偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。
- Y* e. c3 |" G) L





4 b( d. C5 W4 t, h! w表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。

2 Y, ^, P, O/ x' G* H* n: V$ \: L

利用如下的 MATLAB 程序：
2 d* f3 Y& R9 c6 {
3 `$ \& r' o. y9 `/ C4 Z+ g' nclc,clear
( n( ~( n4 u/ B/ Y- o- Qload pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
' G- t; @1 P: Y: zmu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
4 @# ]# [- A3 ^; q% U: o) cdata=zscore(pz); %数据标准化
9 l% b7 D3 }3 U. ~! \n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
5 _; G3 P/ D9 x5 t    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
8 W6 [9 }0 d; g8 E    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
    val=diag(val); %提出对角线元素
( Y5 q- ?& b% d" B0 d4 q) @    [val,ind]=sort(val,'descend');
. D" U7 E: ^" I" j    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
8 M% k) N+ }( B) q  D    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
* y$ P/ S/ J: ?  _+ n$ X    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
: S: C& P" S) y& l0 A3 K    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
+ I2 g0 k: a: b5 K% ]    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
; `0 \9 \7 s3 }7 i8 x/ g2 s6 s) w  t    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
4 |" J5 \0 _& I! x. I+ k    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
9 c" Y) |; \1 l9 z2 z5 z0 ]%以下计算 press(i)
* u7 m6 G. x, ^: {) b* G" o    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
8 Q! W" t9 Q4 F" n' O7 K7 {( H3 ^        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
7 @* s8 y- \3 z        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
0 d. g  J' Y9 c+ N0 m7 i2 j        press_i(j)=sum(cancha.^2);
4 F" t( Z5 X+ w& A2 @" c9 R    end
    press(i)=sum(press_i);
( v* J- D0 @6 _    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
: _1 I, I" r6 H  |8 K        Q_h2(1)=1;
; [3 M1 R0 \9 F' _+ Z: c    end
    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
        break
: O8 [+ A* D6 w3 A    end
end
. `8 }  E7 w2 {( m) Ebeta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
0 _! z1 j9 ^- c4 X2 }beta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
5 n; q9 V$ i$ `# i3 X每一列是一个回归方程
8 e" A: B8 ^; K# |" Vmu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
$ j0 S! O" R& [( c5 msig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
! R' Y4 ^+ |6 k) M; R- R, a* yfor i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
) a/ c: t1 Y3 _# o6 S9 lend
for i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
* }. {+ D8 ]; F, a! M. {sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
& O( t- T) \; D4 W( b4 l- Dsave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
6 z/ E4 b1 j: k8 n3 c  Q0 h



8 p( X5 Q& E/ {3 D5 e+ u! ?* E从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
num
ch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
2 b% Y% i8 a0 _- h# o) ny1max=max(yhat);
& K6 k+ {( j4 Z( \y2max=max(y0);
- g% G  }2 Q( T* r! Cymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
" J. ?4 B1 Y4 g7 @2 _subplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
( Z' }7 `' Y+ A8 |$ k* m( q/ Z2 vsubplot(2,2,2)
* C4 j( m+ f/ v/ bplot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
subplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
4 y: G2 z' X0 b! T4 S; ?

  Y$ I' o- y3 V0 ?————————————————
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9 D8 K) h* A0 G- @( `/ v' K原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89669273
8 b, X0 z# L' A! P: R
! h. g( @+ ?- H# }