偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
( x" c7 a8 K/ P6 ^) ?对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
4 C' \2 z5 N! A
（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

) C4 b5 A# a& x) w' _0 p8 x1 a（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
, m  o7 G! ]9 L
' s) ^6 {6 W  j# n# m4 G: s% T, A: d（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

6 o7 W( Q; P9 K1 K; Q3 b在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
: T8 l6 K- f0 ]- p

& V+ j; Y$ r) T( R$ H
2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

* a2 X7 U& n. F) G% u  x（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

8 u/ M. A5 P% v  i（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

! @; N/ P# H# W0 J（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

  D0 ]/ m. l6 ?8 v, g在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
3 u6 }. V( K! r3 _  j
6 ~7 B( Q& f" Z9 V（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
# d# _, N7 W1 {5 ^
' d* F4 N  ?- j（2）在 solve 模式下，求解。
7 F0 e* _: l, w) Q
' W  V! ~, Q8 F) U; k$ z0 A+ F（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
0 Q* E+ [# [) ^# a7 N( I! @6 d; a" M) O
7 j4 K( R: |( y$ `$ m& J

9 g% O6 h4 a  l. D3 f' o
% M1 ~' _, x7 Y# ~0 d+ N


( l5 N& }4 |1 j  W# T" m0 Z


注意：
7 K' a' O) F8 \( R
1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

+ i" [: B/ y* Y& \# l

2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
7 q" ^/ o! D' C1 P- N9 t
6 @7 a% f, A" t/ v4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
( c* ~% c, C/ Z& Q$ d" c0 e
- F$ B3 J& p0 A- K! ~3 {（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
9 `) t+ S' `& p& o5 _& W; I/ s5 j
                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
5 z6 n% c/ _; {+ y* l


: k! w: ^1 H7 p+ i. @( h! W边界条件为Dirichlet条件u = 0。

2 `* M1 d; Z' M) j. {" f解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

  q* f: k& Y, Z2 i# M2 v0 S1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
  |" \9 L5 b8 [* s9 p, d
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
9 R8 F& l# o9 B5 I3 b+ f
3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
1 A4 N! B5 y. d
0 _3 W8 B) W) |+ W  c3 Zfunction f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
) _) Y2 g4 I% }. f. Hf(ix)=1;
0 u& q1 x% b  Y' b$ Z' \7 `/ o
其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

+ D) _0 |7 ]6 `% j时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；
) }; X* q/ ^) q- W! M% U, u
3 s, @# ?) w" C4 k初值框中输入：fun1。
" v% v1 ^1 h! v6 v
4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。

; A/ C8 ]/ Z- ~. r! J
————————————————
0 D8 w. s  f3 P版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663
) M% u& T# \# |' g0 n! R
& k# P4 m* u1 t8 }3 z
' n) n2 ]; u4 f; g0 x3 @- c/ w