偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
" o. O' M$ b( E4 G6 M9 L
（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

/ A6 V5 i/ `* H  l$ X4 {$ Z（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。



2 图形界面解法的使用步骤
% a# V" `* m9 q% z2 c% L( p0 X要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
, D' {& z  R* @! F
/ f3 C- v3 f+ |. V, |4 t4 M" p  j（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

% o& y' [6 K4 O6 U, ~0 a: Q' g（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
* S; ?. Q" S) [# P" M0 Y) Q
在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

（2）在 solve 模式下，求解。

) h3 W& ]" _, X) X; J- T# `+ \（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。








8 Z6 j$ Z- X+ ?% \) j, a
" s& f9 z. N9 p
! E+ M( K( ]  I& v$ J$ P/ G注意：

( t, t8 S3 S6 d/ z6 i+ T7 g+ L1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。



6 l1 }! G+ K: G6 ?; S) O0 b2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
$ a# ~/ o' r  H8 x' a( {
: l' w' f  H) ?: l/ o3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

% K/ F7 R# p% g4 W2 Y, Y3 G( ~4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
; D' Y' g# o8 ~+ j# ^
（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。
8 v2 {2 p8 h8 @6 Q2 C/ c/ [
+ \3 `: G& a+ D. _1 S3 p+ ?& X（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
. v: f1 q( J. Z- T. ^" M1 _* A
! r' A' _5 U9 @* S0 {( m例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
- n9 b( Y* L- {3 r+ g8 b5 s0 z) W
                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程

: s+ D3 R" X2 i$ }
2 l9 P& R& m* d- {
7 T" Z% R* c0 H* |1 ?边界条件为Dirichlet条件u = 0。
5 P2 R& J+ {! c
解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
& k  A! q* \7 t+ ?  c8 c
1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
% B* a, q) F* k8 [1 c' l
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
0 ~& b3 K* l. P$ n" {
3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

function f=fun1(x,y);
6 S; c( N& S: p- af=zeros(length(x),1);
$ ~4 M9 J/ u& a5 N9 W# `, Oix=find(x.^2+y.^2<0.16);
0 ~8 k! W* `. ~3 ^- t5 F8 O" nf(ix)=1;

" M. g% P$ y0 i7 g4 n4 X  ?3 w. S其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

初值框中输入：fun1。
$ Y" e* r1 t- a/ B. s) V* T7 u
5 \5 S' ?+ F+ Q4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

" d. W0 T# \( P/ ]* \8 @- y5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。


! y; p% U" g" h3 D1 o. @————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
" T& A- C4 i$ p9 W; y2 R6 h* c原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663
5 v1 w. w1 ?$ |+ m
2 P+ a: w+ |" o, o* R! o1 u% S$ a2 g; ~