常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
/ N/ ?2 C+ Z% _# b& z
) C% S) n" H2 H( i8 l' D9 K
  T6 I9 r7 v. i. q3 I3 y
% l# I$ {5 o' ?2.2 Euler 方法的误差估计
% `' L9 x$ I+ p8 a9 N对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
2 `7 b4 J! W! M( I

3 |, m( A6 A6 h( O, @0 n, ?


显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。

§3 改进的 Euler 方法
4 r' O! _# H* P% |: m+ M, V3.1 梯形公式
. a# i8 L! v" o: n# a) K利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即
! j, y. w' n( ^4 B6 l( k9 R
0 J% G. Z- V4 m) n# s
& r; J0 T9 E5 n, }% [" s
, U) X  V: P- V7 E, L0 V/ F这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
$ y+ u: s) d: ~: U) F( k. r; W0 _
/ U* r7 [) j9 N, c: e直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
  u) w9 s9 d# _7 [; ?5 e7 ~

/ J( V1 t" {4 ~2 e
如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
8 B& G+ o4 y2 a1 b& K5 t0 A
3 u3 U4 h% w4 B* W* e/ Z3.2 改进 Euler 法
7 X9 M8 B9 k) ]- G. E按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
8 k# n% S" b9 {6 Q* S0 V9 Z' Z0 O( N
' q* L  c7 y. Y6 Q3 P
6 `( c# d: b/ {: y' q
. f  K1 z3 m' z1 Y. ?" G- v式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

为便于编制程序上机，式（11）常改写成
! g( p0 S: A+ G/ f
8 Y: i& _- |0 {1 y- \" m

* a+ P: e# F! m: Y" v, w  s! l改进 Euler 法是二阶方法。
7 B0 V5 H. s5 p. U+ U. E) ^( b9 P

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