时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。

移动平均法
; D* R* {  J% `/ M移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。

简单移动平均法



近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。
3 m) M  j/ Z. O! X# Y
5 |+ M; ~2 k% |3 }- C简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

1 q1 S8 f" q7 t9 I9 U' ]例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。

. @, N: K& L$ B6 u

& }7 @% ?& h0 x1 e
) M) _8 T$ T6 ~9 W6 j
计算的 Matlab 程序如下：
% @: A  x5 s% u
clc,clear
) m: G+ w* O8 O2 ky=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
. H5 H( c8 p3 R) h) { n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
for i=1:length(n)   
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
    for j=1:m-n(i)+1         
2 X# r1 p" H# g; g% ^* M5 W% k9 h+ u        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
" w8 j: g" t3 V# @* J; C0 o    end   
; t$ `5 ]& _% |5 q' g, I' C0 n1 S" B    y12(i)=yhat{i}(end);     
7 w* o  k! P& d  b" i  J6 n6 J* B; b    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
. C2 R0 i5 k. v$ Wend
y12,s
- t2 [) A4 P1 M1 C; @0 g
加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。
! I9 e4 A% j7 {* z9 D4 O; T: C


9 A4 ~' x7 H! Q% v/ u5 }例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量



, T1 d  t. M2 T* f5 I" u/ |1 H5 b' ?
# [; j8 o. B+ f$ g. O* k
- W  ^3 i* b- ?1 ~& k
9 d6 e& q5 B4 W6 t

$ o6 f. h- F( f+ K0 q计算的 MATLAB 程序如下：

y=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
w=[1/6;2/6;3/6];
- y& B- q- c6 r+ R% Dm=length(y);n=3;
0 w! A: j) w/ t0 T6 b7 Dfor i=1:m-n+1     
2 v9 v/ J" i( G  `  f" Y    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
end
' V4 M6 Q5 |- U/ [% B- Myhat
% k7 G! I* B* j" m% `9 l4 ferr=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
y1989=yhat(end)/(1-T_err)
! T" M) H, I3 F2 Z1 L, Q9 \+ P8 n
在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。
1 Y; y/ f) L7 d8 X! {
; h. Q( e' C* n- D& n3 p% T趋势移动平均法
  Y7 Q! Z# G0 N5 ], l+ q: u# G9 X简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为
) ]. `4 }. P3 t2 g. z6 o$ P- [) F7 D


  C  \. ~! b( ^4 t7 i
1 ~: Z+ \6 u% B0 Q/ X9 r1 M1 u% h


8 C! x6 y. q( Q- s2 y& [例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。
: T( N& ~$ k; w; @) T3 e& A


# V1 t9 L  y9 n$ K- G解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。



计算的 MATLAB 程序如下：
& J( k" Y0 p' u9 _8 R8 }: h
clc,clear
$ ?# V9 M) v$ L. n0 M$ iload y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
. q2 Y) }) E' f6 s& G3 M; ~. ^m1=length(y);   
n=6;   %n 为移动平均的项数
/ o% g# |" }* U" K* v  A& r2 Vfor i=1:m1-n+1     
9 N/ C( D! P; |. n$ k: z* S2 k    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
8 g/ ^9 a* a6 oend
yhat1
# p( F4 {# z; P9 z% `m2=length(yhat1);
4 \: j* z/ D) |, p* p" {for i=1:m2-n+1   
$ B6 h4 x' n. D4 M5 k    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
end
yhat2   
plot(1:21,y,'*')
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
) J0 ?) r% M9 l) n3 Z$ P" W! d2 n5 B& Jb21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
# y( [8 z" R6 _$ d: ty1986=a21+b21
y1987=a21+2*b21
' ?- J( J) [* r$ R" B6 C' @
6 y  o& x4 D8 h4 l$ Z0 y% l- I2 S
7 B+ a1 _/ ?! S/ z% O- G
趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。



! I9 }+ A3 T7 f' J, M$ A& q' A( l————————————————
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* [, o. ?! d" o' o4 l# e' e

0 s6 [6 d' N- D  s! {# b6 U