0 He=0.1^30;L=20000;at=0.999;T=1;
%退火过程
for k=1    %产生新解
    c=2+floor(100*rand(1,2));
    c=sort(c); c1=c(1);c2=c(2);   %计算代价函数值   
! E& }; R5 I4 c2 k* a+ Z% s, @    df=d(S0(c1-1),S0(c2))+d(S0(c1),S0(c2+1))-d(S0(c1-1),S0(c1))-d(S0(c2),S0(c2+1)); %接受准则   
# a9 t* m& O: C' M- N    if df<0   
        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];         
        Sum=Sum+df;   
    elseif exp(-df/T)>rand(1)   
        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];   
  @: o7 h/ c% ~3 L8 Q        Sum=Sum+df;   
    end   
    T=T*at;   
# X& P- c! A, F' V# T) e/ i    if T<e        
        break;   
6 ?' f# x0 ^- G- X1 l8 h    end
& \" p0 S4 b3 s  f* N9 @2 [/ Uend  
+ O9 I" u$ o. Y4 U0 Q( a% 输出巡航路径及路径长度
7 E2 T4 m' Z: ^9 j0 `* @, k) A+ KS0,Sum

" T( |0 w! F5 j( P% o$ v

计算结果为 44 小时左右。其中的一个巡航路径如图 1 所示。
2 X. l. B( ~. b' j6 Z0 q


: a. L% R0 f/ N0 |, w& t3 _————————————————
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7 m% Q/ G' ?) f) y) k
2 w: X) d; O1 g, ^3 M: ]" d" z