常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
$ k" S' b# G6 M- L. p$ h
1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
( [! ?' J- v7 J. h/ l
+ Z/ }1 e5 i% D( b
! h2 j( T4 w* ?7 s0 b0 B
在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
" N- G! L5 |( o. \

1 s9 e" g$ F5 `- s4 x8 z
这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
2 _  r3 _0 i/ B- O$ R7 j
数值解法
9 Q) ]6 n3 G5 _$ s* a所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
5 x. y3 X  T9 ~3 k" t- }
: H7 w8 G& {; y
, R1 F' K, e. g0 n! j
- ^/ y8 {  V1 b4 v3 b建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
2 C) m+ V! E* t+ j2 h
' [) t/ z7 r: H& t, b6 l3 i（i）用差商近似导数------差分方程初值问题


! _: }* K, s$ R2 U: j

7 K" r8 Z) I& A. J" V需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
' ^% k7 q% e+ a% i/ b
1 e! K& V" O/ ?（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
2 E, k; f+ M3 N0 T' F, f
, X) F- c+ P0 j; j
; P' h( v% ]! q( d: U; E
右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
8 m) i  |/ d' k6 c
（iii）Taylor 多项式近似

; A! s% l0 Z# |5 A$ ^6 p

% ?# k% J* E& e& ]! _以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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