偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。


  d, |8 @; k0 G0 e1 c# t
7 m1 d) b7 `. i2 R) J
' ^6 c6 t) ^* R7 _5 V8 {
表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。

0 Y! O% F. O# d# o- g


利用如下的 MATLAB 程序：
clc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
3 `3 F! B# D7 b7 t# |8 J$ x: \mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
0 s, }2 m4 N. m+ crr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
+ k" j& s' F4 G4 _$ Q, Ynum=size(e0,1);%求样本点的个数
7 B" B' n: t" R5 t% k+ ^& ?chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
# K$ m/ g  i4 {3 e" E& O  T%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
' @* F; a1 O# z4 X( L    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
. P* A* ^2 r* \5 A- M    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
8 M% j+ L5 I" t    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
8 K7 E6 s" L% _. N, F3 N0 w    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
5 E  u! r+ ~) D    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
1 F( h" G: C/ e. g# D3 W/ B    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
3 [. p4 K5 c" M1 J5 l/ ?    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
* a6 ~) I4 a; \    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
. @  ~: Z7 L9 N; S& d        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
5 `& w, B& c5 n% \        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
1 ?0 ?: w2 V' b+ }& {- P( _- e        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
% z" y2 A, x  G% P; R+ l. \8 A        press_i(j)=sum(cancha.^2);
+ W9 ^5 p( O" x3 m3 @    end
0 q, V" c; z5 [. m3 Y4 x    press(i)=sum(press_i);
/ e4 L) p+ t( [" }( ?! \2 Q0 e    if i>1
0 t' e/ G' L- n+ [+ f" o& y' P( q& o        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
! u- a$ i" B0 U) c    else
1 ]; j+ ]7 E  ^: |3 g+ A        Q_h2(1)=1;
( M2 ^- P+ n% {& y5 u  N3 M    end
5 N% u4 B- f5 ]) `    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
  `5 B8 D# H( O' r" M: g6 d1 i        break
- c. e7 X; V* _  Q    end
end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
. Y8 l% M$ Z/ S: }xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
& e* H7 y  f2 U9 {每一列是一个回归方程
. x4 n/ b+ N/ R! f' X6 vmu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
+ f6 u% k4 W( A/ u7 M! Zsig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
$ w4 H' `2 d% h$ @# i) [for i=1:m
. [) G1 f" x. f7 E4 v/ k    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
8 w, I( Q4 _+ K5 M4 @/ }, send
( v' h$ s$ [9 @5 B) d3 k! tfor i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
  c- t. B, f2 m' X6 H$ u: Ysave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
0 o4 X. R- e! p3 V& F+ Y& P4 E
3 N* O3 Z' C, ]% N. v9 `1 W
- P8 f4 I- g- T
$ @. l$ X! m+ G1 M
1 G3 d0 A% f' }  k5 b/ w
7 w9 p& \& f' g9 Q1 F
( s- W0 a' i7 r5 C& Z& P* T) I从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
; D7 C+ t$ U7 }) i4 u




画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')
/ O0 F( j7 E& l. v
画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
num
% G7 H1 b" m4 y% pch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
6 C6 H  k7 l& Z5 o+ a! Ly2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
* u0 R" w! N" A. {* v; ~cancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
" F( @" i+ d3 t& l- ?* Hsubplot(2,2,2)
9 Q' ^% \8 [" ^5 b+ R3 \plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
subplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
% e: b! e. r" q+ G7 x: z$ ?



4 s: r1 |. L* M% H3 h3 i/ S2 v( i$ a————————————————
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/ a. A3 I" h  S) d原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89669273

+ ]& c7 i+ k6 [: B* ]- m: j
4 K3 p2 d  w% ~