偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。




* C0 P$ D9 T+ B" s) W9 L
! I* I5 o1 L9 n" b. w2 X表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。
- Z  Q- W5 }% Y



利用如下的 MATLAB 程序：
5 T5 X5 l, i3 b+ o7 Cclc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
2 B0 ^5 |9 r0 n1 T2 z! Ddata=zscore(pz); %数据标准化
! ~7 p$ R. D# s7 P0 K9 k. bn=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
& {# t$ G  A. r. l6 Z; Ke0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
- E& q3 n( h; H1 x4 w+ d! hnum=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
) r' W" k- O) D%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
1 D5 m# s1 Z* t$ @8 |" ~8 i    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
    val=diag(val); %提出对角线元素
6 l" Z9 x8 V$ p+ ^% }' }0 A2 Q/ R    [val,ind]=sort(val,'descend');
9 z- b) R9 n& X( o% E; n$ z! A6 e" i    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
( ^5 `4 Z5 }. V    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
9 z6 S0 M6 z2 F- }" X% `$ f& z- X    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
' g, ~4 Q' v( n, C5 d    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
7 f; \# f1 l5 `4 c2 {    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
, k5 D7 B) h2 C" V# j8 C' J1 F    e0=e;
6 q+ v8 z2 q& M; g% x0 [0 p%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
' r! q1 S8 x* E; ^    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
' j7 L0 m; Q  @+ X3 i: m* \        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
% _- J) r% p5 @  W/ H* M3 M        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
        press_i(j)=sum(cancha.^2);
. K; w5 I4 t4 u* ~3 q# i    end
. Q0 X% q+ l, q' r) g2 z7 C    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
3 @3 m  @* [2 l3 q: d; R$ B    else
        Q_h2(1)=1;
    end
    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
: z! c2 V* p- n$ v# J& d0 e7 L        break
2 N( g( _! J6 @% f0 k5 i' x% B    end
end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
8 F4 n9 m; Y4 B+ Zsig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
8 g% r) `  W+ a8 e# B# ufor i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
2 S/ h' H, C$ a$ |end
for i=1:m
( K0 G6 s/ K. m8 ?0 y* \; ^    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
# Y$ T0 ^" m1 X( c, x8 z- F8 }sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
, Q8 M7 c9 h$ W5 E$ ]- ssave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
7 B( f$ P: E4 n- M1 y( p5 N, c0 A
6 R$ d; d8 C4 W/ m


2 U7 c; c" Q* k1 f6 u6 Q
( E9 e9 _+ t* S+ i. [
从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
8 M! q( u" u+ Z5 p
; t; X" T8 z( }8 i2 o! D" R

6 n6 v& L5 }8 n6 b
" M+ m  [! X2 P2 ~5 ?9 ^
画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

/ r  ~1 \/ p% g- B画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

1 O7 k; j* @, Y/ d* W: F8 Bload mydata
num
# n$ ^$ I, n3 U  t! qch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
4 I! @# O4 ]! P4 b: ?+ Uy2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
( {+ E# _; T7 X% Xsubplot(2,2,1)
" I& A) A2 p9 Fplot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
7 R  U' L9 B8 H8 G) Vplot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
* a  ^" z. B9 Z$ Q: vsubplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')




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# k* Y  G; ^) S: O