常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是

' @' d  q; V8 S  x/ d
( J* \+ X, t+ _* l6 y$ }
" c  f; A! f8 v6 f5 |在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
0 R5 p3 g7 L( Y. n+ b- {


这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

数值解法
6 v& y: X/ I" F8 a; N所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           

) D& ~7 {, a6 |: \+ @) s

! i* k: r4 r, B2 P  U; ]建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
/ H7 \2 R/ g; \. F" d. T8 Y
% B0 |% Q& T4 y. p（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
, y" C8 J1 }. L' H! D( M8 q3 d: L( z

  @+ u, _4 X2 U
( \' G$ k( k- ~! @. T9 j
" \" Q. V! c( B7 m需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
; B( f1 ^" A: w! x
（ii）用数值积分方法
, S  b7 \; A7 [8 f将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得

/ x4 w; P- j' z* p
: N8 I+ `0 @4 T, B+ f& E$ U
0 T& G$ {3 L8 w6 B( J右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

（iii）Taylor 多项式近似

5 ]% _0 e* S3 n9 J' u( Q& R3 L

以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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