差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

1 常染色体遗传模型
# c" ?& G: R7 {9 X5 p常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。


# H2 l* d7 u- J( r. J% X6 p) y
$ t. ^0 w8 M; ]  ^% Z' w# n例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
  H: U. d$ A' V* B
5 |* @3 |% J$ r7 y8 ~  G$ P# e（a）假设
令n = 0,1,2,...。

- S/ h  H& K; g6 ?8 y/ l
* C' S% o% q" e5 J5 [/ H
6 n# p" l/ n8 Q* s+ t; r
; n9 y0 U# b) f" E+ K7 G, f9 v
; R' h* ^. K9 }6 C0 t% H（b）建模
( X/ o1 l( u7 l/ ~2 h6 o8 c( a$ v
2 W  c7 l. E* z




& k9 M* A* J) y编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)

; K3 l0 q" H' Z- j

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

+ S9 g2 u4 {/ a. K1 M" y% Y% ksyms n a0 b0 c0
# K1 X: o  N, g0 a# S# KM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
! z' K2 V1 k' |5 ^+ V  p[p,lamda]=eig(M);
" u2 I' \+ _4 E1 @- p" L) }$ @x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)

$ U; y0 j9 T) n4 r  d
% Q5 [, W8 d9 p- W  `
9 V) u7 g# s8 V1 z; B) x2 V2 常染色体隐性病模型
: d) D7 ]; k; h9 o) E8 f% I现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
' |/ J) s% |3 [# d
0 m7 p5 v4 `7 _* h1 X3 I1 O% s（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。



（b）建模


- D: |8 g. B. K0 j( C
$ e# w; D1 p) E5 \* P0 m& K; L/ K3 ^


（c）模型讨论
3 N( B. ?0 a" B研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为


4 P* J$ W7 S& @
下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

（a）假设
  `( g! f7 v9 B# M, {8 _* B9 L  f（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
: u2 k7 T! C2 M
8 d7 y; `$ C  t$ Q（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。


$ ]0 V; ]/ `; l

; }* g7 ?) _, d: x( J
3 m: _) Q( ~) A. R% F/ y. O# g  _+ \


编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
, [0 E  |9 w! |9 R8 b, ^x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)

* ^  D& r3 Y$ t; h8 g8 d3 z由上述程序计算结果可以看出
. ]) p: w" E% b& v
0 d& A/ k8 \, s  z) X' `2 O

习 题
1. （汉诺塔问题）n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下， 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月） 开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。
8 P% ]0 w% t) Y: }7 g8 j0 P" ]3 n
6 M3 ~0 ~& A2 V+ Y0 d3. 在常染色体遗传的问题中，假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率，并求当 n 趋于无穷大时，基因型分布 的极限。




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- k. U/ y( u7 D0 }4 R8 i5 X
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