模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。

6 `' h3 q9 k' m3 x7 B% `9 t1 预备知识
* S! J2 z$ Z2 V# C. Z1.1 模糊等价矩阵
! \( c/ b) ?  A. z: K, V' [9 O

, H, G) \. V; Q2 B4 h6 b) O
0 L0 h: G, ?$ X: q- A8 c
, j/ P0 ~- y4 L& F; i/ L. sn 阶等价布尔矩阵
1 `/ c/ A' Z5 c4 Z! K* e3 R
9 W! c; n! D% \, \7 p

' `* n- e; ]1 }3 E$ l' @# O模糊分类
. k6 R% i& I, I/ V. Y; ?7 D5 K




% |  \9 W+ }$ L- R8 g$ r* W


, x% Q. {! \+ v9 L' Y

' G, m: i6 e' Q# Q4 R6 Y! A0 O3 ~# ^' m1.2 模糊相似矩阵




0 p  n% Z8 Z7 z( r7 w$ f6 }. f7 A
7 p1 i: X7 n  S4 _4 W* P( l9 ^1 N
: O6 N1 h! @, |. n3 u

2 模糊聚类分析法的基本步骤
% d; R) w4 _( N6 ?3 E; E. |# V) V2 I4 XStep1: 数据标准化

(1) 获取数据


4 H+ v& I8 r( ?; A' |: X  f
2 g% n/ i1 J* f(2) 数据的标准化处理
' X) p+ v9 T' Y. {* z' I. W  U在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：

① 平移—标准差变换



② 平移—极差变换
  M$ x% N( `% i- s2 d5 i; z
* a8 _, g* Q. _6 E- C! `1 {* s$ T. s, h7 ~

/ Z2 I& V/ V2 Y2 C) qStep2: 建立模糊相似矩阵
9 k- S* B3 Z/ ?! L2 M) ?2 D2 F5 X. p


8 }* H1 ?+ \+ s! u9 c: V* C(1) 数量积法


& _& P# P3 a; e) t6 f/ A- O
  X1 f- A1 c: |0 H& }
2 h  F/ n! }) e4 w" X(2) 夹角余弦法
# x6 Z% f5 a, _- s: U


(3) 相关系数法
! @" z) z5 E8 B" G; K( n; A

' [9 a- z& W5 z' e% H7 O
(4) 指数相似系数法
6 C- H, s. E) L# y7 e7 t
+ X; x8 d4 j. H+ f% c" F' I
0 d" d+ b) Q/ a
) K$ s, Z5 Y( G+ i2 j! J(5) 最大最小值法
                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max

3 d7 r7 l. ?4 D: C3 |  e3 I4 R
1 @. r) A# B$ r8 w6 l3 c
(6) 算术平均值法
& k$ |- P. f8 F5 O7 Z

6 N7 `4 o7 |5 W
9 n) E8 L3 x5 F7 ], q  U$ _(7) 几何平均值法

8 U( j4 ?1 |$ e2 L/ G

(8) 绝对值倒数法
7 V) W5 e5 o0 l8 `2 j# f) Q
5 f) X+ n3 C8 a7 ]2 r) [  d

1 o: t3 h0 k3 Z5 K! i(9) 绝对值指数法



(10) 海明距离法
. G, J7 e# b  G) C

6 j8 R9 ~- F- w+ O: o
7 V: ?6 h7 `, f. D) }(11) 欧氏距离法
9 H5 o/ ^# Z  O6 h0 M
! F' m% }) L6 B$ y* B/ [
  _/ F1 i0 U$ q9 f8 u
4 {9 i9 B8 o- x" t; n(12) 切比雪夫距离法


% ?2 }! U9 r6 g
(13) 主观评分法
# g+ r; e/ @4 v6 [, ^" f: d6 o
4 U, J* l- Z# P/ ~5 k1 v
( h* ]0 e- [2 t! F7 H! |
Step3: 聚类
所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：

9 Q& T. a; N) l; X% o(1) 传递闭包法
从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。

(2) 布尔矩阵法

# r2 K9 C3 T' s
7 B; d1 D3 E) q9 b# V! O. W: h" {

) g# w: w' s; \
(3) 直接聚类法
此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：
( s1 k$ H/ g+ g1 P0 ^/ ~2 R* ]
3 Q$ l$ X- s1 D0 G6 H7 s6 N

