差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。
9 n$ i, ?, `6 Y3 S# u2 j
1 常染色体遗传模型
常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

& A" r. g) S6 x7 n+ B
3 `2 d* j1 \4 E, m4 _' S
例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

（a）假设
  ~3 w5 N# ]8 F+ }7 d( I令n = 0,1,2,...。

7 c1 W0 w/ i' V% j; G& a

（b）建模
; J( {2 ^' q' G
6 Z# b9 @; {6 [: P4 a% u+ R4 Y
. f. O$ Q! R5 K  n% L: t) m
8 L9 p3 y" J! i  ^* h# O& E

; J& I0 q; G" H- A8 J% w- R, v$ N编写如下 Matlab 程序：

2 V  l! |% E9 n1 }6 j+ x/ _syms n a0 b0 c0
0 A$ m* x! o# @6 k: k* j" T' |M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
; O' A& A2 N0 w5 {! K[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)

' h1 L7 s/ _/ B( ?# @
2 K% G- \5 I) q+ M
) A2 J; y) q) E. m3 V8 _

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

; u. O' \6 X. Y) d( h8 o! O编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
' X0 v- }: s. [[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
0 k. d* }5 d) _  P6 ^x=simple(x)

" p, A. B* e- H! r

! `# N2 t* \/ o
  h( C4 K. I, g' o; i, s2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
( w- ?' Y+ f+ s- T; k: o
1 M" ~$ n* d7 f, ^* W* o: U

（b）建模
8 a& l6 y# y. g* v  C4 }3 l' O
+ o3 v7 D# Z# [. b; E7 `


) i, @& d; M0 B
: K5 b. C- ]( g2 X（c）模型讨论
% I. Y- }7 i/ x! b4 T研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
- X# U! ^+ N! ^8 p

; E% c- ]$ A" n& \) O
: B+ g( ]- d. \9 ]6 T$ U$ G下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
* l9 v! U9 n" a9 m) C5 o2 N
/ h) n4 i( _. \7 Q, X7 ^3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
. h1 Q6 Z) K3 ~8 c
* H  \+ r4 ?" W; [! c（a）假设
) \& y5 p5 x2 C; [7 \* F- Y2 X( C* S, @（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
0 @$ {/ l  N8 p# Q4 @
（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。


7 @/ i: R* Q4 b9 z


( ], r, V8 i, R% j) T0 i

+ d& p; a" c3 `# `+ |( J4 R
编写如下 Matlab 程序：
# {8 X- H' A+ V: D7 }; w
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
7 [( V) @/ g$ P8 E* ~ 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
; N9 ?. [# U9 a3 A' Q9 \! \5 Lx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
/ k" t. g3 U, e/ vx=simple(x)
- u5 r/ _. s2 _
, H' N; C5 {+ C( |# C$ d  {( T% X
+ c( o4 V! y" M由上述程序计算结果可以看出
, v5 A; n+ x3 W# |1 O* z7 X* [' c
: M2 c8 U* D* k2 ^3 m+ Y
6 q6 N. B: }/ j6 {/ f
' j% x8 P7 k$ t: U' }6 Z
- w! v3 C; u" [* u* o/ C————————————————
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