常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
, N. V3 _/ t+ s/ z+ f$ H* p7 { 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
' N% l. f9 p1 s$ y
& C( }7 c# O1 ^- v5 w

2.2 Euler 方法的误差估计
" V/ R" Q0 ?4 T, S对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
: c6 ?, E( O$ d4 l6 u6 `
7 `- c2 m3 W  g

! Z3 \+ Z0 m  `

显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
4 g+ e7 J8 p2 S# Q2 X7 _1 w) T) @
§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
, }$ W+ O1 T5 q9 K) H7 H' [利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即


+ s7 p  J1 g8 Y0 ?3 V& ]
; s- A' ]. V1 E6 B) g# h. n这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为



如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
2 r6 f8 T: q, s! g- e
3.2 改进 Euler 法
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即


. W0 l! s9 w5 n7 k8 g8 C
  l4 O" ~  k& Q2 d2 m/ t# T式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

9 a# ^0 }: S" l- Y. F. f; R为便于编制程序上机，式（11）常改写成


+ s  H. N" J" T% [
改进 Euler 法是二阶方法。
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