差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。
& R. T$ B  O! T# B
1 常染色体遗传模型
! h4 E) [: A1 v9 @常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。


1 v9 W3 J: B# ]; H- x
例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

$ G6 y1 o/ ^$ {  T+ U& J（a）假设
1 d0 C1 l0 B9 l令n = 0,1,2,...。

" H( b# Z, }; K. m

（b）建模

" L( G% f+ f" W6 L2 @; r- }

+ ^8 D$ }; K( z' I  R

/ a% X9 w& v0 N/ N+ p编写如下 Matlab 程序：
& I. s# C6 q0 `3 ^4 T
syms n a0 b0 c0
+ k) H: H! K+ H; A# DM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
7 y/ j0 {' ^6 e" V) |0 `# L[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)

/ f# S; b8 m! U4 P. \
: C# o' i8 g, N' k' B
6 F) ^! }2 Z! @! I7 U+ a4 g/ a

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

0 [8 [) o' x8 }5 z4 ~$ n! j9 e4 m8 r4 M

编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
* q+ u0 T& h; \, BM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
8 X1 w- J  s( n- L[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
6 o6 V- U0 D2 T0 t, R4 p1 R* Yx=simple(x)




2 常染色体隐性病模型
; V' L) Y1 {, w+ D现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

/ J' D& F9 M  V（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。

+ h5 X, Y! i* b6 U; R

（b）建模

1 z' S& N7 K9 {6 q7 V6 X8 M1 ~
7 h" o3 v; n: V3 N9 R' H8 |

5 A; Y, q8 m5 T0 v4 L5 H# \5 t
（c）模型讨论
研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为


+ F+ ^4 S& v- p9 u9 P1 i! @
下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
3 T- |( U3 U/ ^# C6 J1 y$ E
2 k) Z) ]3 n6 e6 y, L（a）假设
6 e1 M6 x+ h3 `3 ^（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
) i0 q/ \. q  S; W" g
* S! O  {9 a- s- o' ?（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
; I9 N# [' _, Q, W$ x/ R4 W
4 N2 D# s- M5 ~5 ?

( s; c9 n3 Z! W


9 x1 T" f% g; H0 T! N
5 D  P! ^& n2 j- X
编写如下 Matlab 程序：
1 m  y  h) E% `/ H3 b
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
( v$ p0 y, X# I) X) ex=simple(x)

! H6 K# \# b& ^3 B+ K
由上述程序计算结果可以看出
5 C+ H+ T% |5 ^  ~: f. c+ u
- M+ I2 `% x, z8 c2 Y


  c) W4 c  v4 A) A* U————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
. P7 `2 j! f7 M# `3 \6 A% Q7 H