常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

$ ~) N2 Q" B1 v, c' F) l! b1 常微分方程的离散化
8 t- C! G* U5 l! A& X下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是

% J8 Z' H0 V+ I
) f9 H; f) X+ K; S) |* W! _
  b# ^# P/ O# m# C: |( X. F* x在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得


$ h- D+ C4 q+ O
这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

! x5 r( w5 F1 |" E数值解法
2 a9 X9 Z* P# {/ P0 {所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           

0 I" {% _* o3 C9 L; [% Y/ W
1 O1 E" U6 h4 V; U+ a1 B9 z
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

6 [# s& D; x% l9 B" c（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
2 h& p( N" H8 U# ^2 m% d
! K$ B2 n# N7 ^. R  _


) `( _  ^6 b% t需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得


" x( r6 A# j* g( H
4 @$ u! c* C5 k! H5 f+ p5 A右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
  ^8 D5 l8 a- \1 L; k( w) E. H5 I2 f
# _& N( f1 z+ L  P（iii）Taylor 多项式近似


+ Z- i9 G* J- @
7 ?8 b5 u$ d8 T) X& X7 X以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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