差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介


' Q: A& n. N& M; y" e( ^3 E- C

满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

8 P/ f7 n$ i9 ^1 j: h9 a n 阶常系数线性差分方程及求解

: G" c4 V' t" v6 X& a( z1 @5 V
& M7 N9 V. w9 {0 `5 E- P
! f& g% \: O( G. u3 ]
  M$ o. w; r6 ?( c8 i( R
两个例题
- N. g/ K9 L' V6 d
: @- }  g1 G& B2 ?( c- u


- J+ A. _1 a' J解的稳定性
. O2 {+ f# {5 X5 s


程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
7 M. t2 q0 {# p6 s
4 G- A" C5 Q5 O: z

2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

- X7 m7 P8 \3 O) G1 z

2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
" \1 W6 H' J0 |. B
* X/ I; y" ~2 n2 n8 }6 E5 x! K
# z/ A4 o. q9 L$ B7 _1 d. p
$ I8 X: C( V) V/ K6 m' u8 _. k（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换


. V' G+ B' V4 D" {! o
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）


7 `) Q1 P" ]/ w0 p2 Y5 @- z% h7 w
9 D9 x1 o; `3 q2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质


( N0 ?8 ~% q* u6 Q
$ W# _" z* u" D; ~! y. Q5 p（ii）平移性




9 Y" Z3 k5 ~: e* E例 3  求齐次差分方程
# p- M& W6 S9 T8 Q" ^! b# ~. y" n
# h( T/ l9 @- s# i4 \
6 E" t/ d" v2 T/ l
, S2 B8 j3 {: r2 |" k4 U————————————————
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# E4 ?  D- Q" i1 O6 o# K