常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

. a! ?. O& h# T3 J+ N" ?1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
' Z' t" W2 L* ?) i: u& Y  e+ ]
8 H2 X/ [, c/ x2 W$ p0 Q" _
5 V' c, ?0 z2 ~7 x' V" s0 T
3 n' {- W2 G9 l8 @0 F在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
5 K; x* z0 T8 Q
3 P' j! i, P- {) d8 A

4 g& D* L/ p; F这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
: B: X! L2 b; M: K0 k$ b
( i7 Y" M2 ^4 z$ z* b5 m数值解法
$ B! z0 R0 M* q4 K" y+ K" A所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           


% M( \# F9 X$ Q% t0 ~0 Z
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

/ [' D, j; b% V) l( C8 g- T0 c（i）用差商近似导数------差分方程初值问题



8 X# t6 t6 l( x6 E, M/ K
" e9 M1 O. W' J, j9 Y* P6 A& f需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

（ii）用数值积分方法
) w; n* b3 `' p将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得

, Z% F. G' q( r4 k
+ E4 [' H& F  x" ^
右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

% q' g3 r+ B2 J" a8 p! U（iii）Taylor 多项式近似


) ~- }, y5 r$ f3 s  U: E4 S
6 j2 T4 d2 m9 l1 A# I& R4 m以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
5 O; l: X& D+ P* q7 U$ _& o————————————————
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