偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
  n& }$ w4 |$ Z对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
# ?# h& L3 W: P
（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
+ G! ?5 I$ C( L+ \' y$ Z
3 ~. K: j7 l* E2 G( d5 Y; ~（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
! A. h! r; u- ^. J/ i  \* \# T
) x7 P# g8 m* J3 Q2 `7 ^# ~. v在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。


; a, i: T" q+ ~7 j: w
6 u* y9 s: ^) M! I# s; J( a, \2 图形界面解法的使用步骤
7 a! ^# R0 Z) `3 Y1 w5 O要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

+ l- H' }: \0 |9 e- f& z（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
) r, ~& E/ c' E3 R8 B
- w1 u, @! S1 x, r% c（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。
, _( r( W3 |( Y9 E
& I, T7 f. O% K/ s  f  R& o0 @2 Q0 `（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

2 y. g$ p" [8 k% l在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
( l0 C( f( V$ X; J
/ v$ U4 D: Q; u2 B( S& Y, {( |: j（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

- `4 }9 F. g2 E/ k- t; g! A（2）在 solve 模式下，求解。

* c, g  b: D# d; |% H5 E（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
, v0 Y) q* m- B2 X; [

6 m5 H/ F! C2 m! p8 X" _
' j$ P% V9 P- Y3 L% j+ v

8 L, ?2 f+ J" v8 w. \
' x" s$ B* ~) m4 i# F; O

8 l, e/ [( o6 t$ J, x: P; Y/ X+ k0 y

+ o* D  B! ~  t+ ^' r. c注意：

4 Q: K4 ~, J/ M6 L5 |; d6 o1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

% j) R" b5 [1 x

2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

3 _+ W. c! ^; G; Z* `4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

) Q; A6 f4 O# o& v（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

  E! T) E$ |. n; N# Q- |1 x例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
1 b' a+ q. S# \* ?5 Q. t/ {, q8 G

% _/ K+ ~7 ]8 \. O4 A
+ [, o" k. F, s2 }; N! o/ W边界条件为Dirichlet条件u = 0。

6 u$ m& o' @8 [: i解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

$ p# k3 r$ \. k* Y# o  g4 @) M1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

( ~( d# n1 O4 d  `- t! R7 n2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
. o. Z' [* l' O4 D1 K
" R" a3 k" @4 Ifunction f=fun1(x,y);
+ H! ?6 }! ^0 M% h. S2 c, s/ q$ ff=zeros(length(x),1);
  ~: h* |$ ?: k: G& oix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;

其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
0 Z' T5 R7 R$ @2 s3 i5 W( a3 i
时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

% E7 w$ {0 t, x: }+ _& ?6 ?1 O2 Y! U初值框中输入：fun1。

. D1 e3 z/ N- S# ^5 m. V/ A9 v4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
5 t$ u2 u6 S: ^8 o) I3 R2 O, b
5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。

1 a) y$ B4 l# f/ k
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$ R3 v6 F4 V8 R. q% ?  W- G