差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
9 Q- L. Z  s! [! [. K* L1 o0 R



满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
5 P' g# o8 ^5 t% s
n 阶常系数线性差分方程及求解


- e+ A7 H; |7 g: c8 Z) Y
/ o+ r6 C8 ?3 n' i! _! S* Q

2 ]8 `0 v- _# ]8 p' k( j两个例题
0 j! Y, E% M" S9 _. O* g( d


5 O9 r$ u  L( F& [$ c4 W
解的稳定性

% e: C& x; ?1 {' g9 i5 \# [
9 U0 U: M8 x2 s. z9 c; p
程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。


8 x& a( z' Z, ^+ \1 p5 Y2 K
% x% `3 p3 n8 J/ w) J2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
9 k) E4 }( ^) u1 D% M  b' B常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

: d' n' |4 h, H
, k) G' y8 O4 m
2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
' b8 W: g3 u! v: e9 N' O
4 j1 @8 x- o! k  A  G! L

（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
: ^3 E  I" ?6 i; F
; k) @& S% K" Y5 G" \7 b2 V" T7 i
- `: v1 R5 j* v9 E6 q
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）

9 q8 X9 f; j/ f8 v
% @; A6 U. H% w6 E" H: b9 f
2.2    Z 变换的性质
5 @2 H) M/ Q6 k8 M% y8 Z! t& [（i）线性性质
; U4 L* C+ i; d9 V" p


（ii）平移性
; R0 M% U" B. }  b& N" y

/ y) ?6 P9 w8 Y! s1 o
0 ^, a" f% Q; q  h3 W6 ]% S) s
8 m' J! [( N6 i2 ]* ?7 {例 3  求齐次差分方程

0 e- D( ~- K. v' [6 A5 Q( k
5 I, C0 F# A- @/ Y' {, T
* k8 U8 ?0 }1 ~1 _* y2 d( e  c' e5 A————————————————
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