差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

( d  U3 J1 Y# g5 H0 l
$ M3 f7 Y) F$ E/ o6 i
3 @* L: R' `+ O, a& p( f8 X% o& A& v
满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
' P; v! @% H* ]9 H
  h% Z( o* m: y$ B' m) I n 阶常系数线性差分方程及求解
8 A) N) z8 \' s' J. T: F) H

! \; |0 t4 v9 m3 J


+ B- ~  v6 p* }* W3 m& E2 ^两个例题

. W: A" D0 L# D8 A0 o4 Z
7 H% y. x" ^1 D/ {; c. e8 e0 m

8 u$ W. f- U) O) y解的稳定性
" G# o2 |- `9 D: u
0 N- _' H$ {- C( w5 F

& ]0 K" H% S: H程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。



2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
. a6 W0 i: {7 x/ b9 Q" L
0 e, d) G0 I7 p& X  c( q

2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
. w) A5 w) E% m' d& J6 q. d（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换

* ?  C# I- _2 D' x* W2 E- J% ]

/ D8 w( ~/ a( e6 F（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
1 y+ }/ c2 p8 d$ v1 [+ R  h, z


（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）


9 J0 k9 Z2 U4 K  S8 Z3 ]
  F9 H# g4 L6 w! S) Y2 C2.2    Z 变换的性质
8 b; p3 j7 r/ l（i）线性性质

- O$ ~8 d3 J1 O* ^' m# K" \, D
, O/ i4 @2 S; d; j, a8 F6 K2 k. s6 Z
8 Z& T3 Z( H& a5 M  k; [（ii）平移性
4 S$ v  M3 p/ i7 m
5 u( l% T7 t6 Q# p


例 3  求齐次差分方程
9 P1 L( W% ?, H% H
& N2 W3 s: l: j, H: F! |2 n8 C% l

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# M" T9 {; W  ^) v6 N6 V( `) h  ~2 {3 W
2 j2 X, j. o: L3 v0 H: D0 K
7 n- k! z4 U# l: g5 M% U; }  e