时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。

$ E8 \" o$ n4 h2 N移动平均法
8 }' m- F8 a3 @. c+ @3 p7 M移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
# X0 w) v# }7 z7 o" U
简单移动平均法
+ ]+ ?( i) p! P% F! {5 d

7 x+ W/ [3 ]* \) C8 r# X
近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。

  J# b: g/ n& {2 `简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。
# D6 ?6 b2 J- Q8 Y# V/ q$ v, s% H
例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。

: H; }0 _# r. X1 s' U

; b/ d: r+ m8 I3 M3 j' s) h

, t4 F( w' R" C. S% K7 B) S8 F计算的 Matlab 程序如下：
8 a+ B2 c, ?  E5 Z" l/ I
( l1 ~( d" u3 g" rclc,clear
; n7 ]( ~+ E" H. n/ Ty=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
: R# Z8 h% ?9 Q% _  f: ~for i=1:length(n)   
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
    for j=1:m-n(i)+1         
! Z1 L% y/ @5 S" Y: `        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
6 h: k6 P1 w1 R7 u' X* z    end   
    y12(i)=yhat{i}(end);     
1 {# L% w% n3 K) R    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
( D' }8 o2 u" u* ^5 Eend
0 |: V: {1 {; ?( V4 S  K: u, zy12,s

9 \  s7 [( _, _: o" d& d加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。

8 @: R0 o: b; |3 o

7 I! z; _; j6 k例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量
0 J3 V; _: y- f% t2 \: y2 D


3 [5 m' o- x3 R# D1 ~


  n$ K, @$ ]/ D# _4 f
; l" o9 }4 Z0 E, U, F9 C" e
计算的 MATLAB 程序如下：

) A+ V; \" _" ?% V2 O: ly=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
7 E% ~7 X+ h. L6 i! Sw=[1/6;2/6;3/6];
! x1 @+ j1 l8 V. [m=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1     
- E6 c9 j& D6 M    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
end
( U( f; j) y) y, F# Jyhat
err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
$ k8 n3 l! o3 o/ L6 Oy1989=yhat(end)/(1-T_err)

在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。

趋势移动平均法
6 f) y, y. x) V0 {* I简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为
- o! z( K0 V: L* C
$ _: x# b6 H+ s! v! k4 t1 K( \
* G5 H0 e( g( [0 E3 }


) `2 m( a; [6 a5 X
4 |" z3 f) y! p. i" M
例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。


, u( @) }( i1 B8 B( z* T) N) ?
解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。


( b3 g" ?5 T6 R5 |0 r0 s/ [  f( }
3 h4 z& r/ L! e8 L. l计算的 MATLAB 程序如下：

clc,clear
5 L( _" |7 H3 T  q! W5 P# J8 N/ tload y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
8 D& _- T8 k' `& W5 u. x: n, Qm1=length(y);   
n=6;   %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1     
    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
) f2 a; Y5 `5 A  G  _# W$ |end
9 A' S" b. F) @3 d# Iyhat1
m2=length(yhat1);
for i=1:m2-n+1   
    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
7 l/ q, Q  E+ ~: u. z' j8 n4 P: Tend
yhat2   
+ ]* Q+ U+ y, b* Rplot(1:21,y,'*')
- G  i  U! U' \8 ]- q7 S3 m7 j$ ua21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
y1986=a21+b21
5 }" o. ^5 a4 `0 Ny1987=a21+2*b21
; C# a* P/ r' T" z


8 x# R% v1 |' b趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。

( x8 H' e# n8 s
5 O  E2 @+ t% n" ^# a0 R& u, B
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+ W; U) D- l' o5 O0 w5 c