差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

1 常染色体遗传模型
1 a$ _- Z% X# R, m, r( b常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。
) [0 P2 e! _3 ]5 y  z0 E  z& d
5 R6 t5 C- x2 {4 L& ^  }" q1 A. C

例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
4 s+ x3 g. A+ }( R, Q( C
（a）假设
令n = 0,1,2,...。


- c9 C6 _6 v3 j) b


5 Q' E# C& n! [（b）建模
( k* q1 g/ I% Y+ r: i


$ p4 o! m* w5 k" h  N1 j; z! q4 J
5 w, \$ s& S, t$ @! S

编写如下 Matlab 程序：
8 n3 `1 }2 k5 O$ w- D2 S, z0 z2 Z
syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
0 n" ]! K6 X; `) K3 E, x, A[p,lamda]=eig(M);
: ?! S/ G3 z" F' S9 F5 |x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)

- \+ m' w" b& l- B) }4 V! {! K
# k* a& Q% p% s

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

* b/ P. [5 A# [- R' s, v# gsyms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
) F+ i- J) _# C[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
/ A0 B3 M0 Q: r5 B. qx=simple(x)
" c. L; \2 q' O  a  W) ~6 I
* b# e! a# |& M1 J5 a% ^) }
( k$ {) @  m" @
2 常染色体隐性病模型
/ A: U, s' o6 z! ~( K现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
! O% w! M3 m: p" q) c" t
' Y- D( [6 ?# n  i（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
. J. ?/ C: \- A, w9 u% {


  \' |3 ]5 C5 z6 K% g5 ` （b）建模
9 h, c. A2 I. G2 L. q( Q) p6 O



* g: C: P. G& ~$ I. v: S

6 z1 Y5 }6 u' x; Z" N9 q; t3 o" }（c）模型讨论
4 r+ e( P* Y" |研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为

* w0 a3 w: ~# Q" }* l! p  U

2 }! u% P0 B! p下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

* a4 B( n5 @( u! W3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

（a）假设
# O2 H. ^3 \# w0 w（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
- H: t+ K6 t/ {! X0 E9 _
/ S3 I5 _5 w! }（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。

6 h0 u) T' `' a' G8 U





! \( Y! Y! k' q9 r4 m
, t9 f7 a9 p, n9 i- g' D编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
4 B8 I. Y7 `8 [; c& J2 w# k; zM=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
( U7 M# U9 L: o( x- Rx=simple(x)
" f1 a; U4 p" e# J# s! y
: O4 R' T" A6 L: N8 N. l/ [) J由上述程序计算结果可以看出

0 a; y( o1 H; ^! J7 z$ A! p$ p
) D" q9 y1 \% S1 N7 |" _' i0 E
" S/ k6 Z* K, l' \9 c习 题
7 {8 I9 z+ J# `1. （汉诺塔问题）n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下， 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。
: S0 C* P6 k: R$ x
2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月） 开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

3. 在常染色体遗传的问题中，假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率，并求当 n 趋于无穷大时，基因型分布 的极限。

9 c2 @7 f# r9 F1 q" v$ n( a) {
0 L8 y5 n, o9 |; i$ p

————————————————
8 j: O6 f( @4 [) b8 D( d7 s版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
, j0 i( Q5 v5 u$ r! C, q  M/ B7 E$ V
/ _4 p+ m' e1 h3 L& M
4 T' R5 U. y( P; A3 ^+ ~% ^: j