差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
  u, y& _9 ]9 r9 A# f1 z& M. q* h1 v
% Z, [# P/ u, z& {9 o& a* [( S7 W

; G/ y5 P2 k  O3 x# ?9 }满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
# F% o  b2 W: y+ n
n 阶常系数线性差分方程及求解


- _+ T! ]4 @$ A* w! ?% p9 y( j, @
5 y+ s* W7 |- u

/ U$ ^- V2 ^2 \( ^5 E两个例题
/ [/ I- Z% }0 t2 d$ l


6 `8 p' }( D: q3 t" k

" W, _( n3 W# ]3 g# t' P! i/ {; r; t解的稳定性
; h; T2 ^2 j( [  ~0 Q. ]  r


程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。


* o$ N; N; I! @/ [( K4 R4 o) o
2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
, ~# S1 h( {4 p


2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换

7 w  A8 p/ S5 L
  j9 W! R; _/ y0 r. i- g. V; A
: A( ^4 J3 u- A, l（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
% T$ S' F3 i, m- k! H4 f3 r. H

# C% I. c. o- M+ B( e
7 s1 D+ @2 v5 L8 |1 ~% U/ W（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）

1 C  p/ ]" B" G/ Y

2.2    Z 变换的性质
7 ^2 |( }- H- }（i）线性性质

( s% U% l7 a8 V5 H3 U2 n  i
1 y; }; Z- J6 e  M$ m
8 m! T$ X  ?) |; L% I（ii）平移性
# O6 ~* ]2 n! B


+ y9 k$ `6 W) ^' F5 A/ k例 3  求齐次差分方程


3 Y! e4 D: y5 y5 I1 @; e
& M/ }) r+ x) i! f8 c————————————————
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