差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。

1 常染色体遗传模型
常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

1 [1 a) U- t, c; g4 w& h
  k+ }. r' ]: R) x% C: l
# N, D! `0 n6 W" _; s例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

  `2 @" k! e/ e  _" x（a）假设
3 o- t$ p' D. X* s8 n$ `令n = 0,1,2,...。


2 Q6 z! X5 a* K
$ P6 A% ?/ E5 e/ F1 }7 q* X（b）建模
* i6 t( G& h' E! S
+ {& A* B  V% q9 l


" ^9 |6 h* _7 T
编写如下 Matlab 程序：
. v! e% A: y* ^# _
' u) v4 |; z( A+ B- jsyms n a0 b0 c0
) Y& }, A2 f- f2 V' \- xM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
3 K& o! T3 R  }: ?% z) C- z5 }[p,lamda]=eig(M);
  E6 J% g+ S$ ~  w$ cx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
8 J' R8 n! B9 h; i: t5 Zx=simple(x)


9 U6 s! |7 v( u

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

0 c0 b- T% r( [, t
编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
, ], x; Y: L" ~# i4 fM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
6 C7 |2 H* h4 s" V3 U- u& H[p,lamda]=eig(M);
; K) Y) }0 P, r) X) m- h, l: }x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
9 Z( V# Q# u) J6 s+ _x=simple(x)




7 B2 Y$ Z* y  n! a2 常染色体隐性病模型
' b$ `* Q9 o& u- P1 }现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
. ~! _) o$ v, u
（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
! u5 Q- b0 s9 H


! S) E  ~9 F$ y0 ^0 }  m （b）建模

; C( @* I  H" @% D; e5 K3 n0 v; l
; \, R, n+ B9 i! i  h& a

7 R( S5 ^% c( C0 j* W3 @4 _
（c）模型讨论
. l2 \) [) S$ U+ D! @研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
; c  z! b7 b/ `7 W* ~9 B1 n
. S9 v; e; O* B/ ]: t

& }8 ~% j2 q+ N下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
: K/ k* Z5 s# A, F6 D4 I
% Q9 Q9 T+ ~' v# E0 Q3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

( D: }# j7 e2 K* n$ k: W" L$ Q1 t8 c% T4 r（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。

3 y/ Y$ z1 J6 R. s3 ?# {/ Y% ^7 ^
6 k$ Q# U9 L( t; Q# T( y. C9 ]7 d
7 o& O- m8 ?$ V8 I! Z
( r# k! c& h2 y: w# P( b# K" o4 C) L
! O# r( D# ]3 j% S6 c# m5 p
% {( J. E  c7 B

! |5 O) ?4 J/ w; J3 }" ~编写如下 Matlab 程序：
$ `/ F; e% R6 h" b1 b
; I6 j4 j# R9 Y9 X$ Xsyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
% t4 j7 R+ a1 | 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
4 ~2 |6 \; K8 q' E% [x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)
  I) \/ ^% \5 e4 [2 O1 F9 x. ?

由上述程序计算结果可以看出


! x" ?' }0 i) J' i8 _' n' Y2 I

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