7 R" v: K; ?* \& V. w6 Z3 模糊聚类分析应用案例
- g4 n$ L+ A% _  P( K+ S+ z' T4 V% h例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？
9 z& f. F0 N3 W
+ h/ ^' M; z  R0 t! E* L

* a! a8 x3 n2 v. D/ N1 k
6 O" ~, J$ _/ j( C9 Q6 e8 F+ b/ P( b
解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。

  Q! y+ k5 {; S$ |
2 m3 O$ F6 x  `4 r6 C( \. o$ L
, B3 G2 n! k" C" Y% |. T- j$ n( V  [到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。
; r1 Z5 s" c: f: o6 X9 l
) u3 a" u3 F  X) l# b（1）建立模糊集合
, l# ]) c6 x2 F/ P- f. [1 ?


! w1 b) K' U8 i9 K8 V8 \$ h1 Y
7 l1 A  A* D* i$ i0 F! f
0 @9 E) L0 c' a& I; M6 o4 A
4 ?3 ?# h) G$ R0 j4 l（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵



* J2 Q$ ?9 d/ x; G4 s（3）求 R 的传递闭包


+ \* _. y7 ?5 z
" u9 R" L; O$ A  C. ?0 C* C其余观测站属于中间水平。
  i3 Z5 u+ X3 N% ?
（4）选择保留观测站的准则
显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：


" o/ ~6 R; R' c2 X1 _3 a# b( q

, [/ i% Y, h# c8 x
$ P: v: q- T$ R( M& Y
3 g3 k" w- d9 a6 m  L' W
（5）求解的 MATLAB 程序如下：
* t7 \! k0 P0 v/ _0 g0 x  A/ q
i）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序

/ o3 I! S# q7 A7 Da=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
) a# q# E2 Y) H# J6 ~) |, a5 t251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
6 X8 j8 z1 ~& u+ m3 B. s158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
0 D9 L$ E0 ?( w, J3 B8 h' |) w324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
mu=mean(a),sigma=std(a)
$ t) i/ q3 b, Y3 B% [for i=1:12
  s& @9 Y  E3 G1 g. p; B    for j=1:12
        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
    end
end
# w" ^. G4 a0 v4 {* nr
save data1 r a
9 o& V; S9 r0 S6 O5 @! \+ @
ii）矩阵合成的 MATLAB 函数

3 M5 G& x1 u! T. h8 }function rhat=hecheng(r);
3 U- ]; y8 |0 y8 W2 Wn=length(r);
( c/ A% b! l7 w7 i5 jfor i=1:n
    for j=1:n
5 X9 P4 c/ G$ J        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
; U5 R" c! _* m0 f; h    end
end
( ~/ r, |3 R# t( S
iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序
8 p9 x6 x+ M; B' J! Y( ~" [  X
load data1
  |* _. @1 R$ A  b2 ar1=hecheng(r)
& d* b, @& s! w7 S( Z4 Nr2=hecheng(r1)
+ U# x) R. k( [9 L; gr3=hecheng(r2)
( @$ v/ c+ j0 K! ?' e; Abh=zeros(12);
bh(find(r2>0.998))=1
" {7 M/ v8 R  A1 ^& z2 ]
/ O" ~# I3 C& m9 J8 liv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：

function err=wucha(a,t);
b=a;b(:,t)=[];
" Z% x  n" g& d0 z( v8 x$ Lmu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
err=sum((mu1-mu2).^2);


5 l, m" @& s( d5 \  l' }! ]计算28个方案的主程序如下：

load data1
8 p# g/ e* ?+ g* C2 K5 G# Mind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
* |/ S7 E" R1 Y* X$ L" Z9 A) K5 oso=[];
for i=1:length(ind1)
9 r& n: E0 g$ u. r( E: D$ P    for j=1:length(ind3)
        for k=1:length(ind2)
- \" X, k3 ]' H% f            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
4 L# v1 e% e/ J" o# `6 D1 r            err=wucha(a,t);
            so=[so;[t,err]];
% l7 e5 G5 R! d        end
( Y  t; {# d2 M1 K8 e    end
: u9 _- c) y! O3 O2 W, [* U1 gend
  j8 Z1 a2 x) p) B0 sso
* H$ v2 O  \7 R5 s- _- f9 Etm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
shanchu=so(tm,1:3)



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1 y3 I( }' d+ u
- M+ X3 W) |9 g/ U- ^7 X7 O. z# Y