时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。
1 K1 y' X$ @$ L( @' K$ w1 C
移动平均法
( i* R) s) V: @6 u9 t移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。

% S9 ^+ Y; F3 u' U简单移动平均法

! X4 `! s/ [" i2 n' A
! [$ o/ g4 t: `5 D. _
8 V2 w( Z+ ^* Z* @  V4 L近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。

+ y  T# e# _' l( ~! g1 R简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

/ B& q0 H" \/ S. w! a! K例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。



& ~" }: U, S. t4 L$ m

( n5 F( X3 v( p7 c+ S: u4 h! ?0 f计算的 Matlab 程序如下：
$ Q$ ^6 i' ]/ `' q) P1 W4 T
+ `$ X3 C5 ^+ w- f  E8 L3 H9 qclc,clear
$ u  u9 l# ~, I( [y=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
/ f( ]: F9 P$ w0 mfor i=1:length(n)   
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
    for j=1:m-n(i)+1         
6 a0 {& T. A7 {4 E" {+ C        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
, T+ n$ ]: v+ P1 T    end   
- m1 G- N- D% \( i    y12(i)=yhat{i}(end);     
    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
y12,s

# Y9 g: c+ a5 F2 n加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。


, k) q' f- {  ?7 k3 w+ t' H$ x
例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量
& @% |) l& H7 t! e; z8 t
$ Z- ~7 D, X$ k. [% I! d
0 w) m, g3 {$ S2 E


* R5 l+ i; ^3 p0 R


计算的 MATLAB 程序如下：

( H8 o" O+ n2 n  V  gy=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
w=[1/6;2/6;3/6];
m=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1     
    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
end
yhat
1 V6 L6 \; [+ d3 Nerr=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
+ H" Y8 _$ m+ u" |y1989=yhat(end)/(1-T_err)
+ k! x, g& T3 j" y! }6 P# s
在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。
6 c5 e2 H) d! S1 s
趋势移动平均法
  F( f$ B( ?3 f简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为
* C! P9 b: e, b  v2 D


5 ?4 R/ ?- D& f$ e$ J7 v3 V' Z$ h$ u
9 Z3 U# x0 v. e9 ~: U: _; J

  E% W) Y7 h4 T9 o
" s; d7 i  G! s! Q! S3 ?( b* D例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。

% d  p1 E& ?' [9 |

+ o) J: K2 l8 O# H解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。


2 v* [2 C6 `0 r$ ?
计算的 MATLAB 程序如下：

clc,clear
load y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
6 }2 k% z$ J# y3 u5 [& _m1=length(y);   
n=6;   %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1     
$ [5 Z3 @$ g" w, O; `/ U. E    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
6 c& [. b0 h" u( D, v% f. Eend
yhat1
4 C  }7 B9 E' @% l8 m* M/ g2 ]m2=length(yhat1);
+ T& n  \. `; e* C) r$ Lfor i=1:m2-n+1   
    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
end
yhat2   
. ?" d0 K6 e2 x5 S! G9 O* m, w. qplot(1:21,y,'*')
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
4 }8 r; m3 Z( f) Ab21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
y1986=a21+b21
y1987=a21+2*b21



& m! r2 k  K3 r1 w5 k8 F( p$ S趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。
. N* x+ B" z6 |5 S# @$ Q
4 @  O8 ^, d( L) o: m6 x3 |
& f2 d1 T  N9 S9 R) x2 J) @4 K
+ t- `7 A' o+ \$ O————————————————
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