偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。

, i5 d: ]. ?+ d% y% l/ a
1 a, F* i+ j0 r; n# ]3 N3 X( f
1 n1 W% E* D4 ~9 c9 \. e4 x4 ]
. D7 D0 P) W' }0 r
6 Z1 A% w& [0 z# ~  B# D
表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。



+ w, Y2 v9 X. c7 z利用如下的 MATLAB 程序：
" {& x! u6 d4 h
( n: T4 @  d, E$ v% e! vclc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
* n8 v6 `4 g5 n2 q1 o+ I, p/ ^' Nrr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
8 X7 i9 A4 C" Z' udata=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
+ i/ u: O5 r9 Z/ y- f2 u4 Ee0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
5 x1 a4 U3 ?/ y: G- K% M) H) znum=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
- n& P: y; }- `5 I$ L& o1 Q3 v/ @for i=1:n
" _  g) M7 S* ~; ]1 }# T$ B%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
    val=diag(val); %提出对角线元素
3 x2 G# E' g* e( [    [val,ind]=sort(val,'descend');
    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
  [) b+ }3 ]9 W$ e: N$ i( W* c    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
) b5 r" Y' a) x5 R    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
7 C' U' y  v( k1 U. _# F    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
0 k" |) ]. _/ j%以下计算 press(i)
9 {/ G* H5 P' K" J    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
  J% g- s5 N) u" R: \        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
- b7 ~! f+ |* j4 c9 ~; E5 w        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
        press_i(j)=sum(cancha.^2);
5 H7 l5 h% Z2 [+ ^5 u    end
' J% H$ i% ]1 `" T8 ]    press(i)=sum(press_i);
" a  @, O' m9 V' n6 X: X    if i>1
6 l) h6 ^. {, l/ n, I  N% P        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
( s) W% Q$ O' u) Q2 G3 v" K        Q_h2(1)=1;
& n  n' U( P; K9 Z! ^    end
7 {, B9 v5 |* V+ z  _    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
$ S! i0 p/ {; \" s2 {8 _) T" u        r=i;
0 k- s, Y, p4 E$ R& e3 A" Y5 l        break
    end
end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
4 g$ Q6 R- H3 A" ]2 M; k! ibeta_z(end,=[]; %删除常数项
9 `( h6 @* H& v+ Zxishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
/ }  \2 k: C+ L( u3 wsig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
9 o0 P3 h) R" U2 Z( tend
for i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
; i  G3 X! T% w! M0 {8 jend
sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
9 e; O! C" v" |0 X, [save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
2 H+ v( t6 g' o) {



' E+ d6 {' r9 E; w" {从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
% J$ p" y, H8 K- l4 ~
+ {7 R& L. ^# _7 U# x, E8 j- \
! i6 a; w# g! ~. j

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
* ~/ D+ Z6 \# s; lnum
! D5 y4 c8 _8 Ich0=repmat(ch0,num,1);
# ?; _6 w/ u$ \) d; l4 `yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
+ m$ F' U" z" zy1max=max(yhat);
5 q. s+ a  T8 |& e" Dy2max=max(y0);
: |  l* a" [4 e3 dymax=max([y1max;y2max])
: A4 ?7 C: W3 t1 O6 C  b9 s- Gcancha=yhat-y0; %计算残差
  K0 K# C$ k3 V: q" \0 l6 E; Rsubplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
; y. v& H8 Q5 ssubplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
subplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
5 n" K) b/ b4 b
1 ~% P, _, [% F! D6 ~1 w/ J
  m$ F4 g1 d" p. v9 Z5 B; O+ h————————————————
1 {: m/ v' d( n+ Z( j& {7 ~" Q版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
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0 O8 L' `9 c, D1 {* E! j! b
' ^5 C5 O& ]# Z+ B3 V8 k8 K9 B9 {
  ^% ~: a; X4 a3 k# u$ S$ v7 h