模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。

1 预备知识
4 {1 m$ V$ X& b# e7 Q3 a8 k( H1.1 模糊等价矩阵


; Z2 t% E' S9 a& b( Z

' o& |3 @$ _9 u0 J  B( tn 阶等价布尔矩阵



模糊分类
1 z8 J7 V8 C6 z- \
) K2 X! e- ?. L
) {( K+ `; B" G0 i. ?# I4 t
3 {* j. _4 j- n3 q& m! a% r

% i* O% h9 L% n3 g9 P

4 S6 t, u6 e6 x" j8 b. {6 q5 g9 b
) X% e! Z* a/ z+ U. l

& h0 t2 \/ I/ m7 D; K7 T4 }1.2 模糊相似矩阵
0 K2 m  L3 u3 T

* l  V: T, I5 q( X: {  W




9 n  T7 q( h. |
: l2 b0 d( ?9 ]1 j& m, e; o( y$ ]* d2 模糊聚类分析法的基本步骤
# H# d) |- g9 G  \% ^# H# `Step1: 数据标准化

(1) 获取数据


! E; C8 K6 H! [$ i
(2) 数据的标准化处理
在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：

" V7 D* d" e& b4 z% c① 平移—标准差变换
1 e0 k5 \9 i: j( x& M/ J, {: h& P

4 [1 X+ U6 }+ d' y! e  u) S
② 平移—极差变换


1 l7 |% V7 w1 N& ^% O7 @
7 z, F- T6 o! \# aStep2: 建立模糊相似矩阵
! t* [, r( y  [2 \' S& V# p; e
4 b! L4 a8 O2 S* U

0 F- J$ g' n0 `+ Z" m(1) 数量积法


6 F" ]$ [; g$ q/ }

7 c. b* y1 |, i" l(2) 夹角余弦法
/ ]; u. @2 A0 t' W6 i$ \
: }' c2 V3 P6 [, ^7 J; n- r
5 n+ }3 Z0 ^* @% C9 m' w4 g, v
(3) 相关系数法


" k. ?2 k4 x, N4 k. [  k3 ]
; U' u/ R9 o9 y(4) 指数相似系数法
: o, \8 F1 b, n6 G* e
7 H4 K" ]9 W+ L: A4 F" h

  z2 }# g7 o, j(5) 最大最小值法
                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max

( I. @! s' I) T# E* }  l# \
$ Z! X* l0 ]3 _% y8 B, E
(6) 算术平均值法



(7) 几何平均值法



# B, J- I* ?4 p(8) 绝对值倒数法

+ i: N0 F" |  W& R

(9) 绝对值指数法
0 j# S7 d8 e9 n, k; b+ x3 ~* }; S0 ?

- s0 y( S( h' A- ?9 X' Y
7 F; Q! u+ w/ [(10) 海明距离法

  l/ B. g! O7 n! S6 {& Y* X

8 K- s3 x; K; k3 }: x0 L* U* r(11) 欧氏距离法
6 P6 H7 J% N6 p5 y% X$ n/ T6 I' `


9 I! L! Y  M4 Q% M% g1 b1 |+ \1 O% a(12) 切比雪夫距离法

  O; Q1 Z9 u0 Q8 ^4 g) |
! ?! p, p1 M6 C
3 C- b7 b4 G/ i6 f0 w(13) 主观评分法



2 v4 E% i7 ?- qStep3: 聚类
4 N, n- Q4 N' z1 u所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：

0 y6 A; {" |9 ]7 z2 c3 ^2 M(1) 传递闭包法
. G9 C# r$ Y  W( H6 r; v7 _从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。
2 p! |' Y& w7 }. ^
# y7 s0 f6 a5 u" S" G0 g(2) 布尔矩阵法

2 [0 @9 H' Y1 x" N8 H


( H, Q7 f# }0 t) m# r/ o  k
(3) 直接聚类法
' ]0 t6 n; q2 ~" B此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：


