偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
7 J; X5 @) K3 v对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
& r$ [' V5 g: x" c
7 m+ k8 w: l3 P$ k, h（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

9 w( E' M- h8 U1 q（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
' B: \! f6 }7 ^% D3 ^4 @0 G$ S  r
$ Q: \* a: P4 G5 h2 o% F在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
( I/ @" d  O" P' T2 ]4 ?2 ^4 X
& C& l8 d3 `. H0 ^/ {4 S! X* q3 h
# `1 A. `) d: I
5 i7 |" g2 h5 O! ~/ B* g. F4 c2 O2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
6 R0 v5 ~0 N# E& w  x' c8 ^
（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

1 d6 s; X* z+ q* N（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
0 J: b& {+ N/ g. T
. a& w, A, y! o1 ]9 y在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

  `6 J& C' K3 y& I  t9 y（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

! V1 U. M# h" |, \（2）在 solve 模式下，求解。
- Q' \/ I" ~7 H! R
0 B7 \7 ?* n& q（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。

6 g0 ?0 Z" r3 `7 W9 p/ D* ^
1 H8 V$ S0 N! |3 l& v+ A, e
4 Z) M! q- k' z( I- g  D/ k

0 G8 |  ~" l+ Q. \" H, E, k
3 p6 s; P/ L  F  G8 }
: v8 }) N% w9 ?+ W  b
4 z. p3 x* ?+ e) A! X

# y8 @1 ^* v# x1 n' ]注意：

5 v6 o. y+ B' z. a$ N1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
  \- h- s6 ~# @" M/ f


# i' @$ H) V- \4 u' q- O3 Y% ^4 f2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
4 A5 `4 v, {. \
3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
( g2 S9 {; _* z6 ~  {7 h7 d7 S
4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。
; a3 {4 R  X$ r3 h2 ]; u2 K/ |8 d
（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
9 B$ C+ k9 O: R6 p$ Y, {
例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

3 {4 u" K/ H3 \+ D7 x% g                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
& w7 W9 O/ i$ h( S1 {% g
8 o% _# ^% |+ U

边界条件为Dirichlet条件u = 0。
) Q! q2 Z! a3 a0 e! A! D% Q$ Q$ d
解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

6 |. S, r3 Q/ Y1 n- h4 D4 y' d3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

function f=fun1(x,y);
9 S/ J9 h9 A; F8 F2 I5 Sf=zeros(length(x),1);
! H/ g, Z3 x* V3 Gix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;

' ~: C% [  i+ S' }" s: k8 B* W9 `( L其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
$ H" E- @% P( t8 C
时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；
% s3 i2 e. s% W2 K, E; h) u
& f) s" I) t, w3 K6 W& \! d  g初值框中输入：fun1。

. r0 w0 r0 n) N7 N4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
6 {7 U0 d2 ~& u' k3 w
5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。


5 [0 ^0 z+ _6 Q1 b- N6 x) |7 f————————————————
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