差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

9 F: i% j# u5 ~& _  ]) k) A' \0 f) H

满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解
% T$ O) h6 l8 l3 F8 r- x; ~& g; Y



$ L' E* V1 @4 }" @. f
两个例题



2 s8 B. B# e" W& {$ {/ t

: E2 z1 r# x/ @1 \1 O$ t& s解的稳定性
: |4 @' S7 K+ J2 ?% F9 ^
: p7 q* i3 U6 i& r) t8 S# C( Z

程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

. @& h0 }2 ^& C# \+ m2 ^6 N

0 j3 T- F( `- \' {: Y2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
& ]7 y% L# x' j8 W* c/ u, S常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

* B# F2 Z9 [5 K: }

$ j3 K) T' u" W4 Z7 N2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
3 D: d! z# P/ u! K+ R（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
4 q4 M( _6 M8 B' Q4 T' n0 ?7 i5 }5 x


$ s) o0 X$ @5 U! F3 c) S（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换

; ]! B5 ]+ T5 H; \4 u0 ?1 E3 J
4 z, I5 |- |1 x! b* n0 X
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
8 j* H8 H  \4 e


% _2 {# g0 Y* q2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质

" ?- u0 T3 e+ _0 A0 W
: T: C/ ]  d- I) u: i, q
（ii）平移性

8 |) l9 W1 F' U; i+ H1 B( o; o
) |( L" K7 e% J* x
6 \% ^& C$ b$ s1 D0 q2 |* F( T0 K例 3  求齐次差分方程
$ G, j: |0 x" G5 A6 ]
# L% o! ?4 \; b3 }2 M! g4 z. K

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