3 z) r$ o, _+ U
3 模糊聚类分析应用案例
+ y: g* n- c7 L% M例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？


9 z- J9 N: h/ R* o

% v5 w: K0 M4 T/ t# S
解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。
' J2 `, M1 G8 m
5 p8 H) k% @2 O* g# M
, k' Y6 s3 T( M7 H1 F
4 l0 ]2 M: b3 O4 H+ N- C4 \到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。

（1）建立模糊集合

2 t& U8 Y. c* s
8 S  E/ p7 m" n3 W6 r

8 ^8 e/ }; [1 p0 H
7 Z0 e, {5 j. M- N& `
. m1 H& O1 U5 s（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵


$ ~3 I) ]# A/ L
9 v7 s/ e8 s: O7 ?) Y（3）求 R 的传递闭包

* `6 w" S  m# K# m" O9 L$ W' x$ i" Y

, Q  c/ }2 q4 |, m- U+ I其余观测站属于中间水平。
: u0 _: l" C" c% s* t$ }$ E9 ?
（4）选择保留观测站的准则
$ F1 u/ a5 Y# L: N7 c, z, m0 H' U显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：

  |* W6 v& G4 _% D; e& ?
4 R/ p$ I( S' o' u% t+ k' ?


2 v5 p# s9 K, C0 P% R1 p
3 Z) f7 f' ^: M2 y% m# @
0 v; v. c) v+ Z$ \2 m) L) U3 n（5）求解的 MATLAB 程序如下：
8 T- d: V4 Q( U
) k' Z$ p% Q. ^0 H( K% wi）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序

$ K; Y( U# j+ h/ R' Na=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
7 A  X$ x8 N: c. X7 p) G192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
0 a5 \  j! D/ v/ M. G5 s7 O- V, }466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
$ t" d. A" d6 y453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
& Q; _8 D1 H1 Q7 S( J& K  }# Y: w158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
mu=mean(a),sigma=std(a)
for i=1:12
7 t1 x4 {1 @: Z2 d; _0 K0 C    for j=1:12
/ f' |1 P1 S5 {2 R& F+ }        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
    end
0 w9 U2 f- T, K, Yend
r
save data1 r a
4 N- H5 c  j, ]8 h( c
9 @: S3 c& E9 i! t- Lii）矩阵合成的 MATLAB 函数
% N* P1 C- a7 e3 M% x( o
function rhat=hecheng(r);
( y) f4 C5 [. G* Z( a) ln=length(r);
for i=1:n
% V) M" W3 E' x8 s: U    for j=1:n
, z. ]- [9 s9 C7 D7 m        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
    end
end

iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序

load data1
r1=hecheng(r)
r2=hecheng(r1)
r3=hecheng(r2)
bh=zeros(12);
0 g4 w) z* o6 q  H7 ]bh(find(r2>0.998))=1

& E1 w  O3 ]. {# R! E/ t/ yiv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：

+ W6 y2 z" u- t$ W* Kfunction err=wucha(a,t);
3 Q4 K: d( M( T9 P; ?$ _  B9 m& ab=a;b(:,t)=[];
mu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
err=sum((mu1-mu2).^2);


- N  l7 u! z% Q- Z计算28个方案的主程序如下：

load data1
+ ~* A$ Y# V$ G/ E; r5 L! s1 T  j; o( Jind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
so=[];
5 `) U6 Q* X+ |7 P, j  z+ E3 ufor i=1:length(ind1)
    for j=1:length(ind3)
        for k=1:length(ind2)
" Q! i1 n/ V' v/ @4 ?4 |            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
            err=wucha(a,t);
            so=[so;[t,err]];
+ [  V% G+ j' T7 t+ E2 V7 `        end
    end
end
so
" R5 V% t* w, @# r; I. a6 Mtm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
shanchu=so(tm,1:3)


8 g+ q, o$ w9 \/ I4 j
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! P  _: j* Y1 o0 Y+ x# ?