差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

, f2 a8 ~8 o- [! F1 r
. x2 _6 D  |' a% I1 i" o
满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
9 F/ ^/ y2 f6 f& v$ O, E3 I  F) b
% G8 x8 G5 {( x; P/ c n 阶常系数线性差分方程及求解

  P. R$ _  n' x5 G



0 p6 r/ q1 B2 j( L$ M- K1 H* l两个例题
4 q8 z# z! U8 {7 ?

5 p7 X1 m3 k: c' p/ V3 z# B
+ v; N' v7 a! k8 z$ m# E' A

解的稳定性
2 `1 d" Z$ m  z  [

& k& V, s3 u: M7 h* f+ ^: Y
程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

- z1 T% q. c, R
% M" R* M6 e6 R0 ]6 s5 ]% u
1 s+ e6 Z$ f; \) P( @7 a2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
: ^" b8 n7 r% t. t8 l6 x! m  E. _常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

# N& q4 b' m9 I
- ^% o& L. k3 O* _* `6 e
2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换


# i( [/ i$ A+ ^
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
5 ~2 T2 O7 q0 }, q/ w2 ]/ Z

9 n" Q$ Q5 C. V! q5 [6 i, n
  X4 q) M" Z/ h' V（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
5 K) g; r3 ?6 a6 @7 \1 [0 H

" V! i. ^4 A! E' h' g5 b
3 a: B5 i0 [  Z6 l/ D2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
9 N" p6 x# i% }2 w. ?$ }4 ~

; f& \. @- z+ z) Z% Q+ _& ~
) T! z. E& \; d/ ^（ii）平移性
' H/ p, d1 K. t+ t6 T$ \


例 3  求齐次差分方程
& ~8 d& c' Z  L! E* b" B6 k' Q
2 g) r2 l& S* |8 V9 {
# O/ ^; C2 T- T& O
# j% ^! o9 e" F3 B————————————————
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