差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。

1 常染色体遗传模型
, z5 @+ l+ z9 t2 b2 x常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

& t  b$ \! W8 \- U* v, Y  l) [7 F
2 |# I  h, l0 ?6 [0 b7 g. e
例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

0 {# ^/ [( ?$ C  \+ B- E' z" D& _（a）假设
令n = 0,1,2,...。
. a! F( p) h, s& P. k/ |

2 z+ N- T+ S, E5 y5 _; Y7 X) L2 L! |
（b）建模
: [& W( t# F* }9 {3 Q- c; |' l7 w
8 y3 U# c, z! K& v( {



3 @1 _8 I$ Q9 f. q编写如下 Matlab 程序：

6 @/ l+ l! V( y: o7 Esyms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
3 u: |6 t2 Q* l) @x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
  r* P6 Q% H3 l9 c6 {. O# Nx=simple(x)


# _- m* |+ E9 B: e! O7 `
* E! ]. X( C& P4 ~

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

1 C8 g1 J6 b2 a3 w编写如下 Matlab 程序：

: I' u8 p  S+ e" O9 fsyms n a0 b0 c0
& M' M. o1 F' w# z8 \- kM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
% O  Q' D0 N+ n, [8 r' g: Kx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)
9 S( \8 A7 m0 |/ k' Y" n

% O$ m2 a+ \3 _. p) n# b- }

2 常染色体隐性病模型
5 i0 i0 O; G$ c6 h现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
! n, G1 q( v9 _3 Z( t
) y& K% P4 T, V, B/ p3 {（a）假设
2 ]8 K/ d+ P' p9 U; M; Z（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
- k( g" f6 ^  ?% a! X' X# e; E
# O0 k. z5 r6 [+ X1 U: G# s0 f
  Q7 z+ K9 J7 r* L2 l# w+ N
) n8 P- ~8 H0 n4 e4 }/ s （b）建模
6 v9 a, p* ~5 q) U$ V
# j" c& [& Y7 |) d, X! r' w

" a) S& [7 n' D
$ ^( m1 ^! h- ^# N9 l9 y* k
" @6 d! i( w( |, P. O9 M2 N. S（c）模型讨论
/ b; [" B9 ]- u5 e9 c研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
* ?7 o: s( ]' j# Y* x

5 t+ J0 f! U" T  G" n- U6 x9 J
下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
  ]: [8 W% b* n
2 W% g5 Y: A% f. d" I) k! G0 c4 Y3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
8 O% p  s9 x) \5 ]  ~$ q/ }
5 H0 k) Q/ n2 |; S6 J2 ?* f1 s（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

8 g' {! H8 \8 [1 `, A- T（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
4 l$ S" R+ n6 s8 V; y" a
! ]! t/ N6 u; b7 S6 v, s+ a

0 _3 ]& W; ]; ?7 a: R

: G$ \8 l, S3 d


2 q: O$ {# A1 e! z  q) b编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
' |3 D# [$ S3 q  C! Q" x. Z/ Z! LM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
9 ]+ f! S% \/ @. [0 M8 AM=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)
8 R2 n/ k1 E# Z- n  |4 R/ w3 y) Z
8 X6 F9 U% u& M1 S
" a! }; p# n. Z: Z: B. c由上述程序计算结果可以看出

3 h- F1 O8 A+ P- i2 L1 W

0 V/ j( M$ w4 u! e: A- E0 K# F( Q
6 q' ?8 j5 n! i8 v5 M————————————————
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