差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介


: m" _' R: p  N  R# b; r$ B
% }3 U. S, I" I) O: @0 \满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解
9 k" h/ x  _; J1 F% ~1 B$ t


7 o% P6 |0 Q1 C( v

两个例题

3 Q/ `) |; S& u2 j5 u  f& `
) h6 }8 Q- }7 g


解的稳定性
: ]! B& q3 m( \/ e$ P. D


程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
( W$ O* J; ]7 ?# e5 B

* m! v. o9 v) _. X0 |4 ^  `  v0 ?4 `
% z6 v3 m. V7 ?2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
* Y. o% x1 D( j" e3 M- }常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

- l9 P' ^4 @) }& k( E3 Q

9 S; F; u4 W# M8 u2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
$ m0 n" t6 x! w( v
5 @& F9 Y  v2 k/ S/ F/ K

# I8 l5 o" F$ P8 }（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
# i9 L  Y0 w) \4 w, o/ G6 }4 y
: n. E3 ~2 h+ T$ E, `  L# c

（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
) F/ m6 o% Q  J, r2 `. N0 S
$ x! @* V. i  t" @
  z5 {! r  }2 O
2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质


' H* s4 u& d( ]0 s; K  k
* _$ A3 ]: ^. p7 e  v4 G* A. c7 c5 o) B（ii）平移性


5 y/ Q$ p; |' \# k9 D* a; W
例 3  求齐次差分方程
' z. c$ Q. i6 U. T; i8 u- W
" y2 f: |  c9 I8 m& Y

; w* i6 v" {# h7 C3 }. ]; Z————————————————
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